- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
Giải các phương trình sau :
LG a
\[\tan {x \over 2} = \tan x\]
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \[\left\{ {\matrix{{\cos {x \over 2} \ne 0} \cr {\cos x \ne 0} \cr} } \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{2} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi
\end{array} \right.\] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne \pi + k2\pi \\
x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi
\end{array} \right.\]
Ta có:\[\tan {x \over 2} = \tan x\]
\[\Leftrightarrow x = {x \over 2} + k\pi\]
\[\Leftrightarrow x = k2\pi \,\] [nhận]
LG b
\[\tan \left[ {2x + 10^\circ } \right] + \cot x = 0\]
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \[\left\{ {\matrix{{\cos \left[ {2x + 10^\circ } \right] \ne 0} \cr {\sin x \ne 0} \cr} } \right.\]
Ta có:
\[\eqalign{
& \tan \left[ {2x + 10^\circ } \right] + \cot x = 0 \cr&\Leftrightarrow \tan \left[ {2x + {{10}^0}} \right] = - \cot x\cr&\Leftrightarrow \tan \left[ {2x + 10^\circ } \right] = \tan \left[ {90^\circ + x} \right] \cr
& \Leftrightarrow 2x + 10^\circ = 90^\circ + x + k180^\circ\cr&\Leftrightarrow x = 80^\circ + k180^\circ \cr} \]
Hiển nhiên \[x = 80^0 + k180^0\] thỏa mãn ĐKXĐ.
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là\[x = 80^0 + k180^0\]
LG c
\[\left[ {1 - \tan x} \right]\left[ {1 + \sin 2x} \right] = 1 + \tan x\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[t = \tan x\], với điều kiện \[\cos x 0\].
Ta có: \[\sin 2x = {{2\tan x} \over {1 + {{\tan }^2}x}} = {{2t} \over {1 + {t^2}}}\]
Do đó : \[1 + \sin 2x = 1 + {{2t} \over {1 + {t^2}}} = {{{{\left[ {1 + t} \right]}^2}} \over {1 + {t^2}}}\]
Vậy ta có phương trình:
\[\eqalign{& \left[ {1 - t} \right]{{{{\left[ {1 + t} \right]}^2}} \over {1 + {t^2}}} = 1 + t \cr & \Leftrightarrow \left[ {1 - t} \right]{\left[ {1 + t} \right]^2} = \left[ {1 + t} \right]\left[ {1 + {t^2}} \right]\Leftrightarrow 2{t^2}\left[ {1 + t} \right] = 0 \cr &\Leftrightarrow \left[ {1 + t} \right]\left[ {1 - {t^2}} \right] = \left[ {1 + t} \right]\left[ {1 + {t^2}} \right] \cr &\Leftrightarrow \left[ {1 + t} \right]\left[ {1 - {t^2} - 1 - {t^2}} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {1 + t} \right]\left[ { - 2{t^2}} \right] = 0\cr&\Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t = 0} \cr {t = - 1} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = 0} \cr {\tan x = - 1} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = k\pi } \cr {x = - {\pi \over 4} + k\pi } \cr} } \right. [TM]\cr} \]
LG d
\[\tan x + \tan 2x = \sin 3x\cos x\]
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ :\[\cos x \ne 0\,\text{ và }\,\cos 2x \ne 0.\] Với điều kiện đó, ta có :
\[\eqalign{& \tan x + \tan 2x = \sin 3x\cos x \cr &\Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} = \sin 3x\cos x \cr& \Leftrightarrow \frac{{\sin x\cos 2x + \cos x\sin 2x}}{{\cos x\cos 2x}} = \sin 3x\cos x\cr&\Leftrightarrow {{\sin 3x} \over {\cos x\cos 2x}} = \sin 3x\cos x \cr & \Leftrightarrow \sin 3x\left[ {{1 \over {\cos x\cos 2x}} - \cos x} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\sin 3x = 0} \cr {{1 \over {\cos x\cos 2x}} = \cos x} \cr} } \right. \cr & +]\sin 3x = 0 \Leftrightarrow x = k{\pi \over 3} \cr & +]{1 \over {\cos x\cos 2x}} = \cos x\cr& \Leftrightarrow {\cos ^2}x\cos 2x = 1 \cr&\Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 2x}}{2}.\cos 2x = 1\cr&\Leftrightarrow \left[ {1 + \cos 2x} \right]\cos 2x = 2 \cr & \Leftrightarrow {\cos ^2}2x + \cos 2x - 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow \cos 2x = 1 \Leftrightarrow x = k\pi \cr} \]
Vậy phương trình có nghiệm \[x = k{\pi \over 3}\left[ {k \in \mathbb Z} \right]\]
LG e
\[\tan x + \cot 2x = 2\cot 4x\]
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ :\[\cos x \ne 0,\sin 2x \ne 0\] và \[\sin 4x \ne 0.\]
Tuy nhiên chỉ cần \[\sin 4x 0\] là đủ [vì \[\sin 4x = 2\sin2x\cos2x = 4\sin x\cos x\cos2x\]].
Với điều kiện đó ta có :
\[\eqalign{& \tan x + \cot 2x = 2\cot 4x \cr & \Leftrightarrow {{\sin x} \over {\cos x}} + {{\cos 2x} \over {\sin 2x}} = {{2\cos 4x} \over {\sin 4x}} \cr & \Leftrightarrow {{\sin x\sin 2x + \cos x\cos 2x} \over {\cos x\sin 2x}} = {{2\cos 4x} \over {2\sin 2x\cos 2x}} \cr &\Leftrightarrow \frac{{\cos \left[ {2x - x} \right]}}{{\cos x\sin 2x}} = \frac{{\cos 4x}}{{\sin 2x\cos 2x}}\cr & \Leftrightarrow \frac{{\cos x}}{{\cos x\sin 2x}} = \frac{{\cos 4x}}{{\sin 2x\cos 2x}} \cr & \Leftrightarrow 1 = \frac{{\cos 4x}}{{\cos 2x}}\cr&\Leftrightarrow \cos 4x = \cos 2x \cr & \Leftrightarrow 4x = \pm 2x + k2\pi \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = k\pi } \cr {x = k{\pi \over 3}} \cr} } \right. \Leftrightarrow x = k{\pi \over 3} \cr} \]
Để là nghiệm, các giá trị này còn phải thỏa mãn điều kiện \[\sin 4x 0\].
Ta có:
- Nếu \[k\] chia hết cho 3, tức là \[k = 3m\] [\[m\in\mathbb Z\]] thì \[x = \frac{{3m\pi }}{3} = m\pi \] \[\Rightarrow \sin 4x = \sin 4m\pi = 0\] nên không thỏa mãn.
- Nếu \[k\] không chia hết cho 3, tức là \[k = 3m ± 1\] [\[m\in\mathbb Z\]]thì :
\[\sin 4x = \sin \left[ { \pm {{4\pi } \over 3} + 4m\pi } \right] \] \[= \pm \sin {4\pi \over 3} = \pm {{\sqrt 3 } \over 2} \ne 0\] [TM]
Vậy nghiệm của phương trình là \[x = k{\pi \over 3}\] với \[k\] nguyên và không chia hết cho 3.