Lý thuyết Công thức nghiệm của phương trình bậc 2
|
Show
Tham khảo lý thuyết Công thức nghiệm của phương trình bậc hai với phần tổng hợp kiến thức cơ bản, công thức cần nắm, cùng với đó là những dạng toán cơ bản thường gặp ở phần kiến thức này. Mời các em tham khảo tổng hợp lý thuyết Công thức nghiệm của phương trình bậc hai cùng một số dạng bài thường gặp và hướng dẫn cách làm, qua đó nắm được các định lý, công thức và áp dụng hoàn thành các bài tập. I. Lý thuyết Công thức nghiệm của phương trình bậc haiXét phương trình bậc hai một ẩn và biệt thức TH1. Nếu thì phương trình vô nghiệm. TH2. Nếu thì phương trình có nghiệm kép: TH3. Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: Chú ý: Nếu phương trình có a và c trái dấu, tức là . Do đó . Vì thế phương trình có hai nghiệm phân biệt. II. Các dạng bài thường gặp về Công thức nghiệm của phương trình bậc haiDạng 1: Giải phương trình bậc hai một ẩn bằng cách sử dụng công thức nghiệm. Phương pháp: Xét phương trình bậc hai: Bước 1: Xác định các hệ số a,b,c và tính biệt thức Bước 2: Kết luận - Nếu thì phương trình vô nghiệm. - Nếu thì phương trình có nghiệm kép: - Nếu thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: Dạng 4: Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai Phương pháp: Xét phương trình bậc hai: 1. PT có nghiệm kép 2. PT có hai nghiệm phân biệt 3. PT vô nghiệm III. Bài tập về Công thức nghiệm của phương trình bậc haiÁp dụng công thức nghiệm để giải các phương trình: a) b) c) Lời giải: a) Xét phương trình có Vậy phương trình trên vô nghiệm. b) Xét phương trình có phương trình có nghiệm kép Vậy phương trình có nghiệm c) Xét phương trình có Do đó nên áp dụng công thức nghiệm, phương trình có 2 nghiệm phân biệt =>> Xem thêm nhiều bài tập khác trong Toán 9 chương 4 bài 4 để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng làm bài **************** Trên đây là lý thuyết Công thức nghiệm của phương trình bậc hai bao gồm các kiến thức cần nắm và những dạng bài liên quan. Hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích phục vụ việc học tập của các em. Ngoài ra, các em hãy truy cập doctailieu.com để tham khảo thêm nhiều tài liệu học Toán lớp 9 phong phú khác mà chúng tôi đã sưu tầm và tổng hợp nhé. Chúc các em luôn học tốt và đạt kết quả cao! Lý thuyết Công thức nghiệm của phương trình bậc hai lớp 9 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 9 Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai.
Lý thuyết Toán 9 Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Bài giảng Toán 9 Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai I. Lý thuyết 1. Công thức nghiệm a) Biệt thức ∆ Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ta có biệt thức Δ như sau: Δ = b2 - 4ac Ta sửa dụng biết thức Δ để giải phương trình bậc hai. b) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b2 - 4ac + Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1=-b+∆2a; x2=-b-∆2a + Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép là x1=x2=-b2a + Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm. Chú ý: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a và c trái dấu, tức là ac < 0. Khi đó ta có Δ = b2 - 4ac > 0 ⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. II. Bài tập vận dụng Bài 1: Giải các phương trình sau a) x2+6x+9=0 b) 2x2-6x+1=0 c) 2x2+3x+5=0 Lời giải: a) x2+6x+9=0 + Tính ∆=b2-4ac=62-4.1.9=36-36=0 + Do ∆=0, phương trình có nghiệm kép x1=x2=-b2a=-b2.1=-3 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-3}. b) 2x2-6x+1=0 + Tính ∆=b2-4ac=-62-4.1.2=36-8=28 + Do ∆>0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x1=-b+∆2a=6+282.2=3+72; x2=-b-∆2a=6-282.2=3-72. Vậy tập nghiệm của phương trình là S=3+72; 3-72. c) 2x2+3x+5=0. + Tính ∆=b2-4ac=32-4.2.5=9-40=-31 + Do ∆<0 nên phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 2: Phương trình (m–1)x2 + 3x – 1 = 0. a) Tìm m để phương trình có nghiệm. b) Tìm m để phương trình vô nghiệm. Lời giải: a) + Với a = 0 ⇒m-1=0⇒m=1, phương trình trở thành 3x - 1 = 0 ⇔3x=1⇔x=13. Do đó m = 1 thỏa mãn điều kiện phương trình có nghiệm + Với a≠0⇒m-1≠0⇒m≠1, phương trình là phương trình bậc hai Ta có: ∆=b2-4ac=32-4.m-1.-1 ∆=9+4m-4=5+4m Để phương trình có nghiệm thì ∆≥0 ⇔4m+5≥0⇔4m≥-5⇔m≥-54 Kết hợp hai trường hợp ta được m≥-54 thì phương trình có nghiệm b) Để phương trình vô nghiệm thì ∆<0⇔4m+5<0 ⇔4m<-5⇔m<-54. Xem thêm các bài tổng hợp lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ, chi tiết khác: Lý thuyết Công thức nghiệm thu gọn Lý thuyết Hệ thức Vi-ét và ứng dụng Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc hai Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập phương trình Lý thuyết Ôn tập chương 4
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai là một trong những kiến thức quan trọng nhất của chương IV nghiên cứu về Phương trình bậc hai một ẩn. Cunghocvui xin gửi tới các bạn bài lý thuyết công thức nghiệm của phương trình bậc hai và cách giải công thức nghiệm của phương trình bậc 2 đầy đủ và chi tiết nhất. Hy vọng với bài viết công thức nghiệm của phương trình bậc hai sẽ giúp cho cho các bạn! A. Một số kiến thức cần nhớ về công thức nghiệm của phương trình bậc hai1. Công thức nghiệm của phương trình bậc haiVới một phương trình bậc hai được cho bởi dạng \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện là \(a\neq 0\) và biệt thức \(\Delta\) được cho bởi công thức sau: \(\Delta\) = \(b^2-4ac\). - Nếu \(\Delta\) nhận giá trị dương (\(\Delta>0\)) thì phương trình \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện \(a\neq 0\) sẽ cho ra kết quả là có hai nghiệm phân theo công thức sau: \(x_{1}\) = \(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\), \(x_{2}\) = \(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\) - Nếu \(\Delta\) nhận giá trị bằng 0 (\(\Delta\) = 0) thì phương trình \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện \(a\neq 0\) sẽ cho ra kết quả là có nghiệm kép theo công thức sau: \(x_{1}\) = \(x_{2}\) = \(\dfrac{-b}{2a}\) - Nếu \(\Delta\) nhận giá trị âm (\(\Delta<0\)) thì phương trình \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện \(a\neq 0\) sẽ cho ra kết quả là vô nghiệm (không có nghiệm) Chú ý: Cho một phương trình bậc hai \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện là \(a\neq 0\) có hai thừa số là a và c ngược nhau về dấu, có nghĩa là tích của biểu thức chứa hai thừa số a và c là một số âm (\(ac <0\)) thì phương trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt vì biệt thức \(\Delta\) = \(b^2-4ac\) luôn mang giá trị dương. B. Giải công thức nghiệm của phương trình bậc 2Dạng 1: Vận dụng các công thức nghiệm để tìm nghiệm của phương trình bậc 2a, Cách giải phương trình bậc hai Trường hợp 1: Phương trình \(ax^2+bx+c=0\) bị thiếu hạng tử bậc nhất ẩn x