Toán lớp 8 những hằng đẳng thức đáng nhớ tiếp

Sách giải toán 8 Bài 4: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp) giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 8 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 4 trang 13: Tính (a + b)(a + b)2 (với a, b là hai số tùy ý).

Lời giải

(a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2 )

\= a(a2 + 2ab + b2 ) + b(a2 + 2ab + b2 )

\= a3 + 2a2 b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3

\= a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 4 trang 13: Phát biểu hằng đẳng thức (4) bằng lời.

Lời giải

Lập phương của tổng hai biểu thức bằng tổng của lập phương biểu thức thứ nhất, ba lần tích của bình phương biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai, ba lần tích của biểu thức thứ nhất và bình phương biểu thức thứ hai và lập phương biểu thức thứ hai.

Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 4 trang 13: Tính [a + (-b)]3 (với a, b là hai số tùy ý).

Lời giải

Áp dụng hằng đẳng thức (4) ta có:

[a + (-b)]3 = a3 + 3a2 (-b) + 3a(-b)2 + (-b)3

\= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Trả lời câu hỏi Toán 8 Tập 1 Bài 4 trang 13: Phát biểu hằng đẳng thức (5) bằng lời.

Lời giải

Lập phương của hiệu hai biểu thức bằng lập phương biểu thức thứ nhất trừ đi ba lần tích của bình phương biểu thức thứ nhất và biểu thức thứ hai, sau đó cộng ba lần tích của biểu thức thứ nhất và bình phương biểu thức thứ hai rồi trừ đi lập phương biểu thức thứ hai.

Bài 26 (trang 14 SGK Toán 8 Tập 1): Tính:

Lời giải:

1. (2x2 + 3y)3 = (2x2)3 + 3.(2x2)2.3y + 3.2x2.(3y)2 + (3y)3

(Áp dụng HĐT (4) với A = 2x, B = 3y)

\= 8x6 + 3.4x4.3y + 3.2x2.9y2 + 27y3

\= 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3

Các bài giải Toán 8 Bài 4 khác

Bài 27 (trang 14 SGK Toán 8 Tập 1): Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu:

1. –x3 + 3x2 – 3x + 1

2. 8 – 12x + 6x2 – x3

Lời giải:

1. –x3 + 3x2 – 3x + 1

\= (–x)3 + 3.(–x)2.1 + 3.(–x).1 + 13

\= (–x + 1)3 (Áp dụng HĐT (4) với A = –x và B = 1)

2. 8 – 12x + 6x2 – x3

\= 23 – 3.22.x + 3.2.x2 – x3

\= (2 – x)3 (Áp dụng HĐT (5) với A = 2 và B = x)

Các bài giải Toán 8 Bài 4 khác

Bài 28 (trang 14 SGK Toán 8 Tập 1): Tính giá trị của biểu thức:

1. x3 + 12x2 + 48x + 64 tại x = 6

2. x3 – 6x2 + 12x – 8 tại x = 22

Lời giải:

1. x3 + 12x2 + 48x + 64 = x3 + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43 = (x + 4)3

Tại x = 6, giá trị biểu thức bằng (6 + 4)3 = 103 = 1000.

2. x3 – 6x2 + 12x – 8 = x3 – 3.x2.2 + 3.x.22 – 23 = (x – 2)3

Tại x = 22, giá trị biểu thức bằng (22 – 2)3 = 203 = 8000.

Các bài giải Toán 8 Bài 4 khác

Bài 29 (trang 14 SGK Toán 8 Tập 1): Đố. Đức tính đáng quý.

Hãy viết mỗi biểu thức sau dưới dạng bình phương hoặc lập phương của một tống hoặc một hiệu, rồi điền chữ dòng với biểu thức đó vào bảng cho thích hợp. Sau khi thêm dấu, em sẽ tìm ra một trong những đức tính quý báu của con người.

x3 – 3x2 + 3x – 1

16 + 8x + x2

3x2 + 3x + 1 + x3

1 – 2y + y2

N

U

H

Â

(x – 1)3 (x + 1)3 (y – 1)2 (x – 1)3 (1 + x)3 (1 – y)2 (x + 4)2

Lời giải:

Ta có:

N x3 – 3x2 + 3x – 1 = x3 – 3.x2.1 + 3.x.12 – 13 = (x – 1)3

U 16 + 8x + x2 = 42 + 2.4.x + x2 = (4 + x)2 = (x + 4)2

H 3x2 + 3x + 1 + x3 = x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3 = (1 + x)3

 1 – 2y + y2 = 12 – 2.1.y + y2 = (1 – y)2 = (y – 1)2

Điền vào bảng như sau:

(x – 1)3 (x + 1)3 (y – 1)2 (x – 1)3 (1 + x)3 (1 – y)2 (x + 4)2 N H Â N H Â U

Vậy: Đức tính đáng quý là “NHÂN HẬU”

(Chú ý: Bạn có thể làm theo cách ngược lại, tức là khai triển các biểu thức (x – 1)3, (x + 1)3, (y – 1)2, (x + 4)2 … để tìm xem kết quả ứng với chữ nào và điền vào bảng.)

Chúng ta cùng nhau tìm hiểu về các hằng đẳng thức đáng nhớ được học trong chương trình Toán lớp 8 nhé!

Bình phương của một tổng

Muốn tính bình phương của một tổng, ta lấy bình phương của số thứ nhất cộng với hai lần tích của cả hai số và cộng với bình phương của số thứ hai. Nếu gọi số thứ nhất là A, số thứ 2 là B thì ta có công thức sau:

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

Bình phương của một hiệu

Bình phương của một hiệu cũng là công thức các em cần nhớ trong bài học ngày hôm nay. Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ đi hai lần tích của hai số và cộng với bình phương của số thứ hai. Chúng ta có công thức sau:

(A + B)2 = A2 + 2AB + B2

Hiệu hai bình phương

Hiệu hai bình phương của hai số sẽ bằng hiệu của hai số nhân với tổng của hai số đó. Công thức của hiệu hai bình phương là:

A2 – B2 = (A – B)(A + B)

Lập phương của một tổng

Lập phương của một tổng được tính bằng công thức sau:

(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

Từ công thức trên, ta có thể thấy, lập phương của một tổng bằng lập phương số thứ nhất cộng với ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng tiếp với ba lần tích của số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai, sau đó cộng với lập phương của số thứ hai.

Lập phương của một hiệu

Lập phương của một hiệu được tính bằng công thức sau:

(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3

Ta thấy, lập phương của một hiệu bằng lập phương của số thứ nhất trừ cho ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân với số thứ hai, cộng với ba lần tích của số thứ nhất và bình phương số thứ hai, sau đó trừ đi lập phương của số thứ hai.

Tổng hai lập phương

Hằng đẳng thức đáng nhớ tiếp theo mà các em cần nắm chắc đó chính là tổng hai lập phương. Công thức tính tổng hai lập phương như sau:

A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

Công thức này giải thích như sau: Tổng của hai lập phương sẽ bằng tích của số thứ nhất cộng với số thứ hai nhân với bình phương số thứ nhất trừ cho tích số thứ nhất và số thứ hai, sau đó cộng với bình phương của số thứ hai.

Hiệu hai lập phương

Hiệu hai lập phương của hai số sẽ bằng hiệu của số thứ nhất trừ đi số thứ hai, sau đó nhân với bình phương thiếu của tổng số thứ nhất và số thứ hai. Công thức hiệu hai lập phương như sau:

A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

Lý thuyết cơ bản về những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài luyện tập

Bài 1. Thực hiện phép tính:

1. (2x – 1)3

2. (x + 4)3

3. (x – 2)2

4. (2x + 1)2

5. x3 + 64

6. 8x3 – 27

Lời giải:

1. (2x – 1)3

\= (2x)3 – 3.(2x)2.1 + 3.2x.12 – 13

\= 8x3 -12x2 + 6x – 1.

2. (x + 4)3

\= x3 + 3.x2.4 + 3.x.42 + 43

\= x3 + 12x2 + 48x + 64.

3. (x – 2)2

\= x2 – 2.x.2 + 22

\= x2 – 4x + 4.

4. (2x + 1)2

\= (2x)2 + 2.2x.1 + 12

\= 4x2 + 4x + 1.

