Ví dụ thực tế về hệ phương trình tuyến tính

các phương trình tuyến tính chúng là các phương trình đa thức với một hoặc một số ẩn số. Trong trường hợp này, các ẩn số không được nâng lên thành các lũy thừa, chúng cũng không được nhân với nhau (trong trường hợp này người ta nói rằng phương trình là bậc 1 hoặc bậc 1).

Một phương trình là một đẳng thức toán học trong đó có một hoặc nhiều phần tử chưa biết mà chúng ta sẽ gọi là ẩn số hoặc ẩn số trong trường hợp có nhiều hơn một. Để giải phương trình này, cần phải tìm ra giá trị của ẩn số.

Một phương trình tuyến tính có cấu trúc sau:

một0· 1 + a1· X1+ một2· X2+... + an· Xn= b

Ở đâu0, một1, một2,..., mộtn là những số thực mà chúng ta biết giá trị của chúng và được gọi là hệ số, b cũng là một số thực được biết đến được gọi là số hạng độc lập. Và cuối cùng họ là X1, X2,..., Xn đó là những gì được gọi là ẩn số. Đây là các biến có giá trị không xác định.

Một hệ phương trình tuyến tính là một tập hợp các phương trình tuyến tính trong đó giá trị của ẩn số là giống nhau trong mỗi phương trình.

Về mặt logic, cách giải quyết một hệ phương trình tuyến tính là gán giá trị cho ẩn số, để có thể xác minh đẳng thức. Điều đó có nghĩa là, các ẩn số phải được tính toán để tất cả các phương trình của hệ thống được thực hiện đồng thời. Chúng tôi trình bày một hệ phương trình tuyến tính như sau

một0· 1 + a1· X1 + một2· X2 +... + an· Xn = an + 1

b0· 1 + b1· X1 + b2· X2 +... + bn· Xn = bn + 1

c0· 1 + c1· X1 + c2· X2 +... + cn· Xn = cn + 1

... .

d0· 1 + d1· X1 + d2· X2 +... + Dn· Xn = dn + 1

 nơi một0, một1,..., mộtn,b0,b1,..., bn ,c0 ,c1,..., cn vv chúng tôi số thực và những điều chưa biết để giải quyết là X0,..., Xn ,Xn + 1.

Mỗi phương trình tuyến tính đại diện cho một dòng và do đó một hệ phương trình của N phương trình tuyến tính đại diện cho N thẳng được vẽ trong không gian.

Tùy thuộc vào số lượng ẩn số mà mỗi phương trình tuyến tính có, đường biểu diễn phương trình đã nói sẽ được biểu diễn theo một chiều khác nhau, nghĩa là một phương trình có hai ẩn số (ví dụ: 2 · X1 + X2 = 0) biểu thị một dòng trong không gian hai chiều, một phương trình có ba ẩn số (ví dụ 2 · X1 + X2 - 5 · X3 = 10) sẽ được biểu diễn trong không gian ba chiều, v.v..

Khi giải hệ phương trình, các giá trị của X0,..., Xn ,Xn + 1 xảy ra là các điểm cắt giữa các dòng.

Bằng cách giải một hệ phương trình, chúng ta có thể đi đến những kết luận khác nhau. Tùy thuộc vào loại kết quả mà chúng tôi thu được, chúng tôi có thể phân biệt giữa 3 loại hệ phương trình tuyến tính:

1- Khả năng tương thích không xác định

Mặc dù nghe có vẻ như một trò đùa, nhưng có thể khi cố gắng giải hệ phương trình, chúng ta sẽ đi đến một sự rõ ràng về kiểu 0 = 0.

Loại tình huống này xảy ra khi có các giải pháp vô hạn cho hệ phương trình, và điều này xảy ra khi nó chỉ ra rằng trong hệ phương trình của chúng ta, các phương trình đại diện cho cùng một dòng. Chúng ta có thể thấy nó bằng đồ họa:

Là một hệ phương trình, chúng tôi thực hiện:

Bằng cách có 2 phương trình với 2 ẩn số để giải, chúng ta có thể biểu diễn các đường thẳng trong mặt phẳng hai chiều

Như chúng ta có thể thấy các đường thẳng giống nhau, do đó tất cả các điểm của phương trình thứ nhất trùng với các phương trình thứ hai, do đó, nó có nhiều điểm cắt như các điểm mà đường thẳng có, đó là các điểm vô hạn.

2- Không tương thích

Khi đọc tên chúng ta có thể tưởng tượng rằng hệ phương trình tiếp theo của chúng ta sẽ không có lời giải.

Nếu chúng ta cố gắng giải, ví dụ, hệ phương trình này

Về mặt đồ họa, nó sẽ là:

Nếu chúng ta nhân tất cả các số hạng của phương trình thứ hai, chúng ta thu được X + Y = 1 bằng 2 · X + 2 · Y = 2. Và nếu biểu thức cuối cùng này được trừ khỏi phương trình đầu tiên, chúng ta thu được

2 · X-2 · X + 2 · Y -2 · Y = 3-2

Hoặc những gì giống nhau

0 = 1

Khi chúng ta ở trong tình huống này, điều đó có nghĩa là các đường được biểu diễn trong hệ phương trình là song song, có nghĩa là theo định nghĩa, chúng không bao giờ bị cắt và không có điểm cắt. Khi một hệ thống được trình bày theo cách này, nó được cho là độc lập không nhất quán.

