1 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 1 §1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1. Định nghĩa tính đơn điệu: Cho hàm số [] y fx = xác định trên tập . K Hàm số [] y fx = đồng biến [tăng] trên K nếu 12 ,, xx K ∀ ∈ 12 1 2 [] [ ] x x fx fx . Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K thì được gọi là đơn điệu trên K . Nhận xét: Trong chương trình lớp 10, để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm [] fx , ta hay dùng tỉ số : 12 12 12 [] [ ] , fx fx T xx xx − = ∀≠ − và 12 , x x K ∈ . Cụ thể là: • Nếu 0 T > thì hàm [] fx đồng biến trên . K [Tức là 12 [] [ ] fx fx − cùng dấu với 12 xx − ]. • Nếu 0 T < thì hàm [] fx nghịch biến trên . K [Tức là 12 [] [ ] fx fx − trái dấu với 12 xx − ]. 2. Định lí [tính đơn điệu và dấu của đạo hàm]: Cho hàm số [] y fx = có đạo hàm trên . K Nếu [] 0 fx ′ > với mọi xK ∈ thì hàm [] fx đồng biến trên K . Nếu [] 0 fx ′ < với mọi xK ∈ thì hàm [] fx nghịch biến trên K . Chú ý: • Định lí trên được mở rộng với [] 0 fx ′ ≥ [hay [] 0 fx ′ ≤ ] trong trường hợp [] 0 fx ′ = tại một số hữu hạn điểm; khi đó kết luận hàm số đồng biến [hay nghịch biến] vẫn đúng. 2 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 2 • Nếu hàm số [] y fx = liên tục trên [ ] ; ab và có đạo hàm [ ] 0, [ ; ] f x x ab ′ > ∀∈ thì hàm số đồng biến trên [ ] ; ab . [Tương tự cho trường hợp hàm số nghịch biến trên [ ] ; ab ]. Bài toán 1: Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên và suy ra tính đơn điệu hàm số. Phương pháp: o Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số. o Bước 2: Tính [] y fx ′′ = ; cho 0 y ′ = 12 , ... Tìm nghieäm xx [nếu có]. o Bước 3: Lập bảng biến thiên. o Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận hàm số đồng biến [hoặc nghịch biến] trên các khoảng của tập xác định. Lưu ý: o Khi lập bảng biến thiên, việc xét đúng dấu cho đạo hàm là bước quyết định, nên học sinh phải tuyệt đối chính xác. o Ở lớp 10, khi các em xét dấu cho tam thức bậc hai, học sinh đã quen với thuật ngữ “trong trái ngoài cùng” . Nghĩa là: Khu vực bên trong hai nghiệm thì biểu thức trái dấu a , khu vực ngoài hai nghiệm thì biểu thức cùng dấu a . Tuy nhiên nếu đạo hàm không có dạng bậc hai, thì thuật ngữ “trong trái ngoài cùng” sẽ không thể áp dụng. Vậy có quy tắc nào chung cho việc xét dấu mọi bài toán? Quy tắc chung để xét dấu đạo hàm: o Để xét dấu đạo hàm y ′ trên một khoảng [; ] αβ nào đó, ta chọn một giá trị 0 [; ] x αβ ∈ rồi thay vào y ′, từ đó suy ra được dấu của y ′ trên [; ] αβ . o Với quy tắc này, mọi hàm số có đạo hàm phức tạp ta đều có thể được xét dấu chính xác sau khi ta tìm được nghiệm của đạo hàm. Dạng toán 1 Sử dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số 3 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 3 Ví dụ 1. Cho hàm số 32 3 9 15 yx x x = + −+ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng [ ] 3;1 − . B. Hàm số đồng biến trên [ ] 9; 5 −− . C. Hàm số đồng biến trên . D. Hàm số đồng biến trên [ ] 5; +∞ . Lời giải: Tập xác định: D = . Ta có 2 3 69 yx x ′= +− ; 1 0 3 x y x = ′ = ⇔ = − . Bảng biến thiên: x −∞ 3 − 1 +∞ y ′ + 0 − 0 + y −∞ 42 10 +∞ Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng: [ ] [ ] ; 3 , 1; −∞ − +∞ . Hàm số nghịch biến trên khoảng [ ] 3;1 − . C → Choïn Ví dụ 2. Các khoảng nghịch biến của hàm số 42 24 y x x = − + − là A. [ 1;0] − và [1; ]. +∞ B. [ ;1] −∞ và [1; ]. +∞ C. [ 1;0] − và [0;1]. D. [ ; 1] −∞ − và [0;1]. Lời giải: Tập xác định: D = . Ta có: 3 4x 4x y ′= −+ ; 0 0 1 x y x = ′ = ⇔ = ± . Bảng biến thiên: x −∞ 1 − 0 1 +∞ y ′ + 0 − 0 + 0 − y −∞ 3 − 4 − 3 − −∞ Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng: [ ] [ ] ; 1 , 0;1 −∞ − . Hàm số nghịch biến trên các khoảng: [ ] [ ] 1;0 , 1; . − +∞ A → Choïn 4 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 4 Ví dụ 3. Chọn mệnh đề đúng về hàm số 21 2 x y x − = + . A. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. B. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó. C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. D. Hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó. Lời giải: Tập xác định: { } \2 D = − . Ta có: [ ] 2 5 0, 2 2 y x x ′ = > ∀ ≠− + . Nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. Bảng biến thiên: x −∞ 2 − +∞ y ′ + + y 2 +∞ −∞ 2 C → Choïn Ví dụ 4. Cho hàm số 2 3 y xx = − . Hàm số đồng biến trên khoảng nào? A. 3 0; 2 . B. [ ] 0;3 . C. 3 ;3 2 . D. 3 ; 2 −∞ . Lời giải: Tập xác định: [ ] 0;3 D = . Ta có: [ ] 2 2 2 3 32 2 3 2 3 xx x y xx xx ′ − − ′ = = − − ; 3 0 2 yx ′= ⇔= [nhận]. Bảng biến thiên: x 0 3 2 3 y ′ + 0 − y 0 3 2 0 Kết luận: Hàm số đồng biến trên 3 0; 2 , nghịch biến trên 3 ;3 2 . A → Choïn 5 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 5 Ví dụ 5. Cho hàm số 3 22 yx x = ++ − . Khẳng định nào sau đây là khẳng đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng [ ; 2] −∞ − và nghịch biến trên khoảng [ 2;2]. − B. Hàm số đồng biến trên khoảng [ ;1] −∞ và nghịch biến trên khoảng [1;2]. C. Hàm số nghịch biến trên khoảng [ ; 2] −∞ − và đồng biến trên khoảng [ 2;2]. − D. Hàm số nghịch biến trên khoảng [ ;1] −∞ và đồng biến trên khoảng [1;2] . Lời giải: Tập xác định: [ ] ;2 D = −∞ . Đạo hàm: 1 21 1 22 x y xx −− ′= −= −− ; 0 2 1 1 6. y x xy ′= ⇔ −= ⇔ =⇒ = Bảng biến thiên: x −∞ 1 2 +∞ y ′ + − y −∞ 6 5 Vậy ta hàm số đã cho đồng biến trên khoảng [ ] ;1 −∞ và nghịch biến trên khoảng [ ] 1;2 . B → Choïn Ví dụ 6. Cho hàm số 2 sin , 2 x yx = + với [ ] 0; x π ∈ . Mệnh đề nào sau đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên [ ] 0; π . B. Hàm số nghịch biến trên [ ] 0; π . C. Hàm số nghịch biến trên 7 0; 12 π . D. Hàm số nghịch biến trên 7 11 ; 12 12 ππ . Lời giải: Tập xác định: [ ] ;2 D = −∞ . Đạo hàm: 11 2sin cos sin 2 22 y xx x ′= += + ; 1 0 sin 2 2 yx ′= ⇔= − . 22 6 12 [] 77 22 6 12 xk xk k xk xk π π π π ππ ππ = −+ = −+ ⇔⇔ ∈ =+=+ . Do [ ] 11 0; 12 7 12 x x k x π π π = ∈ ⇒ ∈ = . 6 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 6 Bảng biến thiên: x 0 7 12 π 11 12 π π y ′ + 0 − 0 + y Ta thấy mệnh đề đúng là: Hàm số đã cho nghịch biến trên 7 11 ; 12 12 ππ . D → Choïn Ví dụ 7. Hàm số 2 2 35 y x x = −− đồng biến trên khoảng nào ? A. [ ] ; 1 −∞ − và 35 ; 42 B. 5 1; 2 − . C. 5 ; 2 −∞ . D. 3 1; 4 − và 5 ; 2 +∞ . Lời giải: Tập xác định: [ ] ;2 D = −∞ . Áp dụng công thức [ ] [ ] [ ] 2 2 2 2. . 2 2 u uu uu u u uu u ′ ′ ′′ ′ = = = = , ta có: [ ] [ ] 2 2 2 3 54 3 2 2 3 5 xx x y xx −− − ′ = −− . Xét [ ] [ ] 2 2 3 1 3 4 1 2 3 54 3 0 5 4 0 5 2 2 3 50 2 5 1 2 x x xx x y x xx x x x −≤ ≤ −< ≤ − − −≥ ′≥ ⇔ ⇔ ⇔ ≥ − −≠ > ≠− ∧ ≠ . Ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng: 3 1; 4 − và 5 ; 2 +∞ . D → Choïn Bài toán 2: Xét dấu đạo hàm cho sẵn để kết luận về tính đơn điệu hàm số MỘT SỐ TÍNH CHẤT CẦN LƯU Ý: Cho hàm số , f x gx cùng có đạo hàm trên tập D. Khi đó: [ ] [ ] .. kf x kf x ′ ′ = với k là hằng số [ ] [ ] [ ] [ ] f xg x f xg x ′ ′′ ±= ± [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] . . . f xg x f xg x f xg x ′ ′′ = + [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 .. f x f xg x f xg x gx gx ′ ′′ − = 7 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 7 [ ] [ ] . f u uf u ′ ′′ = [ ] y f x = Thay x bôûi u [ ] y fu = Ví dụ 8. Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm trên là [ ] [ ] 2 1 f x xx ′ = − . Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng: A. [ ] 1; +∞ . B. [ ] ; −∞ +∞ . C. [ ] 0;1 . D. [ ] ;1 −∞ . Lời giải: Cách 1: Sử dụng bảng xét dấu: Ta có [ ] [ ] 2 0 ' 0 10 1 x f x xx x = = ⇔ −= ⇔ = . Bảng biến thiên: x −∞ 0 1 +∞ y ′ − 0 − 0 + y +∞ +∞ Ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng [ ] 1; +∞ . A → Choïn Cách 2: Giải bất phương trình [cách này thuận lợi hơn trong trắc nghiệm]. Ta có: [ ] [ ] 2 ' 1 0 10 f x xx x = − ≥ ⇔ − ≥ [do 2 0, xx ≥ ∀∈ ] 1 x ⇔≥ . Vậy hàm số đồng biến trên khoảng [ ] 1; +∞ . Ví dụ 9. Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên và có đạo hàm [ ] [ ] [ ] [ ] 2018 2019 2 1 2. fx x x x ′ =+− − Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại điểm 1 x = và đạt cực tiểu tại các điểm 2 x = ± . B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng [ ] 1;2 và [ ] 2; +∞ . C. Hàm số có ba điểm cực trị. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng [ ] 2;2 − . Lời giải: Ta có [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2018 2019 2018 2018 21 2 21 2 2 f x xx x xx x x ′ =+− − =+− − − [ ] [ ] [ ] 2018 2018 2 41 2 xx x = −− − . 8 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 8 Xét [ ] [ ] [ ] [ ] 2018 2018 22 0 4 1 2 0 40 fx x x x x ′ ≥ ⇔ − − − ≥ ⇔ − ≥ [do [ ] [ ] 2018 2018 10 , 20 x x x −≥ ∀∈ −≥ ] 2 2 x x ≤− ⇔ ≥ . Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng [ ] [ ] ; 2 , 2; −∞ − +∞ ; hàm số nghịch biến trên khoảng [ ] 2;2 . − D → Choïn Ví dụ 10. Cho [ ] y f x = có đạo hàm [ ] 2 ' 5 6, fx x x x =− + − ∀∈ . Hàm số [ ] 5 y f x = − nghịch biến trên khoảng nào? A. [ ] ;2 −∞ và [ ] 3; +∞ . B. [ ] 3; +∞ . C. [ ] 2; +∞ . D. [ ] 2;3 . Lời giải: Đặt [ ] [ ] 5, gx f x x =− ∀∈ . Ta có [ ] [ ] 5 gx f x ′′ = − mà [ ] 2 ' 5 6, fx x x x =− + − ∀∈ nên [ ] [ ] 22 5 5 6 5 25 30 gx x x x x ′ = − − + − = − + ; Xét [ ] 2 0 5 25 30 0 2 3 gx x x x ′ ≤ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ . Do đó hàm số [ ] gx nghịch biến trên [ ] 2;3 . D → Choïn Ví dụ 11. Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm [ ] [ ] [ ] 2 3 1 2, f x xx x x ′ = − − + ∀∈ . Hỏi hàm số [ ] [ ] 2 1 gx f x x = −− đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây ? A. [ ] 3; +∞ . B. [ ] ;1 −∞ . C. [ ] 1;2 . D. [ ] 1;0 − . Lời giải: Ta có: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 23 1 2 23 1 g x f x x xx x x xx ′′ = −= − − + −= − − ; [ ] [ ] [ ] 2 3 0 3 1 0 1 x f x xx x = ′ = ⇔ − −= ⇔ = ± . Bảng biến thiên: x −∞ 1 − 1 3 +∞ y ′ + 0 − 0 + 0 − y ơ Ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng [ ] [ ] ; 1 , 1;3 −∞ − . C → Choïn 9 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 9 Ví dụ 12. Cho hàm số [ ] y f x = xác định trên và có đạo hàm [ ] ' y fx = thỏa mãn [ ] [ ] [ ] [ ] ' 1 2 2021 f x x x gx =−+ + trong đó [ ] 0, . gx x > ∀∈ Hàm số [ ] 1 2021 2020 yf x x = − + + nghịch biến trên khoảng nào? A. [ ] 0;3 . B. [ ] ;3 −∞ . C. [ ] 1; +∞ . D. [ ] 3; +∞ . Lời giải: Đặt [ ] [ ] 1 2021 2020 hx f x x = − + + [ ] [ ] [ ] [ ] 1 . 1 2021 1 2021. h x x f x fx ′ ′′ ′ ⇒ =− − + = − − + Theo đề [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 2021 1 3 1 2021. f x x x g x f x x x g x ′′ = − + + ⇒ − = − − + Do đó [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 3 1 2021 2021 3 1 h x x x g x x x g x ′ = − − − + + = − − . Mặt khác [ ] [ ] 0, 1 0, . g xx g xx > ∀∈ ⇒ − > ∀∈ Do đó [ ] [ ] 0 3 0 0 3. h x x x x ′ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤ A → Choïn Ví dụ 13. Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm liên tục trên và [ ] [ ] [ ] 2 1. 1 f x x x gx ′=+ + trong đó [ ] 0, gx x > ∀∈ . Hàm số [ ] 2 yf x x = − + đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. 5 2; 2 . B. [ ] ;1 −∞ . C. 3 1; 2 . D. [ ] 0; 1 . Lời giải: Đặt [ ] [ ] 2 hx f x x = − + , suy ra [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 21 h x x fx x fx ′ ′ ′ ′′ =− − + = − − + . Ta có [ ] [ ] [ ] 2 1. 1 f x x x gx ′=+ + [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 2 21 21 2 5 2 21 f x x x gx x x gx ′ ⇒ − = − − + − + = − − − + . Do đó: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 52 2 1 1 252 2 h x x x g x x x g x ′= −− −−++= − −− . Theo đề, [ ] [ ] 0, 2 0, g xx g xx > ∀∈ ⇒ − > ∀∈ , do đó: [ ] [ ] [ ] 5 0 252 0 2 . 2 hx x x x ′ ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ ≤ ≤ Vậy hàm số [ ] 2 yf x x = − + đồng biến trên 5 2; . 2 A → Choïn Bài toán 3: Dựa vào bảng biến thiên có sẵn để kết luận về tính đơn điệu Phương pháp chung: o Đặt [ ] gx là hàm số cần xét, ta tính đạo hàm [ ] gx ′ . Thay x bởi 1 – x 10 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 10 o Kết hợp các nguyên tắc xét dấu tích, thương, tổng [hiệu] các biểu thức để có được bảng xét dấu cho [ ] gx ′ . o Dựa vào bảng xét dấu của [ ] gx ′ để kết luận về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số. Nhắc lại quy tắc về dấu của tích, thương, tổng [hiệu] các biểu thức: [ ] f x [ ] gx [ ] [ ] . f x gx [ ] [ ] : f x gx [ ] [ ] f x gx + Chưa biết Chưa biết Ví dụ 14. Cho hàm số [ ] y f x = có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số [ ] 2018. y f x = − đồng biến trên khoảng nào dưới đây? x 1 y y 0 0 A. [ ] ;0 . −∞ B. [ ] 1; . +∞ C. [ ] 0; . +∞ D. [ ] ;1 . −∞ Lời giải: Đặt [ ] [ ] 2018. gx f x = − , ta có: [ ] [ ] 2018. gx f x ′′ = − . Xét [ ] [ ] [ ] 2018. 0 0 1 g x fx fx x ′ ′ ′ = − ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≥ . Vậy hàm số [ ] 2018. y f x = − đồng biến trên khoảng [ ] 1; . +∞ B → Choïn Ví dụ 15. Cho hàm số [ ] x f . Hàm số [ ] x f y ′ = có bảng xét dấu như sau: x −∞ 2 − 1 3 +∞ [] fx ′ − 0 + 0 + 0 − Hàm số [ ] x x f y 2 2 + = nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. [ ] 0;1 . B. [ ] 2; 1 −− . C. [ ] 2;1 − . D. [ ] 4; 3 −− . Lời giải: Đặt [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 22 2 2 2 . 2 2 2 . 2 g x f x x g x x x f x x x f x x ′ ′′ ′ = + ⇒ = + + = + + . Xét [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 22 2 20 2 20 0 2 2 . 2 0 [1] [2] 20 20 x x gx x f x x f x x f x x + ≥ + ≤ ′ ≤ ⇔ + + ≤ ⇔ ∨ ′′ +≤ +≥ 11 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 11 Giải [1], ta có: [ ] 2 2 2 1 1 2 20 1 2 2 20 3 23 1 x x x x x x x f x x x x x x ≥− ≥− + ≥ ∈ ∅ ⇔ ⇔ ⇔≥ + ≤− ′ + ≤ ≤− +≥ ≥ . [*] Giải [2], ta có: [ ] 2 2 2 1 1 2 20 2 2 3 1 20 31 23 x x x x x x x f x x x x x ≤− ≤− + ≤ ⇔ + ≥− ⇔ ∈ ⇔ − ≤ ≤− ′ +≥ −≤ ≤ +≤ . [**] Hợp hai kết quả [*], [**], ta được: [ ] [ ] 3; 1 1; x S ∈ = − − ∪ +∞ . Ta thấy [ ] 2; 1 S −− ⊂ , do đó [ ] 2; 1 x ∀ ∈− − thì hàm số [ ] x x f y 2 2 + = nghịch biến. B → Choïn Giải thích [ ]: o Từ bảng biến thiên, ta dễ dàng có được: [ ] 2 0 3 t ft t ≤− ′ ≤ ⇔ ≥ . o Thay t bởi 2 2 x x + , ta có: 2 2 2 2 2 20 23 t t t x x fx x x x + ≤− ′ + ≤ ⇔ +≥ . Ví dụ 16. Cho hàm số [] fx có bảng xét dấu của đạo hàm như sau x 4 1 2 4 [] fx 0 0 0 0 Hàm số 2 2 [2 1] 8 5 3 y f x x x = ++ − + nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ? A. [ ] 1;7 − . B. [ ] 1; +∞ . C. 1 1; 2 − . D. [ ] ; 2 −∞ − . Lời giải: Đặt [ ] [ ] 2 2 42 [2 1] 8 5 2 [2 1] 8 2 [2 1] 4 3 33 g x f x x x g x f x x f x x ′′ ′ = ++ − + ⇒ = ++ − = ++ − . Xét 51 4 2 12 22 [2 1] 0 2 14 3 2 x x fx x x − ≤≤ −≤ +≤ ′ + ≤ ⇔ ⇔ +≥ ≥ ; do đó 5 2 [2 1] 0 13 22 x fx x ≤− ′ + ≥ ⇔ ≤≤ . Xét 2 4 0 6. 