Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng [dùng quan hệ song song] hay, chi tiết
TH1: Dựng đường thẳng AH // [α] .
Lúc đó: d[A, [α]] = d[H, [α]]
TH2: Dựng đường thẳng AH, AH [α] = {I} .
Lúc đó:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA [ABCD] đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a . Khoảng cách từ B đến [SCD] bằng:
Hướng dẫn giải
Ta có; AB // CD nên d[B, [SCD]]= d[A; [SCD]].
Ta tính khoảng cách từ A đến [SCD] :
SA [ABCD] nên SA CD; AD CD
Suy ra [SAD] CD
Trong [SAD] kẻ AH vuông góc SD tại H .
Khi đó AH [SCD]
Chọn đáp án C
Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy bằng a3. Tính khoảng cách từ A đến mp [SBC]
Hướng dẫn giải
Chọn C
+ Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC
Suy ra: OA = OB = OC [do tam giác ABC là tam giác đều].
Lại có: SA = SB = SC [ vì S.ABC là hình chóp đều]
SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên SO [ABC] và SO = a3
+ Gọi M là trung điểm của BC.
Kẻ OH SM, ta có
Xét tam giác vuông SOM đường cao OH có:
AO cắt [SBC] tại M và AM = 3OM nên d[A, [SBC]]= 3.d[O; [SBC]] = 3OH.
Chọn D
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A, AB = AC = a, BAC = 120°. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng [ABC] trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc α sao cho tanα = 3/7. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng [SAB] tính theo a bằng
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
Gọi H là hình chiếu của J lên AB
Gọi Z là hình chiếu của G lên AB
Gọi I là hình chiếu của G lên SZ.
+ Áp dụng định lí cosin trong tam giác, ta có:
+ áp dụng hệ quả định lí Ta-let cho tam giác BJH
+ Do G là trọng tâm tam giác ABC nên:
Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng [SMN] tính theo a bằng
Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC
DO hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SG [ABC]
Theo giả thiết góc giữa cạnh bên và mp [ABC] là 60° nên SCG = 60°
Xét tam giác CAM có CM = CA.sin60° = [a3]/2 và CG = 2/3.CM = [a3]/3
Trong tam giác SGC vuông tại G suy ra SG = GC.tanC = GC3 = [[a3]/3].3 = a
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G trên MN và SE.
Khi đó d[C, [SMN]] = 3 d[G; [SMN]]= 3 GF
Ta có :
Trong tam giác SGE vuông tại H suy ra
Ví dụ 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, AB = a, BC = a3, tam giác SAC vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của đoạn AI. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng [SAB] tính theo a bằng
Hướng dẫn giải
Chọn A
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O; hình chiếu vuông góc của S trên [ABCD] là trung điểm của AO góc giữa [SCD] và [ABCD] là 60°. Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng [SCD] tính theo a bằng
Chọn D
Ta có:
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB; AD và DC. Gọi H là giao điểm của CN và DM biết SH vuông góc [ABCD], SH = a3. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng [SBP] tính theo a bằng
Ta chứng minh: NC MD
Thật vậy: ΔADM = ΔDCM vì A = D = 90°; AD = DC; AM = DN ADM = DCN
Mà ADM + MDC = 90° MDC + DCN = 90° NC MD
Chọn C
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I với AB = 2a3; BC = 2a. Biết chân đường cao M hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD trùng với trung điểm đoạn DI và SB hợp với mặt phẳng đáy [ABCD] một góc 60°. Khoảng cách từ D đến [SBC] tính theo a bằng
+ Từ giả thiết suy ra: SM [ABCD] và góc giữa SB tạo với mặt phẳng [ABCD] là
+ Ta có:
Chọn đáp án C
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M; N lần lượt là trung điểm các cạnh AD; DC . Góc giữa mặt phẳng [SBM] và mặt phẳng [ABCD] bằng 45°. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng [SBM] bằng
+ Do đáy ABCD là hình vuông nên AN BM.
+ Góc giữa mặt phẳng [SBM] và mặt phẳng [ABCD] là góc AIS = 45° .
Vậy tam giác ASI vuông cân tại A nên AI = SA = a
+ Xác định khoảng cách: Vì M là trung điểm của AD nên d[D; [SBM]]= d[A; [SBM]] = AH
Với H là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAI.
- Tính AH:
Chọn đáp án D
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng [ABCD] trùng với trọng tâm của tam giác ABD. Cạnh bên SD tạo với mặt phẳng [ABCD] một góc bằng 60°. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng [SBC]?
Gọi E là trọng tâm của tam giác ABD.
Do hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng [ABCD] trùng với trọng tâm của tam giác ABD nên SE [ABCD]
Do đó, góc giữa SD tạo với mặt phẳng [ABCD] là SDE = 60°
Chọn đáp án B
Câu 6: Cho hình chóp S. ABCD có mặt đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 3a; AD = 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng [ABCD] là điểm H thuộc cạnh AB sao cho AH = 2HB. Góc giữa mặt phẳng [SCD] và mặt phẳng [ABCD] bằng 60°. Khoảng từ điểm A đến mặt phẳng [SBC] tính theo a bằng
Kẻ HK CD
Do đó; góc giữa hai mặt phẳng [SCD] và [ABCD] là SKH = 60°
Có HK = AD = 2a, SH = HK.tan60° = 2a3
Chọn C
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách từ M đến [SAB] nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
+ Ta có: DM // AB nên DM // mp [SAB]
d[ M; [SAB]] = d[ D; [SAB]]
+ Ta có: SA AD [vì SA vuông góc với [ABCD]]
Và AB AD [vì ABCD là hình vuông]
AD [SAB]
Do đó d[M, [SAB]] = d[D, [SAB]] = a
Chọn đáp án D
Giới thiệu kênh Youtube Tôi