- LG a
- LG b
- LG c
Với giá trị nào của số tự nhiênnta có
LG a
\[{2^n} > 2n + 1\] ;
Phương pháp giải:
- Đây thực chất là bài toán giải bất phương trình trên N*.
- Có thể dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh
Lời giải chi tiết:
Dùng phép thử với \[n = 1,2,3,4\]ta dự đoán: Với \[n \ge 3\] thì bất đẳng thức đúng. Ta sẽ chứng minh điều đó bằng quy nạp.
+] Với \[n = 3,\] hiển nhiên đã có kết quả đúng, vì \[{2^3} = 8 > 2.3 + 1 = 7.\]
+] Giả sử bất đẳng thức đúng với \[n = k,\] tức là \[{2^k} > 2k + 1{\rm{ [1]}}\]
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với \[n = k + 1,\] tức là
\[{2^{k + 1}} > 2k + 3{\rm{ }}\left[ 2 \right]\]
Thật vậy, nhân hai vế của [1] với 2, ta được
\[{2^{k + 1}} > 4k + 2 = 2k + 3 + 2k - 1 > 2k + 3.\]
LG b
\[{2^n} > {n^2} + 4n + 5\]
Phương pháp giải:
- Đây thực chất là bài toán giải bất phương trình trên N*.
- Có thể dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Dùng phép thử.
+] Vớintừ 1 đến 6, bất đẳng thức đều không đúng. Tuy nhiên không thể vội vàng kết luận bất phương trình vô nghiệm.
+] Nếu thử tiếp ta thấy rằng bất phương trình đúng khi \[n = 7,8,...\]
Ta chứng minh: Với \[n \ge 7\] thì\[{2^n} > {n^2} + 4n + 5\] bằng quy nạp.
+] Với \[n=7\] thì \[VT={2^7} = 128 \]
\[VP= {7^2} + 4.7 + 5=82\]
VT > VP nên bđt đúng.
+] Giả sử bđt đúng với \[n=k\ge 7\], nghĩa là
\[{2^k} > {k^2} + 4k + 5\] [1]
Ta chứng minh bđt đúng với \[n = k + 1\] nghĩa là \[{2^{k + 1}} > {\left[ {k + 1} \right]^2} + 4\left[ {k + 1} \right] + 5\] hay \[{2^{k + 1}} > {k^2} + 6k + 10\]
Thật vậy,
Nhân cả hai vế của [1] với 2 ta được:
\[{2^{k + 1}} > 2{k^2} + 8k + 10\]\[ = \left[ {{k^2} + 6k + 10} \right] + {k^2} + 2k\]
\[ > {k^2} + 6k + 10\] \[ \Rightarrow {2^{k + 1}} > {k^2} + 6k + 10\]
Vậy ta có đpcm.
LG c
\[{3^n} > {2^n} + 7n\]
Phương pháp giải:
- Đây thực chất là bài toán giải bất phương trình trên N*.
- Có thể dùng phép thử, sau đó dự đoán kết quả và chứng minh.
Lời giải chi tiết:
Với \[n = 0,1,2,3\] thì bất đẳng thức không đúng.
Với \[n = 4,5,...\] thì ta thấy bất đẳng thức đúng.
Dự đoán \[{3^n} > {2^n} + 7,\forall n \ge 4\].
Thật vậy, với \[n = 4\] thì \[VT = {3^4} > {2^4} + 7.4 = VP\].
Giả sử bđt đúng với \[n = k \ge 4\], nghĩa là \[{3^k} > {2^k} + 7k\,\,\left[ 1 \right]\].
Ta cần chứng minh \[{3^{k + 1}} > {2^{k + 1}} + 7\left[ {k + 1} \right]\].
Nhân của hai vế của \[\left[ 1 \right]\] với \[3\] ta được \[{3.3^k} > {3.2^k} + 21k\] \[ \Leftrightarrow {3^{k + 1}} > {3.2^k} + 21k\] \[ > {2.2^k} + 7k + 14k\] \[ > {2.2^k} + 7k + 7 = {2^{k + 1}} + 7\left[ {k + 1} \right]\]
Vậy \[n \ge 4.\]