3 xx − = ⇔ = Ta có bảng xét dấu tạm thời như sau: 12 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 12 x 5 2 1 2 3 2 6 [2 1] fx ′ + 0 0 0 2 4 3 x 0 2 [2 1] 4 3 fx x ′ ++ − Chưa biết dấu Chưa biết dấu Chưa biết dấu Từ bảng trên, ta thấy hàm số [ ] gx chắc chắn nghịch biến trên các khoảng: 51 3 ; , ;6 22 2 − . Do đó chỉ có đáp án C thỏa mãn vì 1 51 1; ; . 2 22 − ⊂− C → Choïn Đúc kết: Qua bài trên, ta thấy việc xét dấu tổng, hiệu các biểu thức vốn là bài toán không quen thuộc của đa số học sinh [các em chỉ quen xét dấu tích, thương các đa thức mà thôi]. Vì vậy, ta cần rút ra thuật toán cho loại toán này. Bài toán: Xét dấu [ ] [ ] [ ] . g x kf x h x ′′ = + khi đã biết bảng xét dấu của [ ] fx ′ , k là hằng số. o Cho [ ] 0 hx = để tìm các nghiệm 12 , ... xx [nếu có]. o Lập bảng xét dấu với mỗi hàng lần lượt dành cho [ ] [ ] [ ] [ ] ,. , , x k f x hx kf x hx ′′ + theo quy tắc: Tổng hai số dương là một số dương, tổng hai số âm là một số âm, tổng hai số trái dấu thì chưa xác định được dấu. Ví dụ 17. Cho hàm số [ ] y f x = có bảng xét dấu của đạo hàm như sau x 1 1 2 5 [] fx 0 0 0 0 Hàm số [ ] 32 3 2 3 9 2018 y f x x x x = −+ + + − + nghịch biến trên khoảng nào dưới đấy? A. 3 ; 2 −∞ − . B. 3 0; 2 . C. [ ] 2; +∞ . D. 3 ;1 2 − . Lời giải: Đặt [ ] [ ] 32 3 2 3 9 2018 gx f x x x x = −+ + + − + ; đạo hàm: [ ] [ ] 2 3 23 6 9 gx f x x x ′′ =− −+ + + − . Xét [ ] [ ] 1 21 3 1 3 1 3 20 2 0 25 3 3 x xx fx fx x xx − ≤− + ≤ − ≤− ≤− ≥ ≥ ′′ − −+ ≥ ⇔ −+ ≤ ⇔ ⇔ ⇔ − + ≥ − ≥ ≤− . Do đó [ ] 31 3 20 3 x fx x −≤ ≤ ′ − −+ ≤ ⇔ ≥ . Xét 2 1 3 6 90 3 x xx x = + −= ⇔ = − . 13 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 13 Bảng xét dấu tạm thời như sau: x 3 1 3 [ ] 32 fx ′ − −+ 0 0 0 2 3 69 xx +− 0 0 + [ ] [ ] 2 32 3 69 fx gx xx ′ − −+ ′ +− 0 0 Chưa biết dấu Ta thấy hàm số [ ] gx chắc chắn nghịch biến trên [ ] 3;1 − mà [ ] 3 ;1 3;1 2 − ⊂− nên hàm [ ] gx nghịch biến trên 3 ;1 2 − . D → Choïn Bài toán 1: Tìm tham số m để hàm số 32 y ax bx cx d = + ++ đơn điệu trên . Phương pháp: o Bước 1: Tập xác định: . D = o Bước 2: Đạo hàm 2 32 y ax bx c ′= ++ . o Bước 3: Điều kiện đơn điệu [khi 0 a ≠ ]. Hàm số đồng biến trên 0 0, 0 y y a yx ′ ′ > ′ ⇔ ≥ ∀∈ ⇔ ∆≤ . Giaûi tìm m Hàm số nghịch biến trên 0 0, 0 y y a yx ′ ′ < ′ ⇔ ≤ ∀∈ ⇔ ∆≤ . Giaûi tìm m Lưu ý: Nếu hàm bậc ba 32 y ax bx cx d = + ++ có a chứa tham số thì ta cần xét 0 a = để kiểm tra xem hàm số có đơn điệu trên hay không. Bài toán 2: Tìm tham số m để hàm số ax b y cx d + = + [ 0, 0 c ad bc ≠ − ≠ ] đơn điệu trên mỗi khoảng xác định của nó. Phương pháp: o Tập xác định: \ d D c = − . o Đạo hàm: 2 [] ad bc y cx d − ′ = + . o Điều kiện đơn điệu: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định 0, 0 y x D ad bc ′ ⇔ > ∀∈ ⇔ − > Giaûi tìm m . Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định 0, 0 y x D ad bc ′ ⇔ < ∀∈ ⇔ − < Giaûi tìm m . Dạng toán 2 Tìm tham số thỏa mãn tính đơn điệu của hàm số 14 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 14 Lưu ý: Nếu hàm số ax b y cx d + = + có c chứa tham số thì ta nên xét 0 c = để kiểm tra xem hàm số có đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó hay không. Bài toán 3: Tìm tham số m để hàm số 2 ax bx c y dx e ++ = + [ 0 ad ≠ ] đơn điệu trên mỗi khoảng xác định của nó. Phương pháp: o Tập xác định: \ e D d = − . o Đạo hàm: 2 2 [] Ax Bx C y dx e ++ ′ = + với 0 0 ab A d = ≠ , 2, 0 a c bc BC e de = = . o Điều kiện đơn điệu: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định 0, y xD ′ ⇔ ≥ ∀∈ 2 0 0, 0 A Ax Bx C x > ⇔ + + ≥ ∀∈ ⇔ ∆≤ Giaûi tìm m . Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định 0, y xD ′ ⇔ < ∀∈ 2 0 0, 0 A Ax Bx C x < ⇔ + + ≤ ∀∈ ⇔ ∆≤ Giaûi tìm m . Lưu ý: Nếu gặp câu hỏi tương tự dành cho hàm số 2 2 ax bx c y dx ex f ++ = ++ thì ta cũng làm theo phương pháp nêu trên. Một điều khác nhau mà học sinh cần phân biệt giữa bài toán 2, bài toán 3 là: Đối với bài toán 2, đạo hàm y ′ chỉ lớn hơn 0 hoặc nhỏ hơn 0 chứ không được cho 0, 0. y y ′′ ≥ ≤ Lý do là nếu ta cho 0 y ′ = thì sẽ có vô số giá trị x thỏa mãn [mà định nghĩa nêu rõ 0 y ′ = tại một số hữu hạn điểm x mà thôi]. Ví dụ 18. Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để hàm số [ ] 32 1 82 3 3 y x mx m x m = − + − ++ đồng biến trên . A. 2 m = . B. 2 m = − . C. 4 m = . D. 4 m = − . Lời giải: Ta có [ ] 2 2 82 y x mx m ′= − +− . Nhận thấy 10 a = ≠ . Hàm số đồng biến trên 2 10 0 0, 4 2. 0 82 0 a yx m m m ≥ > ′ ⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔ ⇔ ⇔− ≤ ≤ ′ ∆ ≤ − + ≤ Ta thấy 2 m = thỏa mãn đề bài. A → Choïn 15 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 15 Ví dụ 19. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số [ ] [ ] [ ] 32 1 1 21 5 y mx mx m x = − +− − + + nghịch biến trên tập xác định. A. 5 1 4 m −≤ ≤ . B. 2 1 7 m −≤ < . C. 7 1 2 m −≤ < . D. 2 1 7 m −≤ ≤ . Lời giải: Ta có: [ ] [ ] [ ] 2 3 1 2 1 21 y m x mx m ′= − + −− + . Xét 10 1 mm −= ⇔ = , ta có: 3 0, yx ′=− < ∀∈ nên hàm số đã cho nghịch biến trên . Do đó 1 m = thỏa mãn. [*] Xét 10 1 mm −≠ ⇔ ≠ . Hàm số nghịch biến trên tập xác định khi và chỉ khi: [ ] [ ] [ ] 2 2 10 1 2 1 7 7 5 20 1 3 1 2 1 0 m m m m m m mm − < < ⇔ ⇔− ≤ < ′ − −≤ ∆= − + − + ≤ . [**] Hợp các kết quả của [*] và [**], ta có 2 1 7 m −≤ ≤ thỏa mãn đề bài. D → Choïn Nhận xét: Hai ví dụ trên có sự khác nhau về lời giải bởi một trường hợp thì a luôn khác 0; trường hợp còn lại thì a chứa tham số m, khi đó ta phải xét thêm 0 a = để kiểm tra xem đạo hàm có luôn mang một dấu thỏa mãn đề bài không. Ví dụ 20. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 2 4 x m y x + = + đồng biến trên từng khoảng xác định của nó? A. 5. B. 2. C. 3. D. 1. Lời giải: Tập xác định: { } \4 D = − . Đạo hàm: [ ] 2 2 4 . 4 m y x − ′ = + Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó 0, 4 yx ′ ⇔ > ∀ ≠− 22 4 0 4 [ 2;2] mmm ⇔ − > ⇔ < ⇔ ∈ − . Vì { } 1;0;1 . m m ∈ ⇒ ∈− Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn. C → Choïn Ví dụ 21. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 9 1 x m y mx + = + nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó? A. 5 . B. Vô số. C. 7 . D. 3 . Lời giải: Nhận thấy cm = chưa chắc khác 0 nên ta xét 0 cm = = trước. Khi đó 9 yx = có 90 y ′ = > [không thỏa mãn đề bài]. 16 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 16 Xét 0 cm = ≠ , ta có [ ] 2 2 9 1 m y mx − ′ = + . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định 2 3 1 0, 9 0 3 m yx m m m . Vì m nguyên nên có vô số giá trị m thỏa mãn đề bài. B → Choïn Ví dụ 22. Hàm số [ ] 2 11 2 xm x y x ++ − = − [m là tham số] nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi các giá trị của m là A. 1 m ≥ . B. 1 m = − . C. 5 2 m ≤− . D. 11 m −< < . Lời giải: Tập xác định: { } \2 D = . Đạo hàm: [ ] [ ] [ ] 2 22 42 1 22 gx x xm y x x − + + + ′ = = − − . Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi và chỉ khi 0, y xD ′≤ ∀∈ [Dấu "" = chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên D ] ⇔ [ ] 2 4 2 1 0, gx x x m x D =− + + + ≤ ∀∈ [ ] [ ] 5 04 1 . 