Cách tìm tham số m lớp 10

Cập nhật lúc: 12:04 13-09-2018 Mục tin: LỚP 10

A. Giải và biện luận phương trình

Ví dụ minh họa

Bài 1: Với tham số ở hệ phương trình bậc hai

Cho phương trình \[m{x^2} - 2\left[ {m - 2} \right]x + m - 3 = 0\] [1] với m là tham số. Biện luận theo m sự có nghiệm của phương trình [1].

Giải

Bước 1:

+] Nếu \[m = 0\] thay vào [1] ta có \[4x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{4}\]

Bước 2 :

+] Nếu \[m \ne 0\]. Lập biệt số \[\Delta ' = {\left[ {m - 2} \right]^2} - m\left[ {m - 3} \right] =  - m + 4\]

\[\Delta ' < 0 \Leftrightarrow  - m + 4 < 0 \Leftrightarrow m > 4:\] Phương trình [1] vô nghiệm

\[\Delta ' = 0 \Leftrightarrow  - m + 4 = 0 \Leftrightarrow m = 4:\] Phương trình [1] có nghiệm kép

\[{x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a} = \frac{{m - 2}}{m} = \frac{{4 - 2}}{4} = \frac{1}{2}\]

\[\Delta ' > 0 \Leftrightarrow  - m + 4 > 0 \Leftrightarrow m < 4:\] Phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt

\[{x_1} = \frac{{m - 2 - \sqrt { - m + 4} }}{m};\,\,{x_2} = \frac{{m - 2 + \sqrt { - m + 4} }}{m}\]

Vậy :

\[m > 4:\] Phương trình [1] vô nghiệm

\[m = 4:\] Phương trình [1] có nghiệm kép \[x = \frac{1}{2}\]

\[0 \ne m < 4:\] Phương trình [1] có 2 nghiệm phân biệt \[{x_1} = \frac{{m - 2 - \sqrt { - m + 4} }}{m};\,\,{x_2} = \frac{{m - 2 + \sqrt { - m + 4} }}{m}\]

\[m = 0:\] Phương trình [1] có nghiệm đơn \[x = \frac{3}{4}\].

Bài 2 : Với hệ số của phương trình bậc hai đã cho khác 0

Cho phương trình \[{x^2} + 2x + m - 1 = 0\,\,\left[ 2 \right]\] [m là tham số]. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình.

Giải

Ta có : \[\Delta ' = {1^2} - \left[ {m - 1} \right] = 2 - m\]

\[\Delta ' < 0 \Leftrightarrow 2 - m < 0 \Leftrightarrow m > 2:\] Phương trình [2] vô nghiệm.

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 10 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

I. Tóm tắt lý thuyết

Cách giải và biện luận phương trình dạng ax+b=0 được tóm tắt trong bảng sau

ax + b = 0  [1]
Hệ số	Kết luận
a ≠ 0	[1] có nghiệm duy nhất x = -b/a
a = 0	b ≠ 0	[1] vô nghiệm
b = 0	[1] nghiệm đúng với mọi x

Khi a ≠ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

II. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho phương trình [m2 - 7m + 6]x + m2 - 1 = 0

a. Giải phương trình khi m = 0

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

Hướng dẫn:

a. Với m = 0 phương trình trở thành 6x - 1 = 0 ⇔ x = 1/6

Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1/6

b. Ta có [m2 - 7m + 6]x + m2 - 1 = 0 ⇔ [m-1][m-6]x + [m-1][m+1] = 0

Nếu m = 1 phương trình trở thành 0 = 0. Khi đó phương trình có vô số nghiệm.

Nếu m = 6 thì phương trình trở thành 35 = 0 [Vô lí]. Khi đó phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình [2m - 4]x = m - 2 có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn:

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 2m - 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2

B. Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m

I. Tóm tắt lý thuyết và phương pháp giải

Giải và biện luận phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0

Bước 1. Biến đổi phương trình về đúng dạng ax2 + bx + c = 0

Bước 2. Nếu hệ số a chứa tham số, ta xét 2 trường hợp:

- Trường hợp 1: a = 0, ta giải và biện luận ax + b = 0.

