Bất đẳng thức tam giác là kiến thức được học trong chương tam giác của Hình học toán lớp 7. Đây là một chuyên đề về tam giác trong Toán nâng cao lớp 7. Trong chuyên đề sẽ có một số dạng toán chính. Vậy BĐT tam giác và những dạng toán về BĐT tam giác là gì?
Kiến thức cần nhớ về chuyên đề bất đẳng thức tam giác.
BĐT trong tam giác chính là BĐT về quan hệ ba cạnh của tam giác. Nó được phát biểu như sau:
“Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì luôn luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại.”
Ví dụ trong tam giác ABC có:
- AB + BC > AC
- AB + AC > BC
- AC + BC > AB
Hệ quả của BĐT là: “Trong một tam giác, độ dài một cạnh luôn luôn lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng của hai cạnh còn lại”
Ví dụ trong tam giác ABC có:
- lAC – BCl< AB < AC + BC
- lAB – ACl < BC < AB + AC
- lAB – BCl < AC < AB + BC.
Những dạng toán về BĐT tam giác
Trong BĐT tam giác, các bạn sẽ được học về ba dạng toán chính là:
- Dạng 1: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác.
- Dạng 2: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và đường chéo.
- Dạng 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác – BĐT trong tam giác.
Trong đó, dạng 3 là dạng toán chính trong chuyên đề BĐT mà các bạn cần lưu ý.
Ngoài chuyên đề này ra, Trong tam giác còn có một số chuyên đề điển hình khác về tam giác. Để nắm vững được lý thuyết cũng như phương pháp giải của mỗi chuyên đề, dạng toán và bài tập áp dụng. Mời các bạn tham khảo tài liệu bên dưới.
Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Định lí 2 :
Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó :
- đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.
- đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.
- Hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau, ngược lại, Hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau. Quan hệ ba cạnh trong tam giác :
Định lí :
Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn cạnh còn lại.
Hệ quả :
Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn nhỏ hơn cạnh còn lạ
Bài tập vận dụng :BÀI 1 :
Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm BC. trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD.
- Chứng minh : AB = CD.
- So sánh góc BAM và CAM.
1.AB = CD
Xét ΔMAB và ΔMCD, ta có :
MB = MC [gt]
MA = MD [gt]
[đối đinh]
\=> ΔMAB = ΔMCD [c – g – c]
\=> AB = CD
Xét ΔACD, ta có :
AB < AC [gt]
Mà : AB = CD [cmt]
\=> CD < AC
\=> [góc – cạnh đối diện]
Mà : [ΔMAB = ΔMCD]
\=>
BÀI 2 :
Cho tam giác ABC nhọn AB < AC. Gọi H là chân đường vuông góc kẽ từ A đến BC.
- Chứng minh : AH < [AB + AC] : 2
- Lấy điểm M nằm giữa A và H. so sánh : MB và MC.
Ta có : AB, AC là đường xiên và AH là đường vuông góc
\=> AH < AB
AH < AC
\=>AH + AH < AB + AC
Hay : 2 AH < AB + AC
Vậy : AH < [AB + AC] : 2
Ta có :
BH là hình chiếu của AB lên BC.
CH là hình chiếu của AC lên BC.
Mà : AB < AC [gt]
\=> BH < CH
Ta lại có :
BH là hình chiếu của MB lên BC.
CH là hình chiếu của MC lên BC.
Mà : BH < CH [cmt]
\=> MB < MC.
BÀI 3 :
Cho tam giác ABC có M là trung điểm BC. trên tia đối tia MA lấy MD = MA. Chứng minh :
- ΔAMB = ΔDMC.
- AB + AC > 2AM.
Xét ΔMAB và ΔMCD, ta có :
MB = MC [gt]
MA = MD [gt]
[đối đinh]
\=> ΔMAB = ΔMCD [c – g – c]
\=> AB = CD
Xét ΔACD, ta có :
AD < DC + AC [định lí ]
Mà : AD = 2AM [gt] và AB = CD [cmt]
\=> 2AM < AB + AC
ĐỀ THAM KHẢO KIỂM TRA 1 TIẾT CHƯƠNG III HÌNH HỌC HK II
BÀI 1 : [3 điểm ]
Cho tam giác DEF có DE < DF. Vẽ đường cao DH.
1. So sánh HE và HF.
- Lấy M trên DH. So sánh ME và MF.
- So sánh góc HDE và góc HDF.
BÀI 2 : [7 điểm ]
Cho tam giác ABC ,đường cao AH. Trên tia BC lấy D sao cho BD = BA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E, cắt BA tại F. chứng minh :
1. ΔABE = ΔBDE.
- BE là đường trung trực của đoạn AD.
- Tia BE là tia phân giác của góc ABC.
- ΔBCF là tam giác cân.
- BE CF.
- HD < DC.
HẾT.
\=============================================================
ĐỀ 2
BÀI 1 [2 điểm ]:
Cho tam giác ABC vuông tại B, có .So sánh các cạnh của tam giác.
BÀI 2 [6 điểm ] :
Cho tam giác ABC vuông tại A, có BM là đường phân giác. Vẽ MH vuông góc BC, MH cắt AB tại E. chứng minh :