5. x3 + 64

\= x3 + 43

\= (x + 4)(x2 + 4x + 42)

\= (x + 4)(x2 + 4x + 16).

6. 8x3 – 27

\= (2x)3 – 33

\= (2x – 3)[(2x)2 + 2x.3 + 32]

\= (2x – 3)(4x2 + 6x + 9).

Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức A, B dưới đây:

1. A = x3 + 6x2 + 12x + 8 tại x = 48

2. B = x3 – 3x2 + 3x – 1 tại x = 101

Lời giải:

1. A = x3 + 6x2 + 12x + 8 tại x = 48

Ta có: A = A = x3 + 6x2 + 12x + 8

\= x3 + 3.x2.2 + 3.x.22 + 23

\= (x + 2)3

Với x = 48 ta có giá trị của biểu thức A là:

A = (48 + 3)3 = 503 = 125000

2. B = x3 – 3x2 + 3x – 1 tại x = 101

Ta có: B = x3 – 3x2 + 3x – 1

\= x3 – 3. x2.1 + 3.x.12 – 13

\= (x – 1)3

Với x = 101 ta có giá trị biểu thức B là:

B = (101 – 1)3 = 1003 = 1000000.

Bài 3. Tính nhanh

1. 222

2. 992

3. 1993

4. 1013

5. 19.21

Lời giải:

1. 222

\= (20 + 2)2

\= 202 + 2.20.2 + 22

\= 400 + 80 + 4

\= 484.

2. 992

\= (100 – 1)2

\= 1002 – 2.100.1 + 12

\= 10000 – 200 + 1

\= 9801.

3. 1993

\= (200 -1)3

\= 2003 – 3.2002.1 + 3.200.12 – 13

\= 8000000 – 120000 + 600 – 1

\= 7880599.

4. 1013

\= (100 + 1)3

\= 1003 + 3.1002.1 + 3.100.12 + 13

\= 1000000 + 30000 + 300 + 1

\= 1030301.

5. 19.21

\= (20 – 1)(20 + 1)

\= 202 – 12

\= 400 – 1

\= 399.

Bài 4. Rút gọn biểu thức:

1. A = (3x – 1)3 – 4x(x – 2) + (2x – 1)2

2. B = (x + 1)3 – 2x2(x – 2) + x3

Lời giải:

1. A = (3x – 1)3 – 4x(x – 2) + (2x – 1)2

\= (3x)3 – 3.(3x)2.1 + 3.3x.12 – 13 – 4x2 + 8x + 4x2 – 4x + 1

\= 27x3 – 27x2 + 9x -1 + 4x + 1

\= 27x3 – 27x2 + 13x

2. B = (x + 1)3 – 2x2(x – 2) + x3

\= x3 + 3x2 + 3x + 1 – 2x3 + 4x2 + x3

\= 7x2 + 3x + 1.

Bài luyện tập

Lưu ý khi làm bài tập về đẳng thức và hằng đẳng thức

Vận dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để giải các dạng bài tập là một trong những nội dung kiến thức quan trọng không chỉ trong chương trình Toán lớp 8 mà chúng còn được sử dụng thường xuyên ở các cấp học sau này. Chính vì thế, các em cần hiểu sâu và nắm chắc những kiến thức cơ bản mà bài viết cung cấp bên trên. Bên cạnh đó, cũng cần chăm chỉ luyện tập các dạng bài tập cơ bản để ghi nhớ kiến thức lâu hơn, cũng như tăng khả năng tư duy cho bản thân.

Lưu ý khi làm bài tập về đẳng thức và hằng đẳng thức

Tham khảo thêm:

Tạm kết

Bài viết trên đã tổng hợp những hằng đẳng thức đáng nhớ trong chương trình toán lớp 8. Đây là kiến thức khá quan trọng, sẽ còn theo các em lên các lớp cao hơn. Do vậy, các em cần nắm vững kiến thức cơ bản để có thể thành thạo và học tốt chương trình Toán ở các cấp học lớn hơn. Chúc các em luôn học tốt và hãy thường xuyên theo dõi những bài viết mới của Cmath nhé!