- Trường hợp 2: a ≠ 0. Ta lập Δ = b2 - 4ac. Khi đó:

+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt 

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có 1 nghiệm [kép]: x = -b/2a

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Bước 3. Kết luận.

Lưu ý:

- Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm 

- Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất 

II. Ví dụ minh họa

Bài 1: Phương trình [m–1]x2 + 3x – 1 = 0. Phương trình có nghiệm khi:

Hướng dẫn:

Với m = 1, phương trình trở thành 3x - 1 = 0 ⇔ x = 1/3

Do đó m = 1 thỏa mãn.

Với m ≠ 1, ta có Δ = 9 + 4[m-1] = 4m + 5

Phương trình có nghiệm khi Δ ≥ 0

Hợp hai trường hợp ta được m ≥ -5/4 là giá trị cần tìm

Bài 2: Phương trình [x2 - 3x + m][x - 1] = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi:

Hướng dẫn:

Phương trình [1] có 3 nghiệm phân biệt

⇔ Phương trình [2] có hai nghiệm phân biệt khác 1

Tham khảo các bài học khác

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Tải xuống

Tài liệu Các dạng bài Phương trình chứa tham số ôn thi vào 10 môn Toán năm 2022 có lời giải chi tiết giúp học sinh củng cố kiến thức, ôn luyện để chuẩn bị tốt cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán.

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ ÔN THI VÀO 10

Dạng 1: Giải và biện luận phương trình chứa tham số

1.Phương trình ax + b = 0 [1]

          - TH1:Nếu a = 0 thì [1] có dạng  b = 0 . Khi đó nếu b = 0 thì [1] có tập nghiệm là R, nếu b ≠ 0 thì [1] vô nghiệm 

          - TH2: Nếu a ≠ 0 thì

. Khi đó phương trình [1] có nghiệm duy nhất

          + Chú ý:  Nếu phương trình chưa ở dạng tổng quát [ ax + b = 0] thì phải biến đổi đưa về dạng tổng quát trước rồi mới giải và biện luận

2.Phương trình ax2 + bx + c = 0 [2]

B1: Nếu phương trình chưa ở dạng ax2 + bx + c = 0 thì biến đổi đưa phương trình về đúng dạng này 

B2: Nếu hệ số a chứa tham số ta xét 2 trường hợp 

• Trường hợp 1: a = 0, ta giải và biện luận phương trình bx + c = 0
• Trường hợp 2: a  ≠ 0, ta lập biểu thức ∆ = b2 – 4ac. Khi đó :

+ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm 

+ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:  

+ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 

               

          B3: Kết luận

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình: x2 – 3x + m = 0 

Giải

Phương trình đã cho là phương trình bậc 2 có hệ số a = 1 

Ta có: ∆ = b2 – 4ac = [-3]2 – 4.1.m = 9 – 4m

+ Nếu ∆ < 0 

 thì phương trình vô nghiệm 

+ Nếu ∆ = 0 

thì phương trình có nghiệm kép: 

+ Nếu ∆ > 0 

thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 

       

Kết luận : - Nếu

 thì phương trình vô nghiệm

                - Nếu

 thì phương trình có nghiệm kép

                 

                          - Nếu

 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 

                           

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình  mx2 – x + 2 = 0[1] 

Giải

Trường hợp 1: nếu m = 0 thì phương trình [1] trở thành 

                    -x + 2 = 0 ⇔x = 2

Trường hợp 2: nếu m ≠ 0 thì phương trình [1] là phương trình bậc hai có 

          ∆ = b2 – 4ac = [-1]2 – 4.2.m = 1 – 8m

          + Nếu ∆ < 0 

         

           thì phương trình vô nghiệm 

+ Nếu ∆ = 0 

thì phương trình có nghiệm kép: 

+ Nếu ∆ > 0 

thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt: 

