Cách so sánh 2 căn thức

• Xem
• Lịch sử chỉnh sửa
• Bản đồ
• Files

Phương pháp giải:

Ở đây ta quy ước một số hay một biểu thức ta đều ký hiệu là A cho thuận tiện. Với các câu hỏi dễ thì A thường là một số còn với câu hỏi yêu cầu nhiều kỹ năng biến đổi hơn thì A thường là biểu thức.

Để rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai đã cho, ta sử dụng các phép biến đổi như đưa thừa số ra ngoài dấu căn hoặc vào trong căn, trục căn thức ở mẫu, quy đồng mẫu thức... một cách linh hoạt.

Để so sánh giá một biểu thức P với A, ta thường làm theo hai bước sau:

Bước 1. Rút gọn biểu thức nếu cần;

Bước 2. Ta xét hiệu \[P-A\] và so sánh hiệu này với \[0\], khi đó ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu hiệu \[P-A\] lớn hơn \[0\] thì \[P\] lớn hơn \[A\];

Trường hợp 2: Nếu hiệu \[P-A\] nhỏ hơn \[0\] thì \[P\] nhỏ hơn \[A\];

Trường hợp 3: Nếu hiệu \[P-A\] bằng \[0\] thì \[P\] bằng \[A\].

Ví dụ :

So sánh giá trị của biểu thức \[P\] với \[1\] biết \[P = \left[ {\dfrac{{\sqrt x }}{{x - 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right]:\dfrac{2}{{\sqrt x  - 1}}\,\,\,\left[ {x \ge 0,\,x \ne 1} \right].\]

Giải:

Bước 1. [Rút gọn biểu thức] Ta có:

\[P = \left[ {\dfrac{{\sqrt x }}{{\left[ {\sqrt x  + 1} \right]\left[ {\sqrt x  - 1} \right]}} + \dfrac{{\sqrt x  + 1}}{{\left[ {\sqrt x  + 1} \right]\left[ {\sqrt x  - 1} \right]}}} \right].\dfrac{{\sqrt x  - 1}}{2}\]

\[P = \dfrac{{2\sqrt x  + 1}}{{\left[ {\sqrt x  - 1} \right]\left[ {\sqrt x  + 1} \right]}}.\dfrac{{\sqrt x  - 1}}{2}\]

\[P = \dfrac{{2\sqrt x  + 1}}{{2\sqrt x  + 2}}\]

Bước 2. Xét hiệu \[P-1\]:

Ta có \[P - 1 = \dfrac{{2\sqrt x  + 1}}{{2\sqrt x  + 2}} - 1 = \dfrac{{ - 1}}{{2\sqrt x  + 2}} < 0\,\forall x \ge 0,\,x \ne 1.\]

Do đó \[P < 1\]