2 1 02 5 0 2 g m mm ′ ⇔∆ ≤ ⇔ − − + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤− . C → Choïn Bài toán 4: Tìm tham số m để hàm số lượng giác đơn điệu trên . Phương pháp: Cách giải 1: Cô lập m về một vế. o Tính đạo hàm [ ] y f x ′′ = , cho [ ] 0 y f x ′′ = ≥ nếu đề bài yêu cầu hàm số đồng biến trên . Ngược lại: [ ] 0 y f x ′′ = ≤ nếu đề bài yêu cầu hàm số nghịch biến trên . o Cô lập m để có được dạng [ ] [ ] g m hx ≥ [hoặc [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ;; g m hx g m hx g m hx >≤< ]. o Tìm Max-Min cho hàm số [ ] hx trên . [Hoặc lập bảng biến thiên cho hàm [ ] hx ]. o Dựa vào giá trị Max-Min hoặc bảng biến thiên để kết luận về điều kiện của m. Cách giải 2: Sử dụng tính chất của hàm số bậc nhất o Đặt sin tx = [hoặc cos tx = ] với điều kiện [ ] 1;1 . t∈− o Bất phương trình: [ ] [ ] sin .1 0 sin 0, 0, 1;1 .1 0 tx ab a x b x at b t ab = +≥ +≥ ∀ ∈ ⇔ +≥ ∀ ∈ − ⇔ − +≥ . o Hoàn toàn tương tự: [ ] [ ] cos .1 0 cos 0, 0, 1;1 .1 0 tx ab a x b x at b t ab = +< +< ∀ ∈ ⇔ +< ∀ ∈ − ⇔ − +< . 17 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 17 Nhận xét: Ý tưởng của cách giải 2 là tận dụng tính chất của hàm số y ax b = + . Vì đạo hàm của nó không đổi dấu trên [ ] ; αβ bất kì nên chỉ cần [ ] 0, [ ] 0 yy α β ≥≥ thì [ ] 0, ; yx αβ ≥ ∀∈ ; tương tự như thế: [ ] [ ] [ ] 0 .0 0, ; . .0 0 y ab y ax b x ab y α α αβ β β < +< = + < ∀∈ ⇔ ⇔ +< < Ví dụ 23. Tìm tất cả các giá trị của m ∈ để hàm số sin cos y x x mx = ++ đồng biến trên . A. 22 m − ≤≤ . B. 22 m − ∀∈ ⇔ > [ ] [ ] , m gx x m Min gx ≤ ∀∈ ⇔ ≤ [ ] [ ] , m gx x m Min gx < ∀∈ ⇔ < o Nếu hàm [ ] gx không tồn tại Max-Min trên , tuy nhiên thông qua bảng biến thiên ta tìm được điều kiện bị chặn: [ ] 12 M gx M < < , khi đó: [ ] 2 , m gx x m M ≥ ∀∈ ⇔ ≥ [ ] 2 , m gx x m M > ∀∈ ⇔ ≥ [ ] 1 , m gx x m M ≤ ∀∈ ⇔ ≤ [ ] 1 , m gx x m M < ∀∈ ⇔ ≤ Ví dụ 24. Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số [ ] 3 sin 2 cos 2 2 1 2021 y x x mx = + − −+ đồng biến trên tập xác định . A. 5 2 m ≤ . B. 5 2 m < . C. 5 2 m ≥ . D. 3 . 2 m ≤− Lời giải: Ta có: [ ] 2 3 sin 2 2cos 2 2 1 y x xm ′= − −− . Hàm số đồng biến trên 0, yx ′ ⇔ ≥ ∀∈ [ ] 2 3 sin 2 2cos 2 2 1 0, x xm x ⇔ − − − ≥ ∀∈ 31 2 1 4 sin 2 cos 2 , 2 1 4sin 2 , 22 6 m x x x m x x π ⇔ − ≤ − ∀∈ ⇔ − ≤ − ∀∈ [*] 18 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 18 Ta thấy giá trị nhỏ nhất của 4sin 2 6 x π − bằng 4 − nên 3 [*] 2 1 4 . 2 mm ⇔ − ≤− ⇔ ≤− D → Choïn Ví dụ 25. Cho hàm số [2 1]sin [3 ] y m x mx = + +− . Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số đã cho đồng biến trên . A. 1 . 2 m = − B. 12 ;. 23 m ∈− C. 2 4; . 3 m ∈ − D. 1 4; . 2 m ∈ − − Lời giải: Đạo hàm: [2 1]cos 3 y m x m ′= + +− . Hàm số đồng biến trên 0, [2 1]cos 3 0, [*] y x m xm x ′ ⇔ ≥ ∀∈ ⇔ + + − ≥ ∀∈ Đặt [ ] cos , 1;1 t xt = ∈− . [*] được viết lại: [ ] [] [2 1] 3 0, 1;1 gt mt m t + + − ≥ ∀∈ − 2 [ 1] 0 2 1 3 0 3 [1] 0 2 1 3 0 4 g mm m g mm m − ≥ − − + − ≥ ≤ ⇔⇔ ⇔ ≥ ++ − ≥ ≥− . Vậy 2 4; 3 m ∈ − thỏa mãn đề bài. C → Choïn Bài toán 5: Tìm tham số m để hàm số nhất biến [ ] 0, 0 ax b y c ad bc cx d + = ≠ − ≠ + đơn điệu trên một khoảng K cho trước [với K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng]. Phương pháp: o Bước 1: Tập xác định: \ d D c = − . o Bước 2: Đạo hàm 2 [] ad bc y cx d − ′ = + . o Bước 3: Điều kiện đơn điệu: Hàm số đồng biến trên 00 , y ad bc K dd x xK K cc ′> −> ⇔⇔ ≠− ∀ ∈ − ∉ Giaûi tìm m . Hàm số nghịch biến trên 00 , y ad bc K dd x xK K cc ′< − < ⇔⇔ ≠− ∀ ∈ − ∉ Giaûi tìm m . 19 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 19 Mở rộng Bài toán 5: Tìm tham số m để hàm số [ ] [ ] [ ] . 0, 0 . au x b y c ad bc c u x d + = ≠ − ≠ + đơn điệu trên khoảng K cho trước. Cách tính nhanh đạo hàm loại này Đạo hàm của hàm số đã cho là tích hai vế phải của [1] và [2]. Đặt [ ] [ ] t ux t u x ′′ = ⇒ = [1] [ ] [ ] 2 . . ad bc y ux cu x d − ′′ = + [ ] [ ] [ ] 2 at b ad bc ft f t ct d ct d +− ′ = ⇒= + + [2] Nếu học sinh thực hiện cách tính như trên vài lần thì những bài sau đó các em có thể nhẩm được đạo hàm rất nhanh chóng và chính xác. Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số [ ] 1 cos 2cos m xm y x m +− = + . Ta thực hiện như bảng sau: Đạo hàm của hàm số đã cho là tích hai vế phải của [1] và [2]. Đặt cos sin t x t x ′ = ⇒ = − [1] [ ] [ ] 2 2 3 . sin 2cos m m y x x m + ′ = − + [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 22 1 12 3 2 22 m t m mm m m m ft f t t m t m t m + − +− − + ′ = ⇒= = + ++ [2] Ví dụ 26. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 6 5 x y xm + = + nghịch biến trên khoảng [ ] 10; +∞ ? A. 3. B. Vô số. C. 4. D. 5. Lời giải: Tập xác định : { } \5 Dm = − . Ta có [ ] 2 56 5 m y xm − ′ = + . Hàm số nghịch biến trên khoảng [ ] 10; +∞ [ ] 0, 10; yx ′ ⇔ < ∀ ∈ +∞ [ ] 6 5 60 6 2. 5 5 10; 5 5 10 m m m m m −< < ⇔ ⇔ ⇔− ≤ < − ∉ +∞ − ≤ Do m ∈ { } 2; 1 ; 0; 1 m ⇒ ∈− − . C → Choïn 20 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 20 Ví dụ 27. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 4 mx y mx − = − nghịch biến trên khoảng [ ] 3;1 − ? A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Lời giải: Tập xác định: { } \ Dm = ; [ ] 2 2 4 m y mx − ′ = − . Hàm số nghịch biến trên khoảng [ ] 3;1 − ⇔ [ ] 0, 3;1 yx ′< ∀ ∈ − [ ] 2 40 3;1 m m −< ⇔ ∉− ⇔ 22 3 1 m m m −< < ≤− ≥ ⇔ 12 m ≤< . Do m ∈ nên 1 m = . Vậy có một giá trị m thỏa mãn đề bài. C → Choïn Ví dụ 28. [Đề Minh họa lần 1, 2017, BGD] Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số tan 2 tan x y xm − = − đồng biến trên 0; 4 π . A. 2 m < . B. 0 m ≤ hoặc 12 m ≤< . C. 12 m ≤< . D. 0 m ≤ . Lời giải: Điều kiện: tan 0, 0; tan , 0; 44 xm x m x x ππ − ≠ ∀∈ ⇔ ≠ ∀∈ [ ] [ ] 0 tan , tan 0;1 0;1 1 m mx x m m ≤ ⇔ ≠ ∀ ∈ ⇔∉ ⇔ ≥ . [*] Tính đạo hàm nhanh bằng phương pháp sau: Đạo hàm của hàm số đã cho là tích hai vế phải của [1] và [2]. Đặt 2 1 tan cos t x t x ′ = ⇒ = [1] [ ] 2 2 21 . cos tan m y x xm + + −+ ′ = − [ ] [ ] [ ] 2 22 t m ft f t tm tm − −+ ′ = ⇒= − − [2] Ta có 0, 0; 2 0 2 4 yx m m π ′> ∀ ∈ ⇒− +>⇒ < . [**] Từ [*] và [**] suy ra 0 12 m m ≤ ≤< . B → Choïn 21 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 21 Ví dụ 29. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số sin 2 1 sin 2 x y x m − = + đồng biến trên ; 12 4 ππ − . A. 1 m ≥− . B. 1 m >− . C. 1 2 m ≥ . D. 1 m > . Lời giải: Ta có: 12 4 x ππ − − [**]. Từ [*] và [**] ta có 1 2 m ≥ thỏa mãn đề bài. C → Choïn Bài toán 6: Tìm tham số m để hàm số bậc ba, bậc bốn,… đơn điệu trên tập K cho trước [với K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng]. Phương pháp: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm [] y fx . Bước 2: Điều kiện đơn điệu: Hàm số đồng biến trên 0, K y xK . Hàm số nghịch biến trên 0, K y xK . Bước 3: Cách 1: Biến đổi theo dạng [ ], m gx x K [hoặc [ ], m gx x K ]. Lập bảng biến thiên của hàm số [] gx với mọi xK . Dựa vào bảng biến thiên và kết luận điều kiện cho tham số . m Cách 2: Tìm nghiệm [đẹp] của phương trình 0 y [x phụ thuộc m]. Áp dụng điều kiện nghiệm cho tam thức bậc hai [bảng xét dấu đạo hàm]. Bài toán mở rộng: Tìm tham số m để hàm số 32 y ax bx cx d đơn điệu trên một khoảng có độ dài p. 22 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 22 Phương pháp: o Bước 1: Đạo hàm 2 32 y ax bx c . o Bước 2: Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài p y có hai nghiệm phân biệt 12 , x x thỏa mãn 12 0 y y a xx p p a . x 1 x 2 x y 0 + 0 Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài p y có hai nghiệm phân biệt 12 , x x thỏa mãn 12 0 y y a xx p p a . x 1 x 2 x y + 0 0 + Lưu ý: o Dạng này không cần điều kiện 0, 0 a vì điều kiện p a đã bao hàm hai ý trên. o Điều kiện 12 xx p có thể được xử lý theo hai cách chính: Một là sử dụng định lí Vi-ét: 2 22 1 2 1 12 2 2 x x p x xx x p 2 2 1 2 12 [ ]4 0 x x xx p 2 2 40 bc p aa . 