- Đề bài
- LG bài 1
- LG bài 2
- LG bài 3
Đề bài
Bài 1. Rút gọn :\[A = \left[ {{{1 - a\sqrt a } \over {1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right].{\left[ {{{1 - \sqrt a } \over {1 - a}}} \right]^2}\]\[\,\,\,\left[ {a \ge 0;\,a \ne 1} \right]\]
Bài 2. Chứng minh rằng :\[x = {{\left[ {5\sqrt 3 + \sqrt {50} } \right]\left[ {5 - \sqrt {24} } \right]} \over {\sqrt {75} - 5\sqrt 2 }}\]có giá trị là số nguyên.
Bài 3. Tìm x, biết :\[\left[ {\sqrt x + {1 \over {\sqrt x + 1}}} \right].\left[ {1 - {{\sqrt x + 2} \over {x + \sqrt x + 1}}} \right] > 0\,\left[ * \right]\]
LG bài 1
Phương pháp giải:
Quy đồng và rút gọn, sử dụng\[{a^3} - {b^3} = \left[ {a - b} \right]\left[ {{a^2} + ab + {b^2}} \right]\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[A = \left[ {{{1 - a\sqrt a } \over {1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right].{\left[ {{{1 - \sqrt a } \over {1 - a}}} \right]^2}\]
\[\eqalign{ & = \left[ {{{{1^3} - {{\left[ {\sqrt a } \right]}^3}} \over {1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right].{\left[ {{{1 - \sqrt a } \over {1 - a}}} \right]^2} \cr & = \left[ {{{\left[ {1 - \sqrt a } \right]\left[ {1 + \sqrt a + a} \right]} \over {1 - \sqrt a }} + \sqrt a } \right].{\left[ {{{1 - \sqrt a } \over {1 - a}}} \right]^2} \cr & = \left[ {1 + 2\sqrt a + a} \right].{{{{\left[ {1 - \sqrt a } \right]}^2}} \over {{{\left[ {1 - \sqrt a } \right]}^2}{{\left[ {1 + \sqrt a } \right]}^2}}} \cr} \]
\[\begin{array}{l}
= {\left[ {1 + \sqrt a } \right]^2}.\frac{{{{\left[ {1 - \sqrt a } \right]}^2}}}{{{{\left[ {1 - \sqrt a } \right]}^2}{{\left[ {1 + \sqrt a } \right]}^2}}}\\
= 1
\end{array}\]
LG bài 2
Phương pháp giải:
Sử dụng\[\frac{m}{{\sqrt A \pm \sqrt B }} = \frac{{m\left[ {\sqrt A \mp \sqrt B } \right]}}{{A - B}}\left[ {A,B \ge 0;A \ne B} \right]\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\frac{{5\sqrt 3 + \sqrt {50} }}{{\sqrt {75} - 5\sqrt 2 }} = \frac{{5\sqrt 3 + \sqrt {{5^2}.2} }}{{\sqrt {{5^2}.3} - 5\sqrt 2 }}\\
= \frac{{5\sqrt 3 + 5\sqrt 2 }}{{5\sqrt 3 - 5\sqrt 2 }} = \frac{{5\left[ {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right]}}{{5\left[ {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right]}}\\
= \frac{{\sqrt 3 + \sqrt 2 }}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} = \frac{{{{\left[ {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right]}^2}}}{{\left[ {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right]\left[ {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right]}}\\
= \frac{{3 + 2\sqrt 6 + 2}}{1} = 5 + 2\sqrt 6
\end{array}\]
Vậy \[x = \left[ {5 + 2\sqrt 6 } \right]\left[ {5 - \sqrt {24} } \right] \]\[\,= \left[ {5 + \sqrt {24} } \right]\left[ {5 - \sqrt {24} } \right] \]\[\,= 25 - 24 = 1\]
Vậy \[x = 1\] là số nguyên.
LG bài 3
Phương pháp giải:
Quy đồng và rút gọn vế trái.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \[x 0\].
Ta có:
\[\left[ {\sqrt x + {1 \over {\sqrt x + 1}}} \right].\left[ {1 - {{\sqrt x + 2} \over {x + \sqrt x + 1}}} \right] > 0\]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\sqrt x \left[ {\sqrt x + 1} \right] + 1} \over {\sqrt x + 1}}.{{x + \sqrt x + 1 - \sqrt x - 2} \over {x + \sqrt x + 1}} > 0 \cr & \Leftrightarrow {{x + \sqrt x + 1} \over {\sqrt x + 1}}.{{x - 1} \over {x + \sqrt x + 1}} > 0\cr & \Leftrightarrow {{[\sqrt x + 1][\sqrt x - 1]} \over {\sqrt x + 1}}>0\cr & \Leftrightarrow \sqrt x - 1 > 0 \cr & \Leftrightarrow \sqrt x > 1 \cr} \]
\[\;\; x > 1\] [thỏa mãn điều kiện \[x 0\]]
Vậy \[x > 1\].