Cho tam giác ABC vuông tại A. đường phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC. gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh rằng :
- ΔABE = ΔHBE
- BE là đường trung trực của AH.
- EK = EC.
- AE < EC
GIẢI.
1. ΔABE = ΔHBE
Xét ΔABE và ΔHBE, ta có :
[gt]
[ BE là đường phân giác BE].
BE là cạnh chung.
\=> ΔABE = ΔHBE
2. BE là đường trung trực của AH :
BA =BH và EA = EH [ΔABE = ΔHBE]
\=> BE là đường trung trực của AH .
3. EK = EC
Xét ΔKAE và ΔCHE, ta có :
[gt]
EA = EH [cmt]
[ đối đỉnh].
\=> ΔKAE và ΔCHE
\=> EK = EC
4. EC > AC
Xét ΔKAE vuông tại A, ta có :
KE > AE [KE là cạnh huyền]
Mà : EK = EC [cmt]
\=> EC > AC.
———————————————————————————-
BÀI 2 :
Cho tam giác ABC vuông tại A [AB < AC].Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC.
- Chứng minh : BC = DE.
- Chứng minh : tam giác ABD vuông cân và BD // CE.
- Kẻ đường cao AH của tam giác ABC tia AH cắt cạnh DE tại M. từ A kẻ đường vuông góc CM tại K, đường thẳng này cắt BC tại N . Chứng minh : NM // AB.
- Chứng minh : AM = DE/2.
GIẢI.
- Xét Δ ABC và Δ AED, ta có :
[đối đỉnh]
AB = AD [gt]
AC = AD [gt]
\=> Δ ABC = Δ AED [hai cạnh góc vuông]
\=> BC = DE
Xét Δ ABD, ta có :
[Δ ABC vuông tại A]
\=> AD AE
\=>
\=> Δ ABD vuông tại A.
mà : AB = AD [gt]
\=> Δ ABD vuông cân tại A.
\=>
cmtt :
\=>
mà : ở vị trí so le trong
\=> BD // CE
- Xét Δ MNC, ta có :
NK MC = > NK là đường cao thứ 1.
MH NC = > MH là đường cao thứ 2.
NK cắt MH tại A.
\=> A là trực tâm. = > CA là đường cao thứ 3.
\=> MN AC tại I.
mà : AB AC
\=> MN // AB.
- Xét Δ AMC, ta có :
[đối đỉnh]
[Δ ABC = Δ AED]
\=> [cùng phụ góc ABC]
\=> Δ AMC cân tại M
\=> AM = ME [1]
Xét Δ AMI và Δ DMI, ta có :
[MN AC tại I]
IM cạnh chung.
mặt khác : [so le trong]
[đồng vị]
mà : [cmt]
\=>
\=> Δ AMI = Δ DMI [góc nhọn – cạnh góc vuông]
\=> MA = MD [2]
từ [1] và [2], suy ta : MA = ME = MD
ta lại có : ME = MD = DE/2 [D, M, E thẳng hàng]
\=>MA = DE/2.
\=========================================================
BÀI TẬP RÈN LUYỆN :
Bài 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A có . Vẽ AK vuông góc BC [ K thuộc BC ]. Trên tia đối của tia KA lấy điểm M sao cho KA = KM
1. Chứng minh: DKAB = D KMB. Tính số đo MÂB
2. Trên tia KB lấy điểm D sao cho KD = KC. Tia MD cắt AB tại N. Chứng minh: MN vuông góc AB
3. So sánh MD + DB với AB
Bài 2:
Cho ΔABC vuông taï A và góc C = 300.Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA .
a/ Chứng minh : ΔABD đều , tính góc DAC .
b/ Vẽ DE vuông góc AC [E thuộc AC]. Chứng minh : ΔADE = ΔCDE .
c/ Cho AB = 5cm , .Tính BC và AC.
d/ Vẽ AH vuông góc BC [H thuộc BC]. Chứng minh :AH + BC > AB +AC
Bài 3:
Cho ABC cân tại A [A < 900]. Vẽ tia phân giác AH của góc BAC [H thuộc BC]; biết AB = 15cm, BH = 9cm.