23 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 23 Hai là tự chế công thức: 12 , 22 bb xx aa 12 2 2 bb xx a aa [công thức này rất tiện lợi cho trắc nghiệm]. o Các câu hỏi: “đồng biến [nghịch biến] trên khoảng có độ dài ,,, pppp >≥ . Ta có [ ] 6 12 fx x ′ = − + ; [] 0 2 fx x ′ = ⇔= . Bảng biến thiên: x −∞ 2 +∞ [ ] fx ′ + 0 − [ ] f x −∞ 12 −∞ Dựa vào bảng biến thiên, ta được giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 12 m ≥ . D → Choïn Ví dụ 31. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số [ ] 42 21 2 yx m x m = − − +− đồng biến trên khoảng [ ] 1;5 là: A. 2 m < . B. 12 m ; ta tìm được hai nghiệm là 12 ,1 x mx m = = + . Bảng biến thiên: x m 1 m 2 y 0 0 y Để hàm số đồng biến trên khoảng [ ] 2; +∞ thì 12 1 mm +≤ ⇔ ≤ . Mặt khác m nguyên và thuộc [ ] 1000;1000 − nên { } 999; 998;...0;...;999 m∈− − ⇒ Số các giá trị m là: [ ] 999 999 1 1 999 −− + = . B → Choïn Mẹo nhỏ: Để tìm nghiệm đẹp trong phương trình bậc hai, bậc ba có chứa tham số, ta nhập vào máy tính chức năng giải phương trình bậc hai, bậc ba với việc thay 100 m = . Nghiệm tìm được ta sẽ liên hệ với 100 để đưa về dạng x phụ thuộc m. Chẳng hạn, trong bài này, ta giải: [ ] [ ] 2 2 1 10 x m x mm − + + + = . Nhập vào máy chức năng giải phương trình bậc hai với 1, 2.100 1 , 100 100 1 m mm ab c == − += + . Máy tính hiển thị kết quả: 12 100 ; 101 100 1 1 X mX m = = = = += + . Lưu ý: • Nếu phương trình bậc hai, ba không cho ra nghiệm đẹp theo m, mà có dạng [ ] 1,2 2 bm x a −± ∆ = thì phương pháp tính nhanh ở trên không được sử dụng, thay vào đó ta sẽ nghĩ đến cách giải khác [đó là các quy tắc dấu bậc hai có sử dụng Định lí Vi-ét, hoặc có thể sử dụng phương pháp đồ thị v.v…]. • Nếu m là số nguyên thuộc [ ] ; ab với , ab ∈ thì số các giá trị m là: 1 ba −+ . 27 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 27 Ví dụ 35. Tập hợp S tất cả các giá trị của tham số m để hàm số [ ] [ ] 3 22 1 1 23 3 y x m x m mx = −+ + + − nghịch biến trên khoảng [ ] 1;1 − là: A. . S = ∅ B. [ ] 0;1 . S = C. [ ] 1;0 . S = − D. { } 1. S = − Lời giải: Ta có: [ ] 22 21 2 yx m m m ′= − ++ + [ ] 22 2 '0 2 1 2 0 xm y x m x m m xm = + =⇔− + + + =⇔ = [xem mục Mẹo nhỏ ở phần trên]. Vì 2 mm +> , m ∀∈ nên ta có bảng biến thiên của hàm số đã cho như sau: x m 1 2 2 m y 0 0 y Qua bảng biến thiên ta nhận thấy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng [ ] 1;1 − khi và chỉ khi ta có: 11 11 2 1 21 1 mm mm m mm ≤− ≤− ≤− < ≤ + ⇔ ⇔ ⇔ =− + ≥ ≥− . Vậy: { } 1 S = − . D → Choïn Ví dụ 36. Cho hàm số 32 [] 7[] 5 y xm xm [với m là tham số]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng [ 2;1] . A. 2 . B. 5 . C. 4 . D. 3 . Lời giải: Ta có: 2 ' 3[ ] 14[ ] [ ][3 3 14]. y xm xm xm x m Khi đó phương trình ' 0 y có hai nghiệm phân biệt là 1 xm và 2 14 3 3 m x Ta thấy: 21 14 3 14 33 m x m mx − = =− + >− = . Ta có bảng biến thiên sau: x −∞ m − 2 − 1 14 3 3 m − +∞ y ′ + 0 − 0 + y −∞ +∞ 28 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 28 Hàm số nghịch biến trên khoảng [ 2;1] − 0, [ 2;1] yx ′ ⇔ ≤ ∀ ∈ − 22 11 2. 14 3 11 3 1 33 mm m m m − ≤− ≥ ⇔ ⇔ ⇔≤ ≤ − ≤≤ Do m nguyên nên { } 2;3 m ∈ . Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn đề bài. A → Choïn Ví dụ 37. Cho hàm số 3 22 4 1 1 31 3 y x mx mm x m . Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để hàm số đã cho đồng biến trên [ ] 2; +∞ ? A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. Vô số. Bình luận: • Hàm số có đạo hàm 22 21 3 y x mx mm . Ta có: 0, 2; yx 22 2 1 3 0 [*], 2; gx x mx mm x . • Với bất phương trình [*], ta không thể cô lập m về một vế, cũng không thể tìm được nghiệm đẹp trong phương trình 0 gx . Thật may mắn rằng hệ số a không phụ thuộc m , vì vậy ta vẫn sử dụng được bảng xét dấu tạm thời, kết hợp định lí Vi-ét để xử lý dạng toán này. Lời giải: Ta có: 22 21 3 y x mx mm . Nhận thấy 1 0. a Trường hợp 1: Đạo hàm không đổi dấu trên [tức là 0, y x ], khi ấy hàm số đã cho đồng biến trên , suy ra nó cũng đồng biến trên 2; . Ta có: 2 2 1 1 3 0 5 10 . 5 y m mm m m Trường hợp 2: Đạo hàm đổi dấu hai lần trên tập xác định, tức là 1 0 [1] 5 y m . Ta có bảng xét dấu tạm thời như sau [giả sử 12 x x là hai nghiệm phân biệt của 0 y ]. x −∞ 1 x 2 x 2 +∞ y ′ + 0 − 0 + y −∞ +∞ Từ bảng trên, ta có: [ ] [ ] [ ] 12 2 22 21 12 2 2 2 3 [2] 2 2.1 80 20 2 2 1 .2 3 0 m xx b m m a mm y m mm + − + + − − − < < = < ⇔ ⇔ ⇔ >− + +> ′ > + + + − > . 29 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 29 Từ [1] và [2] suy ra 1 5 m . Kết hợp cả hai trường hợp trên ta có được m . Mặt khác m nguyên âm nên có vô số giá trị m thỏa mãn đề bài. D → Choïn Ví dụ 38. Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số 32 [ 1] 4 7 yx m x x = + + ++ có độ dài khoảng nghịch biến đúng bằng 4 . 3 A. 5 . 3 m m = − = B. 1 . 3 m m = = C. 5 . 1 m m = − = D. 2 . 4 m m = = − Lời giải: Đạo hàm 2 3 2[ 1] 4 y x mx ′= + ++ . Hàm số có độ dài khoảng nghịch biến đúng bằng 2 5 0 y ′ ⇔ = có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 2 12 30 2 2 11 4 2 5 2 4 3 3 3 a mm xx a = > +− −= ⇔ ⇔ = ′ ∆ = 2 2 3 2 11 2 2 15 0 5 m mm mm m = ⇔ +− =⇔ +− =⇔ = − . A → Choïn Ví dụ 39. Cho hàm số 32 3 [ 1] 2 3 y x x m xm = −+ + − + − . Với m thuộc khoảng nào sau đây thì hàm số đã cho đồng biến trên một khoảng có độ dài lớn hơn 1? A. [ 2; ]. m ∈ − +∞ B. [ ; 2]. m ∈ −∞ − C. 5 ;. 4 m ∈ − +∞ D. 5 ; . 4 m ∈ −∞ − Lời giải: Đạo hàm: 2 3 6 1 y x x m ′= − + +− . Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 1 0 y ′ ⇔ = có hai nghiệm phân biệt thỏa 12 1 xx −> 3 0 2 9 3[ 1] 1 2 3 6 3 2 3 1 a m m a =−< +− ⇔ ⇔ > ⇔ + > ′ ∆ − > 5 4[3 6] 9 4 mm ⇔ + > ⇔ >− . Vậy 5 4 m >− thỏa mãn đề bài. C → Choïn Bài toán 7: Bài toán tham số đối với những dạng hàm số khác. Phương pháp: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm [] y fx . Bước 2: Điều kiện đơn điệu: 30 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 30 Hàm số đồng biến trên 0, K y xK . Hàm số nghịch biến trên 0, K y xK . Bước 3: Biến đổi theo dạng [ ], m gx x K [hoặc [ ], m gx x K ]. Lập bảng biến thiên của hàm số [] gx với mọi xK . Dựa vào bảng biến thiên và kết luận điều kiện cho tham số . m Ví dụ 40. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số 4 13 4 2 y x mx x = +− đồng biến trên khoảng [ ] 0; +∞ . A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. Lời giải: Ta có: 3 2 3 2 y x m x ′= ++ Hàm số đã cho đồng biến trên [ ] 0; +∞ [ ] 0, 0; yx ′ ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞ [ ] 3 2 3 0, 0; 2 x m x x ⇔ + + ≥ ∀ ∈ +∞ [ ] 3 2 3 , 0; 2 x mx x ⇔ + ≥ − ∀ ∈ +∞ . [*] Xét hàm số [ ] 3 2 3 2 f x x x = + trên [ ] 0; +∞ . Ta có: [ ] [ ] 5 2 33 31 3 3 x fx x x x − ′ = − = ; [ ] 01 fx x ′ = ⇔= [nhận]. Bảng biến thiên: x −∞ 0 1 +∞ [ ] fx ′ − 0 + [ ] f x +∞ 5 2 +∞ Dựa vào bảng biến thiên, ta có [ ] 55 * 22 m m − ⇔− ≤ ⇔ ≥ ; ta lại có m là số nguyên âm { } 2; 1 m ⇒ ∈− − . Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn. A → Choïn Ví dụ 41. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số [ ] 2 1 52 3 1 y x mx x = +− − − + đồng biến trên [ ] 1; − +∞ . A. m ∀∈ . B. 6 m ≤ . C. 3 m ≥− . D. 3 m ≤ . Lời giải: 31 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 31 Tập xác định: { } \1 D = − . Ta có: [ ] 2 1 2 52 1 yx m x ′= +− + + . Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng [ ] 1; − +∞ khi và chỉ khi 0 y ′ ≥ , [ ] 1; x ∀ ∈ − +∞ [ ] 2 1 2 52 0 1 xm x ⇔ +− + ≥ + , [ ] 1; x ∀ ∈ − +∞ [ ] 2 1 25 2 1 xm x ⇔ ++ ≥ + , [ ] 1; x ∀ ∈ − +∞ . Ta xét hàm số [ ] [ ] 2 1 25 1 gx x x = ++ + trên khoảng [ ] 1; − +∞ . Đạo hàm: [ ] [ ] [ ] 32 33 2 26 6 2 11 xx x gx xx ++ ′=−= ++ ; [ ] 32 02 6 6 0 0 gx x x x x ′ = ⇒ + + = ⇔= . Bảng biến thiên: x −∞ 1 − 0 +∞ [ ] gx ′ − 0 + [ ] gx +∞ 6 +∞ Ta có [ ] [ ] 2 , 1; 2 6 m gx x m ≤ ∀ ∈ − +∞ ⇔ ≤ 3 m ⇔≤ . A → Choïn Ví dụ 42. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau đồng biến trên : [ ] [ ] 2 5 3 2 2 11 10 20 53 f x m x mx x m m x = − + − − − . Tổng giá trị của tất cả các phần tử thuộc S bằng A. 5 2 . B. 2 − . C. 1 2 . D. 3 2 . Lời giải: Ta có [ ] [ ] 24 2 2 20 20 f x m x mx x m m ′ = − + − − − [ ] [ ] [ ] 24 2 1 1 20 1 m x mx x = −− −+ + [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 1 1 1 1 20 g x x m x x mx = + − + − − + [ ] [ ] 1. x gx = + . Hàm số đồng biến trên [ ] 0, fx x ′ ⇔ ≥ ∀∈ suy ra [ ] 0 gx = có nghiệm 1 x = − . Do đó: [ ] 2 2 1 0 4 2 20 0 5 2 m g mm m = − − = ⇔− + + = ⇔ = . Với 2 m = − thì [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 1 41 1 21 20 fx x x x x ′ = + − + + − + [ ] [ ] [ ] [ ] 2 32 2 1 4 4 6 14 1 4 8 14 x x x x x xx = + − + + = + −+ . 32 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 32 Nhận thấy: [ ] [ ] 2 2 10 ,0 4 80 14 0 x x fx x xx + ≥ ′ ∀∈ ⇒ ≥ ∀∈ − +> 2 m ⇒= − thỏa mãn. Với 5 2 m = thì [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 25 5 1 1 1 1 20 42 fx x x x x ′ = + − + − − + [ ] [ ] [ ] 2 32 2 25 25 15 65 5 1 1 5 10 13 4 4 4 44 x x x x x x x =+ − + + = + −+ . Nhận thấy: [ ] [ ] 2 2 10 , 0, 5 10 13 0 x x fx x x x + ≥ ′ ∀∈ ⇒ ≥ ∀∈ − + > 5 2 m ⇒= thỏa mãn. Vậy tổng các phần tử thuộc S bằng 51 2 22 −+ = . C → Choïn Ví dụ 43. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số [ ] 2018;2018 m∈− để hàm số 2 11 y x mx = +− − đồng biến trên [ ] ; −∞ +∞ . A. 2018 . B. 2019 . C. 2020 . D. 2017 . Lời giải: Tập xác định: D = ; đạo hàm: 2 1 x ym x ′ = − + . Ta có: 2 0, 1 x y mx x ′= − ≥ ∀∈ + 2 , 1 x mx x ⇔ ≤ ∀∈ + . [*] Xét hàm [ ] 2 ; 1 x gx x = + [ ] [ ] 22 1 0, 11 gx x xx ′ = > ∀∈ ++ . Mặt khác: [ ] [ ] lim 1 lim 1 x x gx gx → +∞ → −∞ = = − . Bảng biến thiên: x −∞ +∞ [ ] gx ′ + [ ] gx 1 1 Vậy [ ] *1 m ⇔ ≤− , mà m nguyên thuộc [ ] 2018;2018 − suy ra { } 2018; 2017;...; 1 m∈− − − Do đó có tất cả: [ ] 1 2018 1 2018 − −− + = giá trị m thỏa mãn. A → Choïn 33 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 33 Ví dụ 44. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 2 [ 3]sin tan ym x x =− − nghịch biến trên ;. 22 ππ − A. 5 . B. 1. C. 3 . D. 4 . Lời giải: Ta có: 2 2 1 [ 3]cos . cos ym x x ′=−− Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ; 22 ππ − 2 2 1 [ 3]cos 0, ; cos 2 2 mx x x ππ ⇔ − − ≤ ∀∈ − 2 3 1 3, ; cos 2 2 mx x ππ ⇔ − ≤ ∀∈ − . Ta biết rằng 3 1 0 cos 1, ; 1, ; 22 cos 22 xx x x ππ ππ < ≤ ∀∈ − ⇒ ≥ ∀∈ − . Do đó yêu cầu đề bài 2 3 1 2 2. mm ⇔ − ≤ ⇔− ≤ ≤ Vì m nguyên nên { } 2; 1;0;1;2 m∈− − . A → Choïn Ví dụ 45. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 2 sin cos mx y x − = nghịch biến trên khoảng 0; 6 π ? A.1. B.0. C.3. D.Vô số. Lời giải: Hàm số 2 22 sin sin sin cos 1 sin sin 1 mx mx x m y x xx −− − = = = − − Đạo hàm của hàm số đã cho là tích hai vế phải của [1] và [2]. Đặt sin cos t x t x ′ = ⇒ = [1] [ ] 2 2 2 21 .cos 1 t mt y x t + − + − ′ = − [ ] [ ] [ ] 2 2 2 2 21 1 1 t m t mt ft f t t t − − + − ′ = ⇒= − − [2] Hàm số nghịch biến trên 0; 0, 0; 66 yx ππ ′ ⇔ ≤ ∀∈ ⇔ 2 1 2 1 0, 0; . 2 t mt t − + − ≤ ∀∈ 2 10 0 11 0 10 a m m −< < ⇔ ⇔ ⇔− ≤ ≤ ′ ∆ ≤ − ≤ . Vì m nguyên nên { } 1;0;1 m∈− . A → Choïn 34 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 34 Ví dụ 46. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số [ ] 32 21 f x x mx m = − ++ đồng biến trên khoảng [ ] 1;2 . A. 3 2 2 m −≤ ≤ . B. 3 0 2 m ≤≤ . C. 01 m ≤≤ . D. 3 0 2 m ≤< . Lời giải: Tập xác định: . D = Áp dụng công thức [ ] [ ] [ ] 2 2 2 . 2 u uu u u u u ′ ′ ′ ′ = = = . Ta có: [ ] [ ] [ ] [ ] 32 2 32 2 13 2 0, 1;2 21 x mx m x mx fx x x mx m − ++ − ′ = ≥ ∀∈ − ++ . Trường hợp 1: [ ] [ ] [ ] 32 2 2 10 , 1;2 [*] 3 2 0 g x x mx m x g x x mx = − + +≥ ∀∈ ′ = −≥ . Do [ ] 0 gx ′ ≥ nên hàm số [ ] gx đồng biến trên [ ] 1;2 , vì vậy [ ] [ ] 0 10 gx g ≥ ⇔ ≥ . Từ lý luận trên, ta có: [ ] [ ] [ ] 32 22 1 1 .1 2 1 0 [*] , 1;2 , 1;2 33 32 0 22 m m g mm xx mx m x m ≥− ≥− = − + +≥ ⇔ ∀∈ ⇔ ∀∈ ⇔ ≤≤ −≥ . Trường hợp 2: [ ] [ ] [ ] 32 2 2 10 , 1;2 [**] 3 2 0 g x x mx m x g x x mx = − + +≤ ∀∈ ′ = −≤ . Xét giá trị [ ] 0 2 1;2 x = ∈ với [ ] 2 22 2 2 1 0 22 1 0 g mm = − + +≤ ⇔ +≤ [vô lý], vì vậy trường hợp này không thể xảy ra. Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng [ ] 3 1;2 2 2 m ⇔− ≤ ≤ . A → Choïn Ví dụ 47. [Chuyên Đại học Vinh – Lần 2 năm 2020] Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số 4 3 22 21 y xmx m xm =− + + +− đồng biến trên [ ] 1; . +∞ Tính tổng tất cả phần tử của S. A. 2 − . B. 1 − . C. 0 . D. 2 . Lời giải: Tập xác định: . D = Ta có: [ ] [ ] [ ] 4 3 22 3 2 2 4 3 22 2 14 3 4 0, 1; 21 x mx m x m x mx m x y x xmx m xm − + + +− − + + ′ = ≥ ∀ ∈ +∞ − + + +− . Trường hợp 1: [ ] [ ] [ ] 4 3 22 3 22 2 10 , 1; 43 4 0 g x xmx m xm x g x x mx m x =− + + + − ≥ ∀ ∈ +∞ ′ = − + + ≥ . 35 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 35 Vì [ ] lim x gx → +∞ = −∞ nên tồn tại [ ] 0 1; x ∈ +∞ để [ ] 0 0 gx < , do đó không thể có [ ] [ ] 0, 1; gx x ≥ ∀ ∈ +∞ . Vậy trường hợp 1 không thể xảy ra. Trường hợp 2: [ ] [ ] [ ] 4 3 22 3 22 2 10 , 1; 43 4 0 g x xmx m xm x g x x mx m x =− + + + − ≤ ∀ ∈ +∞ ′ = − + + ≤ . Ta thấy [ ] 0 gx ′ ≤ nên hàm [ ] gx nghịch biến [ ] 1; x ∀ ∈ +∞ , khi đó [ ] [ ] 0, 1; gx x ≤ ∀ ∈ +∞ [ ] 3 22 2 1,62 0,62 15 1 5 1 0 1 .1 2 .1 1 0 2 2 2 0 22 g m m m mm m ≈− ≈ −− −+ ≤ ⇔− + + + − ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ ≤ ≤ . Vì m nguyên nên 10 m m =− ∨ = . • Thay 1 m = − vào [ ] [ ] 0, 1; gx x ′ ≤ ∀ ∈ +∞ , ta được: [ ] 32 4 3 4 0, 1; xx x x − − + ≤ ∀ ∈ +∞ [ ] 2 4 3 4 0, 1; xx x ⇔ − − + ≤ ∀ ∈ +∞ . Điều này hoàn toàn đúng nếu ta lập bảng xét dấu cho biểu thức 2 4 34 xx − −+ . Do đó 1 m = − thỏa mãn. • Thay 0 m = vào [ ] [ ] 0, 1; gx x ′ ≤ ∀ ∈ +∞ , ta được: [ ] [ ] 3 4 0, 1; 0, 1; x x xx − ≤ ∀ ∈ +∞ ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞ [đúng]. Do đó 0 m = thỏa mãn. Vậy { } 1;0 . S = − Tổng các phần tử: 1 0 1. −+ =− B → Choïn Ví dụ 48. Cho hàm số [ ] = y f x liên tục trên và có đạo hàm [ ] [ ] [ ] 22 2 6 ′ = − −+ f x x x x x m với mọi ∈ x . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [ ] 2019;2019 − để hàm số [ ] [ ] 1 = − gx f x nghịch biến trên khoảng [ ] ;1 −∞ − ? A. 2012 . B. 2009 . C. 2011. D. 2010 . Lời giải: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 22 1 1 1 1 61 gx f x x x x x m ′′ =− − =− − −− − − − + [ ] [ ] [ ] 2 2 11 4 5 = − + + +− x x x x m . Hàm số [ ] gx nghịch biến trên khoảng [ ] ;1 −∞ − [ ] [ ] 0, 1 ′ ⇔ ≤ ∀ x và 10 +< x nên [ ] ∗⇔ 2 4 5 0, 1 + + − ≥ ∀ ∀∈ ]. [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 22 3 3 [1] 33 , 0;2 , 0;2 3 1 3 1 [2] hx u x mx x x xm x x xx m m xx ≥ + + + − ≤− ⇔ ∀∈ ⇔ ∀∈ + − ≥ ≤ + − Xét hàm [ ] 2 33 hx x x = + + [ ] , 0;2 x ∈ . Ta có: [ ] [ ] 2 3 0, 0;2 hx x x ′ = + > ∀∈ . Suy ra [ ] [ ] 2 13 hx h ∀∈ . Suy ra [ ] [ ] 01 ux u >= − . Do đó [ ] 2 1. m ⇔ ≤− Hợp nghiệm vừa tìm được, ta có: 1 13 m m ≤− ≥ . Vì m nguyên thuộc đoạn [ ] 10;20 − nên { } 10; 9;... 