Kết luận : - Nếu

 thì phương trình vô nghiệm

                - Nếu

 hoặc m = 0 thì phương trình có 1 nghiệm

                          - Nếu

 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 

                                             

   

Ví dụ 3: Giải và biện luận phương trình  mx – x + 1 = 0[1] 

Giải

Phương trình [1]⇔[m-1]x + 1 = 0 [2] 

Nếu m – 1 = 0 ⇔m = 1 thì [2] có dạng 1 = 0 [ vô nghiệm ]

Nếu m – 1 ≠ 0 ⇔m ≠ 1 thì 

Kết luận 

          Nếu m = 1 thì phương trình [1] vô nghiệm

          Nếu m ≠ 1 thì phương trình [1] có một nghiệm duy nhất 

Dạng 2: Tìm tham số thỏa mãn yêu cầu của bài toán

1.Phương trình ax + b = 0 [1]

- Điều kiện để phương trình [1] có nghiệm duy nhất là a ≠ 0

- Điều kiện để phương trình [1] vô nghiệm  là a = 0 và b ≠ 0

- Điều kiện để phương trình [1] có vô số nghiệm duy nhất là a = 0 và b = 0

2.Phương trình ax2 + bx + c = 0 [2]

a. Điều kiện để phương trình

1. Có nghiệm ⇔∆ ≥ 0

2. Vô nghiệm ⇔∆ < 0

3. Có nghiệm kép ⇔∆ = 0

4. Có hai nghiệm phân biệt [khác nhau] ⇔∆ > 0

5. Hai nghiệm cùng dấu⇔∆ ≥ 0 và P > 0

6. Hai nghiệm trái dấu khi a.c < 0

7. Hai nghiệm dương [lớn hơn 0]⇔∆ ≥ 0 ; S > 0 và P > 0

8. Hai nghiệm âm [nhỏ hơn 0] ⇔∆ ≥ 0; S < 0 và P > 0

9. Hai nghiệm đối nhau⇔∆ ≥ 0 và S = 0

10. Hai nghiệm nghịch đảo của nhau⇔∆ ≥ 0 và P = 1

11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn khi ac < 0 và S < 0

12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn khi

 ac < 0 và S > 0

b. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho x1 = px2 [với p là một số thực]

          B1- Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt .

          B2- Áp dụng định lý Vi - ét tìm:

[1] và   [2]

          B3- Kết hợp [1] và [3] giải hệ phương trình:

           

                    ⇒ x1 và x2

          B4- Thay x1 và x2 vào [2] ⇒ Tìm giá trị tham số.

c. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện:

          - Bình phương trình hai vế:

- Áp dụng định lý Vi-ét tính x1 + x2 và x1x2 thay vào biểu thức⇒ kết luận.

d. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kỳ: 

B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm [∆ ≥ 0]

B2: Áp dụng Vi-ét tính x1 + x2 và x1x2  [*]

          +/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm > α

          Ta có 

         

[*].

          Thay biểu thức Vi-ét vào hệ[*] để tìm m

          +/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm < α

          Ta có  

           

[*].

           Thay biểu thức Vi-ét vào hệ[*] để tìm m

+/ Với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm: x1 < α < x2

Ta có

[*] .Thay biểu thức Vi-ét vào [*] để tìm m

Ví dụ 1: 

a] Tìm m để phương trình [5 – m] x + 4m – 2 = 0 vô nghiệm

b] Tìm m để phương trình m2x + m – 2 = x + 1 có vô số nghiệm

Giải

a] Phương trình đã cho vô nghiệm

 

 Vậy với m = 5 thì phương trình vô nghiệm

b] Phương trình m2x + m – 2 = x + 1

⇔m2x + m – 2 - x – 1 = 0

⇔[m2 – 1]x + m – 3 = 0

Phương trình đã cho có vô số nghiệm 

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình có vô số nghiệm

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình  x2 – [m2 + 1]x +m2 – 7m + 12 = 0 có hai nghiệm trái dấu

Giải

Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0

                           

 

Vậy với 3 < m < 4 thì phương trình có hai nghiệm trái dấu

Ví dụ 3: Cho phương trình: x2 – 2mx – 6m - 9 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thỏa mãn

Giải

Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: 

Theo Vi-et ta có:

Suy ra

 

Với

 không thỏa mãn [*] nên loại

Với

 thỏa mãn [*] nên nhận

Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm m để phương trình: 2x2 – 4x + 5[m - 1] = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3.