thì ta sẽ dùng phương pháp như sau: - Hạng tử tự do được chuyển sang phía vế phải, phương trình được đưa về dạng \(ax^2=c\) => \(x^2=\dfrac{a}{c}\) + Nếu \(\dfrac{a}{c} >0\) thì phương trình có hai nguyên phân biệt \(x=\sqrt{\dfrac{a}{c}}\) hoặc \(x=-\sqrt{\dfrac{a}{c}}\) + Nếu \(\dfrac{a}{c} <0\) thì phương trình vô nghiệm (không có nghiệm) Trường hợp 2: Phương trình \(ax^2+bx+c=0\) bị thiếu hạng tử tự do, phương trình sẽ có dạng \(ax^2+bx=0\) Ta dùng phương pháp đặt nhân tử chung với biến x, từ đó phương trình có dạng \(x(ax+b)\) Trường hợp 3: Phương trình đầy đủ Ta dùng các công thức nghiệm với biệt thức \(\Delta\) hoặc \(\Delta'\) hoặc một số phương trình đặc biệt thì lựa chọn công thức nào nhanh nhất để giải. b, Một số bài tập áp dụng Bài 1: Giải một số phương trình bậc hai sau: \(a, 2x^2\) - \(4\) = 0 \(b, x^2\) + \(4x\) = 0 \(c,x^2\) - \(5x\) + \(4\) = 0 Hướng dẫn giải bài tập bài 1: \(a, 2x^2\) - \(4\) = 0 <=> \(2x^2\) = \(4\) <=> \(x^2\) = \(2\) <=> \(x= \sqrt{2}\) hoặc \(x= -\sqrt{2}\) Vậy phương trình có hai nghiệm riêng biệt là \(x= \sqrt{2}\) và \(x= \sqrt{2}\) b, \(b, x^2\) + \(4x\) = 0 <=> \(x(x+4) = 0\) <=> Hoặc \(x=0\) hoặc \(x+4=0\) <=> Hoặc \(x=0\) hoặc \(x=-4\) Vậy phương trình có hai nghiệm riêng biệt là \(x=0\) và \(x=-4\) \(c,x^2\) - \(5x\) + \(4\) = 0 \(\Delta\) = \(b^2-4ac\) = \((-5)^2-4.1.4\) = \(25-16\) = \(9\) \(>0\) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(x_{1}\) = \(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\) = \(\dfrac{5+3}{2}\) = \(4\) \(x_{2}\) = \(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\) = \(\dfrac{5-3}{2}\) = \(1\) Vậy phương trình có hai nghiệm riêng biệt là \(x=1\) và \(x=4\) Bài 2: Phân tích a, b, c của các phương trình và giải hệ phương trình: \(a, \) \(2x^2\) - \(2\sqrt{2}x\) + \(1\) = 0 \(b,\) \(2x^2\) - \((1-2\sqrt{2})x\) - \(\sqrt{2}\) = 0 \(c,\) \(\dfrac{1}{3}x^2\) - \(2x\) - \(\dfrac{2}{3}\) = 0 Hướng dẫn làm bài tập : \(a, \) \(2x^2\) - \(2\sqrt{2}x\) + \(1\) = 0 Ta có \(a=2\), \(b=-2\sqrt{2}\), \(c=1\) \(\Delta\) = \(b^2-4ac\) = \((-2\sqrt{2})^2-4.1.2\) = 0 Vậy phương trình có nghiệm kép là \(x_{1}\) = \(x_{2}\) = \(\dfrac{-b}{2a}\) = \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(b,\) \(2x^2\) - \((1-2\sqrt{2})x\) - \(\sqrt{2}\) = 0 Ta có \(a=2\), \(b=-(1-2\sqrt{2})\), \(c=-\sqrt{2}\) \(\Delta\) = \(b^2-4ac\) = \((-1+2\sqrt{2})^2+4.2.\sqrt{2}\) = \((1+2\sqrt{2})^2\) \(>0\) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(x_{1}\) = \(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\) = \(\dfrac{1-2\sqrt{2}-1-2\sqrt{2}}{4}\) = \(-\sqrt{2}\) \(x_{2}\) = \(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\) = \(\dfrac{1-2\sqrt{2}+1+2\sqrt{2}}{4}\) = \(\dfrac{1}{2}\) \(c,\) \(\dfrac{1}{3}x^2\) - \(2x\) - \(\dfrac{2}{3}\) = 0 <=> \(x^2-6x-2=0\) Ta có \(a=1\), \(b=-6\), \(c=-2\) \(\Delta\) = \(b^2-4ac\) = \((-6)^2\) + \(4.2.1\) = \(36+8\) = \(44\) \(>0\) Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(x_{1}\) = \(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\) = \(\dfrac{6+\sqrt{44 }}{2}\) = \(3+\sqrt{11}\) \(x_{2}\) = \(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\) = \(\dfrac{6-\sqrt{44 }}{2}\) = \(3-\sqrt{11}\) Dạng 2: Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai dạng \(ax^2+bx+c=0\) có tham sốa, Cách làm và biện luận Vận dụng công thức nghiệm để biện luận như sau: - Nếu \(\Delta\) nhận giá trị dương (\(\Delta>0\)) thì phương trình \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện \(a\neq 0\) sẽ cho ra kết quả là có hai nghiệm phân theo công thức sau: \(x_{1}\) = \(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\), \(x_{2}\) = \(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\) - Nếu \(\Delta\) nhận giá trị bằng 0 (\(\Delta\) = 0) thì phương trình \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện \(a\neq 0\) sẽ cho ra kết quả là có nghiệm kép theo công thức sau: \(x_{1}\) = \(x_{2}\) = \(\dfrac{-b}{2a}\) - Nếu \(\Delta\) nhận giá trị âm (\(\Delta<0\)) thì phương trình \(ax^2+bx+c=0\) với điều kiện \(a\neq 0\) sẽ cho ra kết quả là vô nghiệm (không có nghiệm) Lưu ý: Cũng có thể dùng công thức nghiệm thu gọn để biện luận b, Một số bài tập áp dụng Bài 1: Biện luận tham số m với phương trình sau và kết luận nghiệm: \(mx^2-5x-m-5=0\) Theo phương trình, ta có \(a=m\), \(b=-5\), \(c=-m-5\) \(\Delta\) = \(b^2-4ac\) = \((-5)^2+4m.(m+5)\) = \(25+4m^2+20m\) = \((2m+5)^2\) \(\geq 0\) Xét hai trường hợp: - Nếu \(\Delta\)= 0 => \(m=\dfrac{-5}{2}\). Vậy phương trình có nghiệm kép là \(x_{1}\) = \(x_{2}\) = \(\dfrac{-b}{2a}\) = \(-1\) - Nếu \(\Delta>0\) => \(m\neq \dfrac{-5}{2}\). Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \(x_{1}\) = \(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\) = \(\dfrac{5+\left | 2m+5 \right |}{2m}\) \(x_{2}\) = \(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\) = \(\dfrac{5-\left | 2m+5 \right |}{2m}\) Bài 2: Biện luận m để các phương trình sau có nghiệm và giải các nghiệm theo tham số m \(a, mx^2+(2m-1)x+m+2=0\) \(b, 2x^2-(4m+3)x+2m^2-1=0\) Hướng dẫn giải bài tập bài 2: \(a, mx^2+(2m-1)x+m+2=0\) Theo phương trình ta có \(a=m\), \(b=2m-1\), \(c=m+2\) Xét trường hợp 1: \(m\neq 0\) \(\Delta\) = \(b^2-4ac\) = \((2m-1)^2-4m(m+2)\) = \(4m^2-4m+1-4m^2-8m\) = \(-12m+1\) Theo yêu cầu đề bài, để phương trình có nghiệm => \(\Delta\) \(\geq 0\) <=> \(m\leq \dfrac{1}{12}\) Vậy nghiệm của phương trình sẽ có dạng: \(x_{1}\) = \(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\) = \(\dfrac{1-2m+\sqrt{1-12m }}{2m}\) \(x_{2}\) = \(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\) = \(\dfrac{1-2m-\sqrt{1-12m }}{2m}\) Xét trường hợp 2: \(m=0\) Nếu \(m=0\) thì phương trình \(mx^2+(2m-1)x+m+2=0\) sẽ quy về dạng \(-x+2=0\) => Phương trình có một nghiệm là \(x=2\). Vậy \(m=0\) thỏa mãn. \(b, 2x^2-(4m+3)x+2m^2-1=0\) \(\Delta\) = \(b^2-4ac\) = \((4m+3)^2-4.2.(2m^2-1)\) = \(16m^2\) + \(24m\) + \(9\) - \(16m^2\) + \(8\) = \(24m\) + \(7\) \(\geq 0\) <=> \(m\geq \dfrac{-17}{24}\) Vậy nghiệm của phương trình sẽ có dạng: \(x_{1}\) = \(\dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\) = \(\dfrac{4+3m+\sqrt{24+17m }}{4}\) \(x_{2}\) = \(\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\) = \(\dfrac{4+3m-\sqrt{24+17m }}{4}\) Tham khảo thêm >>> Giải công thức nghiệm của phương trình bậc 2 Toán 9 Bài giảng phương trình quy về phương trình bậc hai và các dạng bài tập Cunghocvui đã đem lại cho các bạn lý thuyết công thức nghiệm của phương trình bậc hai và cách giải công thức nghiệm của phương trình bậc 2 qua bài viết công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Nếu có đóng góp hay thắc mắc gì cho bài viết giải công thức nghiệm của phương trình bậc 2, các bạn hãy để lại comment dưới phần bình luận nhé! |