3- Xác định hỗ trợ

Cuối cùng chúng ta đến trường hợp hệ phương trình của chúng ta có một nghiệm duy nhất, trường hợp chúng ta có các đường giao nhau và tạo ra một điểm giao nhau. Hãy xem một ví dụ:

Để giải quyết chúng ta có thể thêm hai phương trình để có được

(3 · X-4 · Y) + (2 · X + 4 · Y) = -6 + 16

Nếu chúng ta đơn giản hóa, chúng ta đã rời đi

5 · X + 0 · Y = 5 · X = 10

Từ đó chúng ta dễ dàng suy ra rằng X = 2 và thay thế hoặc X = 2 trong bất kỳ phương trình ban đầu nào chúng ta thu được Y = 3.

Trực quan nó sẽ là:

Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

Như chúng ta đã thấy trong phần trước, đối với các hệ thống có 2 ẩn số và 2 phương trình, dựa trên các thao tác đơn giản như cộng, trừ, nhân, chia và thay thế, chúng ta có thể giải quyết chúng trong vài phút. Nhưng nếu chúng ta cố gắng áp dụng phương pháp này cho các hệ thống có nhiều phương trình và nhiều ẩn số hơn, các phép tính trở nên tẻ nhạt và chúng ta có thể dễ dàng mắc lỗi.

Để đơn giản hóa các tính toán, có một số phương pháp giải quyết, nhưng chắc chắn các phương pháp phổ biến nhất là Quy tắc của Cramer và Loại bỏ Gauss-Jordan..

Phương pháp nhồi nhét

Để giải thích cách áp dụng phương pháp này, điều cần thiết là phải biết ma trận của nó là gì và biết cách tìm định thức của nó, hãy tạo dấu ngoặc đơn để xác định hai khái niệm này.

Một ma trận nó không có gì khác hơn là một tập hợp các số hoặc ký hiệu đại số được đặt trong các đường ngang và dọc và được sắp xếp theo dạng hình chữ nhật. Đối với chủ đề của chúng tôi, chúng tôi sẽ sử dụng ma trận như một cách đơn giản hơn để thể hiện hệ phương trình của chúng tôi.

Hãy xem một ví dụ:

Nó sẽ là hệ phương trình tuyến tính

Hệ phương trình đơn giản này chúng ta có thể tóm tắt là hoạt động của hai ma trận 2 × 2 dẫn đến ma trận 2 × 1.

Ma trận thứ nhất tương ứng với tất cả các hệ số, ma trận thứ hai là ẩn số cần giải và ma trận nằm sau đẳng thức được xác định với các điều khoản độc lập của phương trình

các yếu tố quyết định là một hoạt động được áp dụng cho một ma trận có kết quả là một số thực.

Trong trường hợp ma trận mà chúng ta đã tìm thấy trong ví dụ trước, yếu tố quyết định của nó sẽ là:

Khi các khái niệm về ma trận và định thức đã được xác định, chúng ta có thể giải thích phương thức Cramer bao gồm những gì.

Bằng phương pháp này, chúng ta có thể dễ dàng giải một hệ phương trình tuyến tính miễn là hệ không vượt quá ba phương trình với ba ẩn số do việc tính toán các định thức của ma trận rất khó đối với ma trận 4 × 4 hoặc cao hơn. Trong trường hợp có một hệ thống có nhiều hơn ba phương trình tuyến tính, nên sử dụng phương pháp loại bỏ Gauss-Jordan.

Tiếp tục với ví dụ trước, bằng phương tiện của Cramer, chúng ta chỉ cần tính hai yếu tố quyết định và với nó, chúng ta sẽ tìm thấy giá trị của hai ẩn số của chúng ta.

Chúng tôi có hệ thống của chúng tôi:

Và chúng tôi có một hệ thống được đại diện bởi ma trận:

Giá trị của X được tìm thấy:

Đơn giản là trong tính toán của yếu tố quyết định nằm trong mẫu số của phép chia, chúng tôi đã thay thế xã đầu tiên cho ma trận các thuật ngữ độc lập. Và trong mẫu số của phép chia, chúng ta có định thức của ma trận gốc.

Thực hiện các phép tính tương tự để tìm Y chúng ta thu được:

Loại bỏ Gauss-Jordan

Chúng tôi xác định ma trận mở rộng đến ma trận kết quả từ một hệ phương trình trong đó chúng ta thêm các thuật ngữ độc lập vào cuối ma trận.

Phương pháp loại bỏ Gauss-Jordan bao gồm, bằng các phương thức hoạt động giữa các hàng của ma trận, để biến đổi ma trận mở rộng của chúng ta thành một ma trận đơn giản hơn nhiều trong đó tôi có các số 0 trong tất cả các trường trừ trong đường chéo, nơi tôi phải lấy một số. Như sau:

Trong đó X và Y sẽ là các số thực tương ứng với ẩn số của chúng ta.

Hãy giải quyết hệ thống này bằng cách loại bỏ Gauss-Jordan:

Chúng tôi đã quản lý để có được số 0 ở phần dưới bên trái của ma trận, bước tiếp theo là lấy số 0 ở phần trên bên phải của nó.

Chúng tôi đã đạt được 0 ở phía trên bên trái của ma trận, bây giờ chúng tôi chỉ phải chuyển đổi đường chéo thành đường chéo và chúng tôi đã giải quyết hệ thống của chúng tôi bằng Gauss-Jordan.

Vì vậy, chúng tôi đi đến kết luận rằng:

Tài liệu tham khảo

1. vitutor.com.
2. đại số.us.es.
3. Hệ phương trình tuyến tính (không có ngày). Phục hồi từ uco.es.
4. Hệ phương trình tuyến tính. Chương 7. (nhấp nhô). Lấy từ sốt.pntic.mec.es.
5. Đại số tuyến tính và hình học (2010/2011). Hệ phương trình tuyến tính. Chương 1. Bộ môn Đại số. Đại học Seville. Tây Ban Nha Được phục hồi từ đại số.us.es.