- Là tập hợp các ký hiệu và quy tắc sử dụng tập ký hiệu đó để biểu diễn và xác định các giá trị các số.
- Mỗi hệ đếm có một số ký số [digits] hữu hạn. Tổng số ký số của mỗi hệ đếm gọi là cơ số [base hay radix].
Ví dụ:
- Cơ số 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
- Cơ số 8: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
- Cơ số 16: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
- Cơ số 2: 0, 1.
Số N trong hệ đếm cơ số b được biểu diễn như sau:
N[b]=anbn+an-1bn-1+an-2bn-2+…+a0b0+a-1b-1+a-2b-2+…+a-mb-m
Cách biểu diễn thông tin trong máy tính
- Mọi dữ liệu khi đưa vào máy tính đều phải được mã hóa thành số nhị phân.
- Do có ưu điểm tính toán đơn giản, dễ dàng thực hiện về mặt vật lý, chẳng hạn như trên các mạch điện tử, hệ nhị phân trở thành một phần kiến tạo căn bản trong máy tính.
- Hệ nhị phân dùng hai ký số 0 và 1, chúng thường được dùng để biểu đạt hai giá trị hiệu điện thế tương ứng.
- Các hệ đếm khi nghiên cứu máy tính:
- Hệ thập phân [decimal system] → con người sử dụng.
- Hệ nhị phân [binary system] → máy tính sử dụng.
- Hệ hệ bát phân [octal system] → dùng để viết gọn số nhị phân.
- Hệ thập lục [hexadecimal system] → dùng để viết gọn số nhị phân.
- Số nhị phân:
- Số nhị phân thường được viết tắt là BIT. Trong thuật ngữ máy tính, bit nghĩa là 0 hoặc 1.
- Số nhị phân gồm n bit được gọi là số n-bit.
- Số 3-bit có 23 = 8 giá trị từ [0 đến 7], số n-bit có 2n giá trị [0 đến 2n-1].
Chuyển đổi giữa các cơ số
1. Chuyển từ thập phân sang cơ số d bất kỳ
a. Chuyển phần nguyên- Lần lượt chia cho cơ số d cho đến khi thương số bằng 0.
- Kết quả là các dư số trong phép chia viết ra theo thứ tự ngược lại.
Ví dụ: Số 1210 = ?2
Kết quả: 1210 = 11002
b. Chuyển phần thập phân- Lấy phần thập phân lần lượt nhân với d cho đến khi phần thập phân của tích số bằng 0.
- Kết quả là các số phần nguyên trong phép nhân viết ra theo thứ tự tính toán.
Ví dụ: Số 0.687510 = ?2
0.6875 * 2 = 1.375
0.375 * 2 = 0.75
0.75 * 2 = 1.5
0.5 * 2 = 1.0
Kết quả: 0.687510 = 0.10112
2. Chuyển từ cơ số bất kỳ d sang thập phân
Áp dụng công thức: A=anCn+an-1Cn-1+an-2Cn-2+…+a0C0+a-1C-1+a-2C-2+…+a-mC-m
Ví dụ 1: Chuyển 100101112 sang hệ thập phân, xác định hệ cơ số cần chuyển là d=2.
Ta có: A = 1×27+0x26+0x25+1×24+0x23+1×22+1×21+1×20
= 128+0+0+16+0+4+2+1
= 151
Ví dụ 2: Chuyển 9716 sang hệ thập phân, xác định hệ cơ số cần chuyển là d=16.
Ta có: A=9×161+7×160= 144 + 7 = 151
Ví dụ 3: Chuyển 2278 sang hệ thập phân, xác định hệ cơ số cần chuyển là d=8.
Ta có: A=2×82+2×81+7×80=128+16+7=151
3. Chuyển từ cơ số bất kỳ a sang b
- Bước 1: Chuyển số a sang hệ thập phân.
- Bước 2: Chuyển số hệ thập phân thu được sang cơ số b.
Ví dụ: Số 5456 = ?4
- Bước 1: Chuyển 545 từ hệ 6 sang hệ 10
545 = 5 x 62 +4 x 61 +5 x 60= 5 x 36 +4 x 6 +5 x 1= 180 + 24 +5= 20910
- Bước 2: Chuyển 20910 = 31014
Kết quả: 5456 = 20910 = 31014
4. Chuyển nhanh giữa các hệ cơ số 2, 8 và 16
a. Nhị phân sang bát phân- Bước 1: Chia số nhị phân thành các nhóm, mỗi nhóm gồm ba chữ số [bắt đầu từ phải qua].