Bài 2: Tìm m để phương trình: x2 + mx + m - 1 = 0 có hai nghiệm lớn hơn m.

Bài 3: Tìm a để phương trình x2 + ax – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn 2

Bài 4: Tìm k để phương trình x2 + [2k + 1]x + k2 = 0 có ít nhất một nghiệm lớn hơn hay bằng 1

Bài 5: Cho phương trình: x2 – 2[m + 1]x + 4m = 0

a] Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.

b] Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại.

c] Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu [trái dấu]

d] Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dương [cùng âm].

e] Định m để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.

f] Định m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - 2.

g] Định m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 sao cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận giá trị nhỏ nhất.

Bài 6: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:

a] [m + 1]x2 – 2[m + 1]x + m – 3 = 0  ;    

[4x1 + 1][4x2 + 1] = 18

b] mx2 – [m – 4]x + 2m = 0  ;                    

2[x12 + x22] = 5x1x2

c] [m – 1]x2 – 2mx + m + 1 = 0  ;            

4[x12 + x22] = 5x12x22

d] x2 – [2m + 1]x + m2 + 2 = 0  ;             

3x1x2 – 5[x1 + x2] + 7 = 0.

Bài 7: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra:

a] x2 + 2mx – 3m – 2 = 0  ;                               

2x1 – 3x2 = 1

b] x2 – 4mx + 4m2 – m = 0  ;                                       

x1 = 3x2

c] mx2 + 2mx + m – 4 = 0  ;                                        

2x1 + x2 + 1 = 0

d] x2 – [3m – 1]x + 2m2 – m = 0 ;                      

x1 = x22

e] x2 + [2m – 8]x + 8m3 = 0  ;                                     

x1 = x22

f] x2 – 4x + m2 + 3m = 0  ;                                

x12 + x2 = 6.

Bài 8: Cho phươnmg trình: [m + 2]x2 – [2m – 1]x – 3 + m = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.

Bài 9: Cho phương trình bậc hai: x2 – mx + m – 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho biểu thức  đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.

Bài 10: Định m để phương trình mx2 – [m + 3]x + 2m + 1 = 0 có hiệu hai nghiệm bằng 2.

Bài 11: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình: x2 + mx + 25 = 0. Chứng minh rằng |x1 + x2| > 10.

Bài 12: Cho phương trình: x2 + mx - 5 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có tổng bình phương các nghiệm bằng 11.

Bài 13: Tìm m để phương trình: [m -  1]x2 + 2x + m = 0 có ít nhất một nghiệm không âm.

Bài 14: Cho phương trình: x2 – [m + 2]x – 3 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 , x2  là các số nguyên.

Bài 15: Cho phương trình: x2 - [m + 5]x + 3m + 6 = 0.  Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2  là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5

Bài 16: Giải và biện luận các phương trình sau

          a] m[x – 1] + 4x = 5

          b] x + 4m2 = 2mx + 1

          c]  mx = m + 12 

Bài 17: Giải và biện luận các phương trình sau

         

Bài 18: Tìm m để phương trình sau có một nghiệm duy nhất

         

Bài 19: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm

          a] 5m2x + 7 = x – m

          b] 9mx – 3x = 4m + x

Bài 20: Tìm m để phương trình sau có vô số nghiệm

          a] x – 5m = mx +10

          b] [m – 2]x + 4m – 1 = 0

Tải xuống

Xem thêm bộ tài liệu các dạng bài tập ôn thi vào lớp 10 môn Toán chọn lọc, hay khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack