Cách xác định tâm đường tròn trong tam giác

‍I. ĐỊNH NGHĨA ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC

Đường tròn nội tiếp tam giác hay tam giác ngoại tiếp đường tròn là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác.

Ví dụ: ABC trên ngoại tiếp đường tròn (O, r =OH).

II. TÂM ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC LÀ GÌ?

Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm giữa 3 đường phân giác của tam giác đó (hoặc có thể là 2 đường phân giác) do vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác chính bằng khoảng cách từ tâm hạ vuông góc xuống ba cạnh của tam giác.

Ví dụ: Đường tròn (O, R) nội tiếp ABC có tâm là điểm O là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác.

Ngoài ra đối với tam giác đều, đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác có cùng tâm đường tròn với nhau và tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều vừa là giao điểm của 3 đường trung trực, 3 trung tuyến, 3 đường cao và 3 đường phân giác do tích chất của tam giác đều.

Ví dụ: Đường tròn tròn ngoại tiếp và nội tiếp EFG đều có tâm là điểm O vừa là giao điểm của 3 đường trung trực, 3 trung tuyến, 3 đường cao và 3 đường phân giác.

III. CÁCH XÁC ĐỊNH TÂM ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC

Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm giữa 3 đường phân giác của tam giác đó (hoặc có thể là 2 đường phân giác).

Ngoài ra khi biết tọa độ 3 điểm của tam giác có 2 cách để xác định tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác:

Cách 1: Gọi tọa độ tâm đường tròn nội tiếp ABC đã cho là I(x, y); M, N, P là chân đường phân giác trong của ABC kẻ lần lượt từ A,B,C

Bước 1: Tính độ dài các cạnh của ABC.

Bước 2: Tính tỉ số \(k_{1} = \frac{AB}{AC}, k_{2} = \frac{BA}{BC}, k_{3}=\frac{CA}{CB}\).

Bước 3: Tìm tọa độ các điểm M, N, P dựa trên tỷ số vừa tìm được qua tính chất đường phân giác trong tam giác.

Bước 4: Viết phương trình 2 đường thẳng AM, BN.

Bước 5: Giao điểm của đường thẳng AM, BN trên chính là tâm của đường tròn nội tiếp ABC I(x, y). Giải hệ phương trình ta sẽ có tọa độ tâm của đường tròn nội tiếp ABC cần tìm.

Cách 2: Gọi tọa độ tâm đường tròn nội tiếp ABC đã cho là I(x, y):

Bước 1: Tính độ dài các cạnh của ABC.

Bước 2: Trong mặt phẳng Oxy, ta có thể xác định tọa độ điểm I(x, y) như sau: \(\begin{cases} x_{I} = \frac{BC.x_{A} + CA.x_{B} + AB.x_{C}}{BC+CA+AB} \\ y_{I} = \frac{BC.y_{A}+CA.y_{B}+AB.y_{C}}{BC+AC+BC} \end{cases}\). Giải hệ phương trình ta sẽ có tọa độ tâm của đường tròn nội tiếp tam giác cần tìm.

III. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ TÂM ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy cho ABC với A(1;5) B(4;5) và C(4;-1).Tìm tâm của đường tròn nội tiếp ABC .

Lời giải tham khảo:

Gọi tọa độ tâm đường tròn nội tiếp ABC đã cho là I(x, y).

Ta có:

\(AB= \sqrt{(1+4)^2 + (5+5)^2}=5\sqrt{5}\)

\(AC= \sqrt{(1-4)^2 + (5+1)^2}=3\sqrt{5}\)

\(BC= \sqrt{(4+4)^2 + (-5+1)^2}=4\sqrt{5}\)

Tâm I(x, y) của đường tròn nội tiếp ABC là:

\(\begin{cases} x_{I} = \frac{BC.x_{A} + CA.x_{B} + AB.x_{C}}{BC+CA+AB} = \frac{4\sqrt{5}.1 + 3\sqrt{5}.(-4)+5\sqrt{5}.4}{4\sqrt{5}+3\sqrt{5}+5\sqrt{5}} = 1\\ y_{I} = \frac{BC.y_{A}+CA.y_{B}+AB.y_{C}}{BC+AC+BC} = \frac{4\sqrt{5}.5 + 3\sqrt{5}.(-5)+5\sqrt{5}.(-1)}{4\sqrt{5}+3\sqrt{5}+5\sqrt{5}}=0\end{cases}\)

Tọa độ tâm đường tròn nội tiếp ABC đã cho là I(1;0).