Cực trị toàn cực là gì

Tóm tắt kiến thức

1. Định nghĩa

Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên khoảng \((a ; b)\) và điểm \(x_0 \in(a ; b).\)

- Nếu tồn tại số \(h > 0\) sao cho\(f(x) < f(x_0),x (x_0- h ;x_0+ h), x \neqx_0\) thì ta nói hàm số \(f\) đạt cực đại tại\(x_0.\)

- Nếu tồn tại số \(h > 0\) sao cho \(f(x) > f(x_0),x (x_0- h ; x_0+ h), x \neq x_0\) thì ta nói hàm số \(f\) đạt cực tiểu tại\(x_0.\)

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lí 1.Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên khoảng \(K =(x_0- h ; x_0+ h) (h > 0)\) và có đạo hàm trên \(K\) hoặc trên\(K{\rm{\backslash }}\left\{ {{\rm{ }}{x_0}} \right\}\)

+) Nếu \(\left\{ \matrix{f'\left( x \right) > 0 \, |\,\forall \left( {{x_0} - h;\,\,{x_0}} \right) \hfill \cr f'\left( x \right) < 0\,|\,\forall \left( {{x_0};\,\,{x_0} + h} \right) \hfill \cr} \right.\) thì \(x_0\)là điểm cực đại của hàm số

+) Nếu \(\left\{ \matrix{f'\left( x \right) < 0\,|\,\forall \left( {{x_0} - h;\,\,{x_0}} \right) \hfill \cr f'\left( x \right) > 0\,|\,\forall \left( {{x_0};\,\,{x_0} + h} \right) \hfill \cr} \right.\)thì \(x_0\) là điểm cực tiểu của hàm số

Định lí 2. Cho hàm số\(y = f(x)\) có đạo hàm cấp hai trên khoảng\(K =(x_0- h ; x_0+ h) (h > 0).\)

- Nếu\(f '(x_0) = 0,f ''(x_0) > 0\) thì\(x_0\)là điểm cực tiểu của hàm số \(f.\)

- Nếu\(f '(x_0) = 0,f ''(x_0) < 0\)thì\(x_0\)là điểm cực đại của hàm số \(f.\)

3. Quy tắc tìm cực trị

Quy tắc 1

- Tìm tập xác định.

- Tính \(f '(x).\) Tìm các điểm tại đó \(f '(x)\) bằng 0 hoặc \(f '(x)\) không xác định.

- Lập bảng biến thiên.

- Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2

- Tìm tập xác định.

- Tính \(f '(x)\). Tìm các nghiệm\(x_{i}\)của phương trình \(f '(x)=0.\)

- Tính \(f ''(x)\) và \(f ''(x_{i})\) suy ra tính chất cực trị của các điểm\(x_{i}\).

(Chú ý: nếu \(f ''(x_{i})=0\) thì ta phải dùng quy tắc 1 để xét cực trị tại\(x_{i}).\)

Loigiaihay.com