Bài tập về tính giá trị biểu thức lớp 9
– Căn bậc hai của một số a không âm là số $x$ sao cho $ {{x}^{2}}~=\text{ }a$. Số $ a>0$ có hai căn bậc hai là $ \sqrt{a}$ và $ -\sqrt{a}$ , trong đó $ \sqrt{a}$ được gọi là căn bậc hai số học của a. – Căn bậc ba của một số thực a là số $ x$ sao cho $ {{x}^{3}}=\text{ }a$, kí hiệu $x=\sqrt[3]{a}$ . – Phép khai phương đơn giản: $ \sqrt{{{{A}^{2}}}}=|A|$ (với $ \forall A$) $ \sqrt{{AB}}=\sqrt{A}\cdot \sqrt{B}$ (với $ A,B\ge 0$) $ \sqrt{{\dfrac{A}{B}}}=\dfrac{{\sqrt{A}}}{{\sqrt{B}}}$ (với ∀ $ {A,B}$) $ \sqrt[3]{{AB}}=\sqrt[3]{A}\cdot \sqrt[3]{B}$ (với $ A\ge 0;B>0$) $ \sqrt[3]{{\dfrac{A}{B}}}=\dfrac{{\sqrt[3]{A}}}{{\sqrt[3]{B}}}$ (với ∀ $ B\ne 0$) VÍ DỤ CÓ LỜI GIẢIVí dụ 1: Tính: a) Căn bậc hai của 100 b) $ \sqrt{16+9}$ c) $ \sqrt[3]{64}$ d) $ \sqrt{16.9}$ Giải: a) Căn bậc hai của 100 bằng 10. b) $ \sqrt{16+9}=\sqrt{25}=\sqrt{5^{2}}=5$ c) $ \sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{4^{3}}=4$ d) $ \sqrt{16.9}=\sqrt{4^{2} \cdot 3^{2}}=\sqrt{(4.3)^{2}}=4.3=12$ Ví dụ 2: Tính: a) $ \sqrt{810.40}$ b) $ \sqrt{\dfrac{12^{5}}{3^{5} \cdot 4^{3}}}$ c) $ \dfrac{\sqrt{180}: \sqrt{5}}{\sqrt{200}}: \sqrt{8}$ d) $ \dfrac{\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{27.125}}{\sqrt[3]{500.2}}$ Giải: a) $ \sqrt{810.40}=\sqrt{81.10 .40}=\sqrt{81.400}$ $=\sqrt{9^{2} \cdot 20^{2}}=\sqrt{(9.20)^{2}}=9.20=180$ b) $ \sqrt{\dfrac{12^{5}}{3^{5} \cdot 4^{3}}}=\sqrt{\dfrac{3^{5} \cdot 4^{5}}{3^{5} \cdot 4^{3}}}=\sqrt{4^{2}}=4$ c) $ \dfrac{\sqrt{180}: \sqrt{5}}{\sqrt{200}}: \sqrt{8}=\dfrac{\sqrt{180: 5}}{\sqrt{200: 8}}=\dfrac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}}=\dfrac{\sqrt{6^{2}}}{\sqrt{5^{2}}}=\dfrac{6}{5}$ d) $ \dfrac{{\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{{27.125}}}}{{\sqrt[3]{{500.2}}}}=\dfrac{{\sqrt[3]{{{{2}^{3}}}}+\sqrt[3]{{{{3}^{3}}{{{.5}}^{3}}}}}}{{\sqrt[3]{{1000}}}}=\dfrac{{2+3.5}}{{10}}=\dfrac{{17}}{{10}}$ Ví dụ 3: Tính giá trị các biểu thức a) $ \sqrt{(1-\sqrt{2})^{2}}-\sqrt{3+2 \sqrt{2}}+\sqrt{(-2)^{6}}$ b) $ \sqrt{7+4 \sqrt{3}}+\sqrt{13-4 \sqrt{3}}$ c) $ \sqrt[3]{5 \sqrt{2}-7}-\sqrt[3]{5 \sqrt{2}+7}$ d) $ \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$ Giải: a) $ \sqrt{(1-\sqrt{2})^{2}}-\sqrt{3+2 \sqrt{2}}+\sqrt{(-2)^{6}}$ $=\sqrt{(1-\sqrt{2})^{2}}-\sqrt{2+2 \sqrt{2}+1}+\sqrt{(-2)^{6}}$ $=\sqrt{(1-\sqrt{2})^{2}}-\sqrt{(1+\sqrt{2})^{2}}+\sqrt{(-2)^{6}}$ $=|1-\sqrt{2}|-|1+\sqrt{2}|+\left|(-2)^{3}\right|$ $=\sqrt{2}-1-(1+\sqrt{2})+8$ $=\sqrt{2}-1-1-\sqrt{2}+8$ $=6$ b) $ \sqrt{7+4 \sqrt{3}}+\sqrt{13-4 \sqrt{3}}$ $=\sqrt{3+2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2+4}+\sqrt{(2 \sqrt{3})^{2}-2 \cdot 2 \sqrt{3} \cdot 1+1}$ $=\sqrt{(\sqrt{3}+2)^{2}}+\sqrt{(2 \sqrt{3}-1)^{2}}$ $=|\sqrt{3}+2|+|2 \sqrt{3}-1|$ $=\sqrt{3}+2+2 \sqrt{3}-1$ $=3 \sqrt{3}+1$ c) $ \sqrt[3]{5 \sqrt{2}-7}-\sqrt[3]{5 \sqrt{2}+7}$ $=\sqrt[3]{2 \sqrt{2}-3.2 \cdot 1+3 \cdot \sqrt{2} \cdot 1-1}-\sqrt[3]{2 \sqrt{2}+3 \cdot 2 \cdot 1+3 \cdot \sqrt{2} \cdot 1+1}$ $=\sqrt[3]{(\sqrt{2}-1)^{3}}-\sqrt[3]{(\sqrt{2}+1)^{3}}$ $=\sqrt{2}-1-(\sqrt{2}+1)$ $=-2$ d) $ \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$ $=\dfrac{1}{2} \cdot(2 \cdot \sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+2 \sqrt[3]{2-\sqrt{5}})$ $=\dfrac{1}{2} \cdot(\sqrt[3]{16+8 \sqrt{5}}+\sqrt[3]{16-8 \sqrt{5}})$ $=\dfrac{1}{2} \cdot(\sqrt[3]{5 \sqrt{5}+3.5 \cdot 1+3 \cdot \sqrt{5} \cdot 1+1}+\sqrt[3]{5 \sqrt{5}-3 \cdot 5 \cdot 1+3 \cdot \sqrt{5} \cdot 1-1})$ $=\dfrac{1}{2} \cdot(\sqrt[3]{(\sqrt{5}+1)^{3}}+\sqrt[3]{(\sqrt{5}-1)^{3}})$ $=\dfrac{1}{2} \cdot(\sqrt{5}+1+\sqrt{5}-1)$ $=\dfrac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{5}=\sqrt{5}$ Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức $ Q=\dfrac{1}{{\sqrt{{x+3}}\cdot \sqrt{{x-3}}}}+\sqrt{{{{x}^{2}}+7x+4}}$ tại $ x=5$ Giải: Tại $ x=5$ ta có: $ \begin{aligned} \mathrm{Q} &=\dfrac{1}{\sqrt{5+3} \cdot \sqrt{5-3}}+\sqrt{5^{2}+7.5+4} \\ &=\dfrac{1}{\sqrt{8} \cdot \sqrt{2}}+\sqrt{64} \\ &=\dfrac{1}{\sqrt{8.2}}+8 \\ &=\dfrac{1}{4}+8=\dfrac{33}{8} \end{aligned}$ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢIBài 1: Căn bậc hai số học của 64 là: A. 8 B. -8 C. 32 D. -32 Giải: Căn bậc hai số học của 64 là 8 vì 82 = 64. ⇒ Chọn đáp án A. Bài 2: Căn bậc ba của -27 là: A. 3 B. 9 C. -9 D. -3. Giải: Căn bậc ba của -27 là -3 vì (-3)3 = -27. ⇒ Chọn đáp án D. Bài 3: Giá trị biểu thức $3 \sqrt{5}-\sqrt{(1-\sqrt{5})^{2}}$ bằng: $ \begin{array}{llll}\text { A. }-1+4 \sqrt{5} & \text { B. } 1+2 \sqrt{5} & \text { C. } 1-4 \sqrt{5} & \text { D. } \sqrt{5}-1\end{array}$ Giải: $3 \sqrt{5}-\sqrt{(1-\sqrt{5})^{2}}=3 \sqrt{5}-|1-\sqrt{5}|$ $=3 \sqrt{5}-(\sqrt{5}-1)=3 \sqrt{5}-\sqrt{5}+1=2 \sqrt{5}+1$ ⇒ Chọn đáp án B. Bài 4: Kết quả của phép tính $ \sqrt{7-2 \sqrt{10}}-\sqrt{7+2 \sqrt{10}}$ là: $ \begin{array}{llll}\text { A. } 2 \sqrt{2} & \text { B. }-2 \sqrt{2} & \text { C. } 2 \sqrt{5} & \text { D. }-2 \sqrt{5}\end{array}$ Giải: $ \sqrt{7-2 \sqrt{10}}-\sqrt{7+2 \sqrt{10}}$ $=\sqrt{5-2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{5}+2}-\sqrt{5+2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{2}+5}$ $=\sqrt{(\sqrt{5}-\sqrt{2})^{2}}-\sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{2})^{2}}$ $=|\sqrt{5}-\sqrt{2}|-|\sqrt{5}+\sqrt{2}|$ $=(\sqrt{5}-\sqrt{2})-(\sqrt{5}+\sqrt{2})$ $=-2 \sqrt{2}$ ⇒ Chọn đáp án B. Bài 5: Giá trị biểu thức $ \sqrt{x^{2}+2 \sqrt{x^{2}-1}}-\sqrt{x^{2}-2 \sqrt{x^{2}-1}}$ tại $ x=4$ là: $ \begin{array}{llll}\text { A. } 2 \sqrt{15} & \text { B. }-2 \sqrt{15} & \text { C. } 2 & \text { D. }-2 .