- CMR: Δ ABH = Δ ACH
- Vẽ trung tuyến BD. BD cắt AH tại G. Chứng minh: G là trọng tâm của ABC. Tính AG.
- Qua H vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E. Chứng minh: 3 điểm A ; G ; E thẳng hàng
Bài 4:
Cho tam giác ABC cân tại A . Trên tia đối của BC lấy điểm M , trên tia đối của CB lấy N sao cho BM = CN , Vẽ BD vuông góc AM tại D , CE vuông góc AN tại E .
Cho biết AB= 10 cm , BH = 6 cm . Tính độ dài đoạn AH
- Chứng minh : tam giác AMN cân.
- Chứng minh : DB = CE
- Gọi K là giao điểm của DB và EC . Chứng minh ΔADK = ΔAEK.
- Chứng minh KD + KE < 2KA .
Bài 5:
Cho ΔABC đều có cạnh 10cm. Từ A dựng tia Ay vuông góc với AB cắt BC tại M. [3,5 điểm]
a/ Chứng minh: ΔACM cân.
b/ Kẻ AH vuông góc BC [ HÎ BC], lấy điểm I Î AH. Biết AB < AM, chứng minh: IB < IM
c/ Kẻ CN vuông góc AM [N Î AM], nối HN. Chứng minh: ΔAHN đều
d/ Tính độ dài đoạn thẳng HN.
Bài 6:
Cho Δ ABC vuông tại A. trên nửa mặt phẳng có bờ BE không chứa điểm A. Vẽ Bx sao cho góc ABC = góc CBx. Gọi K là giao điểm Bx và AC . Kẻ CH vuông góc Bx [ HÎ Bx] . Gọi N là giao điểm CH và AB
- Chứng minh : Δ HBC = Δ ABC
- Chứng minh BC là đường trung trực AH
- Chứng minh CN = CK
- Chứng minh CK > CA
Bài 7:
Cho ΔABC vuông tại A có AB = 6cm ; AC = 8cm. Vẽ trung tuyến AM.
- Tính độ dài AM.
- Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh: ΔAMB = ΔDMC
- Chứng minh: AC vuông góc DC
- Chứng minh: AM < [AB + AC ] : 2
Bài 8 :
tam giác ABC vuông tại A; phân giác BD. Kẻ DE vuông góc BC [E thuộc BC]. Gọi F là giao điểm của BA và ED. Chứng minh :
- BD là đường trung trực của AE
- DF = DC
- AD < DC
Bài 9 :
Cho tam giác vuông tại A, đường trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA .
a.] Tính số đo góc ABD.
b.] Chứng minh rằng tam giác ABC bằng tam giác BAD .
c.] So sánh độ dài AM và BC .
\===============================
ĐỀ THI :
Đề thi kiểm tra môn toán lớp 7 học kỳ II
Môn toán lớp 7 [90 phút]
Bài 1 [1,5 đ] :
Điểm kiểm tra một tiết môn toán lớp 7A một trường được ghi như sau :
87566452637237655678658107692109
- Dấu hiệu ở đây là gì ? lớp có bao nhieu học sinh ?
- Hãy lập bảng tần số và tính số trung bình cộng.
Bài 2 [1 đ] :
- Cho biểu thức : A = 0,5x2y3 – 4xy + 5
- Tính giá trị của A tại x = -2; y = 2/3
Bài 3[2 đ] :Cho hai đa thức :
P[x] = 7x3 – x2 + 5x – 2x3 + 6 – 8x
Q[x] = -2x + x3 – 4x2 + 3 – 5x2
- Thu gọn và sắp xếp mỗi đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến.
- Tính P[x] – Q[x]; P[x] + Q[x].
Bài 4 [2 đ]:
- Tìm nghiệm của đa thức : 0,2x + 1/5
- Tìm a để đa thức ax – 1,5 có nghiệm là -2
Bài 5 [3,5 đ]:
Cho tam giác ABC vuông tại A [AB < AC].Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AE = AC.
- Chứng minh : BC = DE.
- Chứng minh : tam giác ABD vuông cân và BD // CE.
- Kẻ đường cao AH của tam giác ABC tia AH cắt cạnh DE tại M. từ A kẻ đường vuông góc CM tại K, đường thẳng này cắt BC tại N . Chứng minh : NM // AB.