- Bước 2: Chuyển mỗi nhóm 3 chữ số thành 1 số hệ bát phân.
Ví dụ: Số 1011102 = ?8
1012 = 1 x 22 +0 x 21 +1 x 20 = 4 + 0 + 1 = 510 = 58
1102 = 1 x 22 +1 x 21 +0 x 20 = 4 +2+0 = 610 = 68
Kết quả: 1011102 = 568
b. Bát phân sang Nhị phân- Bước 1: Chuyển mỗi số bát phân thành 3 số nhị phân.
- Bước 2: Kết nối tất cả các nhóm nhị phân [mỗi nhóm có 3 số] thành một số nhị phân.
Ví dụ: Số 5628 = ?2
58 = 1012
68 = 1102
28 = 0102
Kết quả: 5628 = 1011100102
c. Thập lục phân sang Nhị phân- Bước 1: Chuyển mỗi ký số thập lục phân sang số thập phân, mỗi số thập phân chuyển thành số nhị phân gồm 4 ký số.
- Bước 2: Kết nối tất cả các nhóm nhị phân [mỗi nhóm có 4 số] thành một số nhị phân.
Ví dụ: Số 2AB16 = ?2
216 = 210 = 00102
A16 = 1010 = 10102
B16 = 1110 = 10112
Kết quả: 2AB16 = 0010101010112
d. Nhị phân sang Thập lục phân- Bước 1: Chia số nhị phân thành các nhóm có bốn chữ số.
- Bước 2: Chuyển mỗi nhóm 4 chữ số thành 1 số hệ thập lục phân.
Ví dụ: Số 110100112 = ?16
11012 = 1 x 23 + 1 x 22 +0 x 21 +1 x 20 = 8 + 4 + 0 + 1 = 1310 = D16
00112 = 0 x 23 +0 x 22 +1 x 21 +0 x 20 = 0 + 0 +2+1 = 316
Kết quả: 110100112 = D316
Bài tập áp dụng
Yêu cầu: Chuyển đổi các cơ số sau đây
- 5AE.7B16 = ?10
- 1AC16 = ?10
- 405.427 = ?10
- 102310 = ?16
- 456.37510 = ?8
- 1011102 = ?8
- 110100112 = ?16
- ABC16 = ?2
Là sinh viên ngành CNTT thì chắc hẳn đây là phần cơ bản không thể thiếu. Vậy là hệ đếm là gì? Có bao nhiêu loại? Bài viết này sẽ giới thiệu đến các bạn các hệ đếm cơ bản, cách chuyển đổi giữa các hệ đếm đó.
Hệ đếm là tập được hiểu như tập các ký hiệu và quy tắc sử dụng tập ký hiệu đó để biểu đạt giá trị số bất kỳ. Có các hệ đếm cơ bản sau:
- Hệ nhị phân
- Hệ bát phân
- Hệ thập phân
- Hệ thập lục phân
1.Hệ nhị phân [Binary System]
Hệ nhị phân [hay còn gọi là hệ đếm cơ số 2] là hệ đếm dùng 2 ký tự [0,1] để biểu đạt giá trị số. Chúng thường dùng để biểu đạt giá trị hiệu điện thế tương ứng [có hoặc hiệu điện thế cao mang giá trị 1, không hoặc hiệu điện thế thấp mang giá trị 1].
Số nhị phân có dạng: A=anan-1an-2…a0.a-1a-2…a-m
Giá trị A được tính như sau: A=an2n+an-12n-1+an-22n-2+…+a020+a-12-1+a-22-2+…+a-m2-m
Ví dụ: Chuyển số hệ nhị phân 10110101.10100110 sang số hệ thập phân
10110101.10100110=1×27+0x26+1×25+1×24+0x23+1×22+0x21+1×20+1×2-1+0x2-2+1×2-3+0x2-4+0x2-5+1×2-6+1×2-7+0x2-8 = 181.6484375
Kết luận: 10110101.101001102=181.648437510
2.Hệ bát phân [Octal System]
Hệ bát phân [hay còn gọi là hệ đếm cơ số 8] dùng các 8 ký tự [0,1,2,3,4,5,6,7] để biểu đạt giá trị số.