\end{array}$ Giải: Tại $ x=4$ thì: $ \sqrt{x^{2}+2 \sqrt{x^{2}-1}}-\sqrt{x^{2}-2 \sqrt{x^{2}-1}}$ $=\sqrt{4^{2}+2 \sqrt{4^{2}-1}}-\sqrt{4^{2}-2 \sqrt{4^{2}-1}}$ $=\sqrt{16+2 \sqrt{15}}-\sqrt{16-2 \sqrt{5}}$ $=\sqrt{15+2 \sqrt{15}+1}-\sqrt{15-2 \sqrt{15}+1}$ $=\sqrt{(\sqrt{15}+1)^{2}}-\sqrt{(\sqrt{15}-1)^{2}}$ $=|\sqrt{15}+1|-|\sqrt{15}-1|$ $=(\sqrt{15}+1)-(\sqrt{15}-1)$ $=2$ ⇒ Chọn đáp án C. Bài 6: Viết các biểu thức sau thành bình phương của biểu thức khác: $ \begin{array}{lll}\text { a) } 4-2 \sqrt{3} & \text { b) } 7+4 \sqrt{3} & \text { c) } 13-4 \sqrt{3}\end{array}$ Giải: a) $4-2 \sqrt{3}=3-2 \sqrt{3}+1=(\sqrt{3}-1)^{2}$ b) $7+4 \sqrt{3}=4+2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}+3=(2+\sqrt{3})^{2}$ c) $13-4 \sqrt{3}=(2 \sqrt{3})^{2}-2 \cdot 2 \sqrt{3}+1=(2 \sqrt{3}-1)^{2}$ Bài 7: Tính giá trị của các biểu thức: a) $A=\sqrt{4.8 .16 .32}$ b) $ \mathrm{B}=\sqrt{\dfrac{3}{15}}: \sqrt{\dfrac{36}{45}}$ c) $C=\sqrt[3]{-0,5} \sqrt[3]{1,25} \cdot \sqrt[3]{\dfrac{16}{10}}$ Giải: a) $A=\sqrt{4.8 .16 .32}=\sqrt{2^{2} .2^{3} \cdot 2^{4} \cdot 2^{5}}$ $=\sqrt{2^{14}}=\sqrt{\left(2^{7}\right)^{2}}=2^{7}=128$ $ \mathrm{B}=\sqrt{\dfrac{3}{15}}: \sqrt{\dfrac{36}{45}}=\sqrt{\dfrac{3}{15}: \dfrac{36}{45}}$ $=\sqrt{\dfrac{3}{15} \cdot \dfrac{45}{36}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}}=\dfrac{1}{2}$ $C=\sqrt[3]{-0,5} \sqrt[3]{1,25} \sqrt[3]{\dfrac{16}{10}}=\sqrt[3]{(-0,5) \cdot 1,25 \cdot \dfrac{16}{10}}$ $=\sqrt[3]{\dfrac{-1}{2} \cdot \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{16}{10}}=\sqrt[3]{-1}=-1$ Bài 8: Rút gọn các biểu thức: a) $ \dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}+\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}$ b) $ \sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}}+\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}$ c) $ \dfrac{2}{\sqrt{3}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{3}-2}+\dfrac{6}{\sqrt{3}+3}$ Giải: a) $ \dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}+\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}=\dfrac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{7}-\sqrt{5})^{2}}{(\sqrt{7}+\sqrt{5})(\sqrt{7}-\sqrt{5})}$ $=\dfrac{12+2 \sqrt{35}+12-2 \sqrt{35}}{7-5}$ $=\dfrac{24}{2}=12$ b) $ \sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}}+\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}=\dfrac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{\sqrt{3-\sqrt{5}}}+\dfrac{\sqrt{3-\sqrt{5}}}{\sqrt{3+\sqrt{5}}}$ $=\dfrac{(\sqrt{3+\sqrt{5}})^{2}+(\sqrt{3-\sqrt{5}})^{2}}{\sqrt{3-\sqrt{5} \cdot \sqrt{3+\sqrt{5}}}}$ $=\dfrac{3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}}{\sqrt{4}}$ $=\dfrac{6}{2}=3$ c) $ \dfrac{2}{\sqrt{3}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{3}-2}+\dfrac{6}{\sqrt{3}+3}$ $=\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{3}-2}+\dfrac{2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}$ $=\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{3}-2}+\dfrac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}$ $=\dfrac{2+2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{3}-2}$ $=2-\dfrac{1}{\sqrt{3}-2}$ $=\dfrac{2 \sqrt{3}-4-1}{\sqrt{3}-2}$ $=\dfrac{2 \sqrt{3}-5}{\sqrt{3}-2}$ $=\dfrac{(2 \sqrt{3}-5)(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}$ $=\dfrac{-4-\sqrt{3}}{-1}=4+\sqrt{3}$ Bài 9: Tính: a) $ \sqrt{4+2 \sqrt{3}}$ b) $ \sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}$ c) $ \sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12 \sqrt{5}}}}$ Giải: a) $ \sqrt{4+2 \sqrt{3}}=\sqrt{3+2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1+1}=\sqrt{(\sqrt{3}+1)^{2}}=\sqrt{3}+1$ b) $ \sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}=\sqrt{5-\sqrt{13+4 \sqrt{3}}}$ $=\sqrt{5-\sqrt{(2 \sqrt{3})^{2}+2.2 \sqrt{3}+1}}$ $=\sqrt{5-\sqrt{(2 \sqrt{3}+1)^{2}}}=\sqrt{5-(2 \sqrt{3}+1)}$ $=\sqrt{4-2 \sqrt{3}}$ $=\sqrt{3-2 \sqrt{3}+1}=\sqrt{(\sqrt{3}-1)^{2}}=|\sqrt{3}-1|$ $=\sqrt{3}-1$ $ \sqrt{29-12 \sqrt{5}}=\sqrt{20-2 \cdot 2 \sqrt{5} \cdot 3+9}$ Ta có: $ \sqrt{29-12 \sqrt{5}}=\sqrt{20-2.2 \sqrt{5} .3+9}$ $=\sqrt{(2 \sqrt{5}-3)^{2}}=|2 \sqrt{5}-3|=2 \sqrt{5}-3$ Do đó: $ \begin{aligned} \sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12 \sqrt{5}}}} &=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-(2 \sqrt{5}-3)}} \\ &=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{6-2 \sqrt{5}}} \\ &=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{5-2 \sqrt{5}+1}} \\ &=\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{(\sqrt{5}-1)^{2}}} \\ &=\sqrt{{\sqrt{5}-\left| {\sqrt{5}-1} \right|}} \\ &=\sqrt{\sqrt{5}-(\sqrt{5}-1)} \\ &=\sqrt{1}=1 \end{aligned}$ Bài 10: Rút gọn biểu thức $A=\sqrt{15+\sqrt{60}+\sqrt{140}+\sqrt{84}}$ Giải: Ta thấy: $ \sqrt{60}=2 \sqrt{15}=2 \sqrt{5} \cdot \sqrt{3}$ $ \sqrt{140}=2 \sqrt{35}=2 \sqrt{5} \cdot \sqrt{7}$ $ \sqrt{84}=2 \sqrt{21}=2 \sqrt{7} \cdot \sqrt{3}$ Và $15=3+5+7$ Áp dụng hằng đẳng thức: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 c a=a^{2}+b^{2}+c^{2}$ $A=\sqrt{15+\sqrt{60}+\sqrt{140}+\sqrt{84}}$ $=\sqrt{3+5+7+2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}+2 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{7}+2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}$ $=\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7})^{2}}$ $=\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{7}$ |