1;13;14;...;20 . m∈− − − Vậy có 18 giá trị m thỏa mãn. A → Choïn 37 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 37 Bài toán 1: Đánh giá các bất đẳng thức [ ] 0, ; f x x ab hoặc [] , ; f x g x x ab . Phương pháp: Bước 0: Chuyển vế để đưa bất đẳng thức về dạng [ ] [ ] 0, ; f x x ab ≥ ∀∈ . Bước 1: Tính đạo hàm [] fx ′ và chứng minh đạo hàm chỉ mang một dấu [âm hoặc dương]. Bước 2: Vận dụng tính chất đơn điệu: Nếu hàm [] fx đồng biến trên [ ] ; ab thì [ ] ; x ab ∀∈ , 0 [ ][ ][ ]. f a f x fb ≤ ≤≤ Ngược lại nếu hàm [] fx nghịch biến trên [ ] ; ab thì [ ] ; x ab ∀∈ , [ ][ ][ ] 0. f a f x fb ≥ ≥≥ Bài toán 2: Giải phương trình dạng [ ] [] fu fv với , uv D . Phương pháp: Bước 1: Nhận diện hàm đặc trưng để đưa phương trình về dạng [ ] [ ] fu f v = với , uv D ∈ . Bước 2: Chứng minh hàm đặc trưng [] ft đơn điệu trên D [ [] f t ′ luôn âm hoặc luôn dương trên D ]. Bước 3: Giải phương trình: [ ] [] [] fu fv u v f t ñôn ñieäu . Bài toán 3: Giải phương trình dạng [] [] f x gx với có nghiệm duy nhất 0 x x . Phương pháp: Bước 1: Tìm một nghiệm 0 xx = của phương trình [bằng tính nhẩm hoặc nhân lượng liên hợp v.v…]. Bước 2: Tính đạo hàm [] fx ′ và chứng minh đạo hàm chỉ mang một dấu [tức là hàm [] fx đơn điệu trên miền xác định]. Bước 3: Chứng minh hàm số [] gx là hàm hằng hoặc đơn điệu [ngược lại hàm [] fx ]. Từ đó khẳng định phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 0 . xx = Dạng toán 3 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số 38 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 38 Lời giải: Ta có: [ ] 0, fx x ′ < ∀∈ nên hàm số [ ] y f x = nghịch biến trên . Do đó: [ ] [ ] 1 1 12 1 2 2 0 ;0 ; 2 x ff x x x x − > ⇔ < ⇔ < ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ . D → Choïn Ví dụ 51. Cho 0; 2 x π ∈ . Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. tan . xx > B. tan 1. xx >+ C. tan . xx ≤ D. tan 1. xx ∀∈ . Ta có: 22 2 1 [ ] 1 1 tan 1 tan [ ] 0, 0; cos 2 fx x x fx x x π ′′ = −=+ −= ⇒ > ∀ ∈ , do đó hàm số [] fx đồng biến trên khoảng 0 2 π . Hơn nữa, [0] 0 f = . Vậy 0; 2 x π ∀∈ thì [ ] [0] 0 fx f >= . Vậy tan 0, 0; . 2 xx x π − > ∀∈ A → Choïn Ví dụ 52. Tìm tập nghiệm của bất phương trình 5 33 2 2 6 21 xx x − + −≤ − là: A. . ∅ B. 3 1; . 2 C. 3 1; . 2 D. 13 ;. 22 Lời giải: Xét hàm số [ ] 5 33 2 2 21 fx x x x = −+ − − với 13 ;. 22 x ∈ Ví dụ 50. Cho hàm [ ] y f x = số có [ ] 0 fx ′ < , x ∀∈ . Tìm tất cả các giá trị thực của x để [ ] 1 2 ff x > . A. 1 0; 2 . B. [ ] 1 ;0 ; 2 −∞ ∪ +∞ . C. 1 ; 2 −∞ . D. [ ] 1 ;0 0; 2 −∞ ∪ . 39 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 39 Ta có: [ ] [ ] 3 5 13 2 0, ; . 22 3 2 21 21 f x x x x x x ′ =− − − < ∀∈ ∈ − −− Do đó hàm [ ] fx nghịch biến trên 13 ;. 22 x ∈ Ta lại có [ ] 1 6 f = . Do đó: [ ] [ ] 1 5 33 2 2 6 13 21 22 fx f xx x x ≤ − + − ≤ ⇔ − . Vậy [ ] 2 1 6 40 3 xx ⇔ −≥ ⇔ ≥ . Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm là 2 ;2 3 S = Do đó: 2 ,2 3 ab = = suy ra 32 2 P ab =− = − . C → Choïn Ví dụ 54. Khi giải phương trình: 3 4 [ 1] 2 1 0 x xx x , ta tìm được nghiệm có dạng , ab ba + − với a, b là các số nguyên. Hãy tính 22 ab + . A. 22 13. ab += B. 22 9. ab += C. 22 41. ab += D. 22 26. ab += Nhận xét: 40 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 40 Sau khi chuyển vế: 3 4 [ 1] 2 1 xx x x += + + . Ta thử đặt 2 1 2 1 2 t t x x − = + ⇒ = . Vế phải: 2 23 11 1. . 2 2 2 t t tt VP t t − ++ = += = . Với mối liên hệ 3 3 33 3 3 4 8 2 [2 ] [2 ] 2 tt x x x x tt x x tt + + = ⇔ + = +⇔ + = + . Vậy hàm đặc trưng đã xuất hiện: 3 [] . ft t t = + Thêm vào đó 2 [ ] 3 1 0, f t t t ′ = + > ∀∈ nên việc chọn hàm đặc trưng như thế là đã phù hợp. Lời giải: Điều kiện: 1 2 x ≥− . Phương trình 33 4 [ 1] 2 1 8 2 [2 2] 2 1 xx x x x x x x + = + +⇔ + = + + [ ] [ ] 2 3 33 [2 ] [2 ] 2 1 1 2 1 [2 ] [2 ] 2 1 2 1 x x x x x x x x ⇔ += + + +⇔ += + + + [*] Chọn 3 [] ft t t = + với 0 t ≥ . Ta có 2 [ ] 3 1 0, 0 f t t t ′ = + > ∀≥ . Vậy hàm số [] ft đồng biến trên [ ] 0; +∞ . Phương trình [*] được viết: [2 ] 2 1 2 21 [ ] 0; fx f x x x f x ñoàng bieán treân 2 20 15 4 2 14 x x x x ≥ + ⇔ ⇔= += . Với định dạng 1 15 5 4 a ab x b ba = + + = = ⇒ = − . Do đó: 22 26. ab += D → Choïn Ví dụ 55. Cho phương trình: 3 3 32 3 2 2 2 31 31 2 xx x x x x − + − + = ++ + . Biết rằng phương trình trên có tập nghiệm là S . Tính tổng các phần tử của . S A. 1 . 4 B. 5. C. 1. D. 1 . 2 Lời giải: Phương trình 33 3 3 22 23 23 1 1 2 xx xx x x ⇔ −+ −+ = + + + 3 3 3 3 22 [2 31] 2 31 [ 2] 2 xx xx x x ⇔ −+ + −+ = + + + [*] Cần nhớ: Phương trình AB = được giải: 2 0 B AB AB ≥ = ⇔ = 41 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 41 Xét hàm đặc trưng: 3 [] , 2 ft t t t = + ∀≥ . Ta có 2 3 3 2 11 [ ] 1 1 0, 2 3 3 f t t t t − ′ = + = + > ∀≥ . Vậy phương trình [*] được viết: 32 32 [2 3 1] [ 2] 2 31 2 [ ] 2; f x x fx xx x f t ñoàng bieán treân 1 2 15 2 x x = − ⇔ ± = . Vậy tập nghiệm của phương trình 11 5 ; 22 S ± = − . Tổng các nghiệm của phương trình: 11 5 1 5 1 22 2 2 + − −+ + = . D → Choïn Ví dụ 56. Cho phương trình: 12 12[ 5 4 ] x x x x x + + = −+ − . Hỏi phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm thực? A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. Lời giải: Điều kiện: 0, 12 04 5, 4 xx x xx ≥ ≥− ⇔≤ ≤ ≤≤ . Ta nhận thấy 4 x = là một nghiệm của phương trình. [1] Xét vế trái: Hàm [ ] 12 fx x x x = + + ; [ ] 11 [ ] . 0, 0;4 . 2 2 12 fx x x x x x ′ = + + > ∀∈ + Dó đó hàm [] fx đồng biến trên [ ] 0;4 . [2] Xét vế phải: Hàm [ ] [ ] 12 5 4 . gx x x = −+ − [ ] 1 1 11 [ ] 12 6 0, 0;4 2 5 2 4 5 4 gx x x x xx −− ′ = + =− + < ∀∈ − − −− . Do đó hàm số [] gx nghịch biến trên [ ] 0;4 . [3] Từ [1], [2], [3] suy ra tập nghiệm của phương trình là { } 4. S = D → Choïn BÀI TẬP RÈN LUYỆN Câu 1. Cho hàm số 3 3. yx x = − Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng [ ] ; 1 −∞ − và nghịch biến trên khoảng [ ] 1; +∞ . B. Hàm số đồng biến trên khoảng [; ] −∞ +∞ . 42 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 42 C. Hàm số nghịch biến trên khoảng [ ] ; 1 −∞ − và đồng biến trên khoảng [ ] 1; +∞ . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng [ ] 1;1 − . Câu 2. Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn đồng biến trên ? A. 21 3 x y x − = + . B. 4 2 2 yx x = − . C. 32 y x = + . D. 2 21 yx x = +− . Câu 3. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên tập số thực A. sin yx = . B. 1 yx = − . C. 1 y x = . D. 3 1 yx = − . Câu 4. Hàm số 4 21 yx = + đồng biến trên khoảng nào ? A. [ ] 0; +∞ . B. 1 ; 2 −∞ − . C. 1 ; 2 − +∞ . D. [ ] ;0 −∞ . Câu 5. Các khoảng nghịch biến của hàm số 42 2x 4 y x = − + − là A. [ 1;0] − và [1; ]. +∞ B. [ ;1] −∞ và [1; ]. +∞ C. [ 1;0] − và [0;1]. D. [ ; 1] −∞ − và [0;1]. Câu 6. Cho hàm số 1 2 x y x − = + . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? A. Hàm số đồng biến trên . B. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. C. Hàm số đồng biến trên \{ 2} − . D. Hàm số đồng biến trên từng khoảng của miền xác định. Câu 7. Cho hàm số 1 1 x y x + = − . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên . B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng [ ] ;1 −∞ và [ ] 1; +∞ . C. Hàm số nghịch biến trên { } \1 . D. Hàm số đồng biến trên khoảng [ ] ;1 −∞ và nghịch biến trên khoảng [ ] 1; +∞ . Câu 8. Cho hàm số 32 21 yx x x = − ++ . Khẳng định nào sau đây đúng? 43 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 43 A. Hàm số nghịch biến trên khoảng [ ] 1; +∞ . B. Hàm số đồng biến trên khoảng 1 ;1 3 . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1 ;1 3 . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1 ; 3 −∞ . Câu 9. Cho hàm số 2 3 y xx = − . Hàm số đồng biến trên khoảng nào? A. 3 0; 2 . B. [ ] 0;3 . C. 3 ;3 2 . D. 3 ; 2 −∞ . Câu 10. Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm trên là [ ] [ ] 2 1 f x xx ′ = − . Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng A. [ ] 1; +∞ . B. [ ] ; −∞ +∞ . C. [ ] 0;1 . D. [ ] ;1 −∞ . Câu 11. Cho hàm số [ ] f x có đạo hàm [ ] [ ] [ ] [ ] 23 1 1 2 . fx x x x ′ =+ −− Hàm số [ ] f x đồng biến trên khoảng nào, trong các khoảng dưới đây? A. [ ] 1;1 − . B. [ ] 1;2 . C. [ ] ; 1 −∞ − . D. [ ] 2; +∞ . Câu 12. Cho hàm số [ ] y f x = xác định trên khoảng [ ] 0; 3 có tính chất [ ] [ ] 0, 0;3 fx x ≥ ∀∈ ′ và [ ] [ ] 0, 1;2 fx x = ∀∈ ′ . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau: A. Hàm số [ ] f x đồng biến trên khoảng [ ] 0;2 . B. Hàm số [ ] f x có giá trị không đổi trên khoảng [ ] 1;2 . C. Hàm số [ ] f x đồng biến trên khoảng [ ] 1;3 . D. Hàm số [ ] f x đồng biến trên khoảng [ ] 0;3 . Câu 13. Cho hàm số [ ] y f x = liên tục trên và có đạo hàm [ ] [ ] [ ] [ ] 2018 2019 21 2 fx x x x ′ =+− − . Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại điểm 1 x = và đạt cực tiểu tại các điểm 2 x = ± . B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng [ ] 1;2 và [ ] 2; +∞ . C. Hàm số có ba điểm cực trị. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng [ ] 2;2 − . Câu 14. Hàm số 2 1 x y x = + đồng biến trên khoảng nào sau đây? 44 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 44 A. [ ] ; 1 −∞ − . B. [ ] 1;1 − . C. [ ] ; −∞ +∞ . D. [ ] 0; +∞ . Câu 15. Hàm số 32 1 [2 15] 7 3 y x mx m x = − + + + đồng biến trên khi và chỉ khi A. 35 m −≤ ≤ . B. 5 3 m m ≥ ≤− . C. 35 m −< < . D. 5 3 m m > ≥ D. 0. ab ≥ Câu 23. Cho hàm số [ ] y f x = có bảng biến thiên như hình vẽ sau 45 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 45 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng [ ] 1;3 − . B. Hàm số đồng biến trên khoảng [ ] ;2 −∞ . C. Hàm số nghịch biến trên khoảng [ ] 2;1 − . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng [ ] 1;2 . Câu 24. Cho hàm số [ ] y f x = có bảng biến thiên như sau: x −∞ 2 − 0 2 +∞ [] fx ′ − 0 + 0 − 0 + [] fx +∞ 2 − 2 2 − +∞ Hàm số [ ] y f x = đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. [ ] 2; − +∞ . B. [ ] ; 2 −∞ − . C. [ ] 1;0 − . D. [ ] 2;2 − . Câu 25. Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số nào? x 2 y y 1 1 A. 1 2 x y x + = − . B. 3 2 x y x + = + . C. 2 1 2 x y x + = − . D. 1 22 x y x − = + . Câu 26. Cho hàm số [ ] y f x = có bảng biến thiên như hình bên.Hàm số [ ] 2018. y f x = − đồng biến trên khoảng nào dưới đây? x 1 y y 0 0 A. [ ] ;0 . −∞ B. [ ] 1; . +∞ C. [ ] 0; . +∞ D. [ ] ;1 . −∞ 46 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 46 Câu 27. Cho hàm số [] y fx = có bảng biến thiên như sau Hàm số [] y fx = đồng biến trên khoảng nào dưới đây A. [ ;0] −∞ . B. [0;2]. C. [ 2;0] − . D. [2; ] +∞ . Câu 28. Tìm m để hàm số [1 ] 8 y mx =− + nghịch biến trên . A. 1 m ≥ . B. 1 m > . C. 1 m < . D. 1 m ≠ . Câu 29. Tìm m để hàm số 3 y x mx = −+ nghịch biến trên . A. 0 m ≤ . B. 0 m > . C. 0 m < . D. 0 m ≥ . Câu 30. Cho hàm số [ ] 32 49 5 y x mx m x = −− + + + [với m là tham số]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên ? A. 0 . B. 6 . C. 5 . D. 7 . Câu 31. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 32 1 2 45 3 y x mx x = − +− đồng biến trên . A. 11 m −≤ ≤ . B. 11 m −< < . C. 01 m ≤≤ . D. 01 m . Câu 51. Giá trị của m để hàm số cot 2 cot x y xm − = − nghịch biến trên ; 42 ππ là 49 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 49 A. 0 12 m m ≤ ≤< . B. 12 m ≤< . C. 0 m ≤ . D. 2 m > . Câu 52. Tìm m để hàm số cos 2 cos − = − x y xm đồng biến trên khoảng 0; 2 π A. 2 2 ≥ ≤ − m m B. 2 > m C. 0 12 ≤ ≤< m m D. 11 −< < m Câu 53. Tìm m để hàm số 2cot 1 cot x y x m + = + đồng biến trên khoảng ; 42 ππ ? A. [ ] ; 2 m ∈ −∞ − . B. [ ] 1 ; 1 0; 2 m ∈ −∞ − ∪ . C. [ ] 2; m ∈ − +∞ . D. 1 ; 2 m ∈ +∞ . Câu 54. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 32 sin 3cos sin 1 y x xm x = − − − đồng biến trên 3 ; 2 π π A. 3 m ≥ . B. 0 m ≥ . C. 3 m ≤ . D. 0 m ≤ . Câu 55. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số [ ] 3 22 4 2 2 2 3 21 3 sin cos sin y x xm m x = + − + − nghịch biến trên khoảng 0 4 ; π . A. 35 2 m −− ≤ hoặc 35 2 . m −+ ≥ B. 3 m ≤− hoặc 0. m ≥ C. 30. m − ≤ ≤ D. 35 3 5 22 . m −− −+ ≤≤ Câu 56. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số [ ] [ ] 3 2 1 1 34 3 y x m x m x = − +− ++ − đồng biến trên khoảng [ ] 0;3 . A. 1 7 m ≥ B. 4 7 m ≥ C. 8 7 m ≥ D. 12 7 m ≥ Câu 57. Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm sô [ ] [ ] 32 2 3 32 5 = + − − + + fx x x m m x đồng biến trên khoảng [ ] 0;2 . 50 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 50 A. 1, 2 m m B. 12 ∀∈ . Hàm số [ ] 2 yf x x = − + đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? A. 5 2; 2 . B. [ ] ;1 −∞ . C. 3 1; 2 . D. [ ] 0; 1 . Câu 64. Cho hàm số [ ] y f x = xác định trên và có đạo hàm [ ] ' y fx = thỏa mãn [ ] [ ] [ ] [ ] ' 1 2 2019 f x x x gx =−+ + trong đó [ ] 0, . gx x > ∀∈ Hàm số [ ] 1 2019 2018 yf x x = − + + nghịch biến trên khoảng nào? A. [ ] 0;3 . B. [ ] ;3 −∞ . C. [ ] 1; +∞ . D. [ ] 3; +∞ . Câu 65. Cho hàm số [ ] f x . Hàm số [ ] y fx ′ = có bảng xét dấu như sau 51 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 51 Hàm số [ ] 2 2 y fx x = + nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. [ ] 0;1 . B. [ ] 2; 1 −− . C. [ ] 2;1 − . D. [ ] 4; 3 −− . Câu 66. Cho hàm số [ ] ' y fx = có đồ thị như hình vẽ x −∞ 1 2 +∞ [] fx ′ + 0 − 0 + Hàm số [ ] 2 2 yf x = − đồng biến trên khoảng nào dưới đây A. [ ] ;0 −∞ . B. [ ] 0;1 . C. [ ] 1;2 . D. [ ] 0; +∞ . Câu 67. Cho hàm số y fx . Biết đồ thị hàm số y fx có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số 2 3 2018 yf x đồng biến trên khoảng nào dưới đây? x −∞ 6 − 1 − 2 +∞ [] fx ′ − 0 + 0 − 0 + A. 1; 0 B. 2; 3 C. 2; 1 D. 0; 1 Câu 68. Cho hàm số [ ] y f x = . Đồ thị hàm số [ ] ' y fx = như hình bên dưới. Hàm số [ ] [ ] 3 gx f x = − đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau? x −∞ 1 − 1 4 +∞ [] fx ′ − 0 + 0 − 0 + A. [ ] 4;7 . B. [ ] 2;3 . C. [ ] ; 1 −∞ − . D. [ ] 1;2 − . Câu 69. Cho hàm số [ ] y f x = có đạo hàm liên tục trên . Biết hàm số [ ] y fx ′ = có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên [ ] 5;5 m∈− để hàm số [ ] [ ] gx f x m = + nghịch biến trên khoảng [ ] 1;2 . Hỏi S có bao nhiêu phần tử? x −∞ 1 − 1 3 +∞ [] fx ′ − 0 + 0 − 0 + A. 4 . B. 3 . C. 6 . D. 5 . Câu 70. Cho hàm số [ ] f x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau 52 PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Hoàng Xuân Nhà 52 x −∞ 1 2 3 4 +∞ [ ] fx ′ − 0 + 0 + 0 − 0 + Hàm số [ ] 3 32 3 y f x x x = + − + đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. [ ] 1; . +∞ B. [ ] ; 1. −∞ − C. [ ] 1;0 . − D. [ ] 0;2 . ĐÁP ÁN BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1D 2C 3D 4A 5A 6D 7B 8C 9A 10A 11B 12B 13D 14B 15A 16C 17C 18B 19D 20A 21C 22C 23D 24C 25A 26B 27B 28B 29A 30D 31A 32B 33B 34D 35C 36D 37A 38D 39C 40A 41C 42A 43C 44B 45C 46C 47A 48B 49C 50C 51A 52C 53B 54B 55B 56D 57D 58D 59D 60C 61A 62C 63A 64A 65B 66B 67A 68D 69D 70C