Số bát phân có dạng: A=anan-1an-2…a0.a-1a-2…a-m
Giá trị A được tính như sau: A=an8n+an-18n-1+an-28n-2+…+a080+a-18-1+a-28-2+…+a-m8-m
Ví dụ chuyển số bát phân 1503 sang số hệ thập phân
1503=1×83+5×82+0x81+3×80=835
Kết luận: 15038=83510
3.Hệ thập phân [Decimal System]
Hệ thập phân [hay còn gọi là hệ đếm cơ số 10] dùng 10 ký tự [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9] để biểu đạt giá trị số. Các con số này được dùng với dấu phân cách thập phân – để định vị phần thập phân sau hàng đơn vị. Ngoài ra còn được dùng với dấu “+” hoặc “–” để biểu đạt giá trị “dương” hoặc “âm”
Số thập phân có dạng: A=anan-1an-2…a0.a-1a-2…a-m
Giá trị A được tính: A=an10n+an-110n-1+an-210n-2+…+a0100+a-110-1+a-210-2+…+a-m10-m
Ví dụ: số thập phân 1503.87
4.Hệ thập lục phân [Hexadecimal System]
Hệ thập lục phân [hay còn gọi là hệ đếm cơ số 16] dùng 16 ký tự [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F] để biểu đạt giá trị số.
Ví dụ: Số 8710 được biểu diễn 010101112. Trong hệ thập lục phân để biểu diễn giá trị 8710thì ta được viết lại thành 5716
Bảng liệt kê giá trị tương ứng giữa các hệ đếm
| Nhị phân | Bát phân | Thập phân | Thập lục phân |
| 0000 | 0 | 0 | 0 |
| 0001 | 1 | 1 | 1 |
| 0010 | 2 | 2 | 2 |
| 0011 | 3 | 3 | 3 |
| 0100 | 4 | 4 | 4 |
| 0101 | 5 | 5 | 5 |
| 0110 | 6 | 6 | 6 |
| 0111 | 7 | 7 | 7 |
| 1000 | 10 | 8 | 8 |
| 1001 | 11 | 9 | 9 |
| 1010 | 12 | 10 | A |
| 1011 | 13 | 11 | B |
| 1100 | 14 | 12 | C |
| 1101 | 15 | 13 | D |
| 1110 | 16 | 14 | E |
| 1111 | 17 | 15 | F |
5.Chuyển đổi giữa các cơ số
a. Chuyển từ thập phân sang cơ số bất kỳ
Để chuyển số từ hệ số bất kỳ sang thập phân, ta lấy số đó chia cho hệ số bất kỳ rồi lấy phân dư, tiếp tục lấy phần nguyên chia cho hệ số bất kỳ cho đến khi nào phần nguyên bằng 0 thì ngừng lại. Kết quả của việc chuyển đổi cơ số là phần dư xếp ngược từ dưới lên.
b. Chuyển từ cơ số bất kỳ C sang thập phân
Áp dụng công thức: A=anCn+an-1Cn-1+an-2Cn-2+…+a0C0+a-1C-1+a-2C-2+…+a-mC-m
·Ví dụ: Chuyển 100101112 sang hệ thập phân
Xác định hệ cơ số cần chuyển là C=2
Ta có: A = 1×27+0x26+0x25+1×24+0x23+1×22+1×21+1×20= 128+0+0+16+0+4+2+1 = 151
·Ví dụ: Chuyển 9716 sang hệ thập phân
Xác định hệ cơ số cần chuyển là C=16
Ta có: A=9×161+7×160= 144 + 7 = 151
·Ví dụ: Chuyển 2278 sang hệ thập phân
Xác định hệ cơ số cần chuyển là C=8
Ta có: A=2×82+2×81+7×80=128+16+7=151
| Decimal | Binary | Octal | Hexadecimal |
| 151 | 10010111 | 227 | 97 |
6.Chuyển đổi các số giữa nhị phân và thập phân
|
0x27+1×26+0x25+1×24+0x23+1×22+1×21+1×20 |
|
1×27+0x26+0x25+1×24+1×23+0x22+0x21+1×20 |