Ví dụ về dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
|
Quảng cáo • Nếu un có dạng un = a1 + a2 + ... + ak + .. + an thì biến đổi ak thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu gọn un . • Nếu dãy số (un) được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số (chẳng hạn tính u1; u2; ... ). Từ đó dự đoán công thức tính un theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài ra cũng có thể tính hiệu: un + 1 − un dựa vào đó để tìm công thức tính un theo n. Ví dụ 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 4; 8; 12; 16; 20; 24;... Số hạng tổng quát của dãy số này là: A. un = 4n B. un = 2n+ 2 C. un = 2n+ 5 D. un = 4n+ 2 Hướng dẫn giải: Ta có: 4 = 4.1 8 = 4.2 12 = 4.3 16 = 4.4 20 = 4.5 24 = 4.6 Suy ra số hạng tổng quát un = 4n. Chọn A . Ví dụ 2: Cho dãy số có các số hạng đầu là: .Số hạng tổng quát của dãy số này là: A. un = 7n + 7. B. un = 7n . C. un = 7n + 1. D. un : Không viết được dưới dạng công thức. Hướng dẫn giải: Ta có: 8 = 7 . 1 + 1 15 = 7 . 2 + 1 22 = 7 . 3 + 1 29 = 7 . 4 + 1 36 = 7 . 5 + 1 Suy ra số hạng tổng quát un = 7n + 1. Chọn C. Quảng cáo Ví dụ 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là:  Hướng dẫn giải: Ta có: Suy ra số hạng tổng quát của dãy số là: Chọn B. Ví dụ 4: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: − 1, 3, 19, 53. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm. A. u10 = 971 B. u10 = 837 C. u10 = 121 D. u10 = 760 Hướng dẫn giải: Xét dãy (un) có dạng: un = an3 + bn2 + cn + d Theo giả thiết ta có: u1 = − 1; u2 = 3; u3 = 19 và u4 = 53 => hệ phương trình: Giải hệ trên ta tìm được: a = 1;b = 0 ; c = −3 và d = 1. Khi đó; số hạng tổng quát của dãy số là: un = n3 − 3n+ 1 Số hạng thứ 10: u10 = 971 . Chọn A . Ví dụ 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là:0,1; 0,01; 0,001; 0,0001.... Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng? Hướng dẫn giải: Ta thấy: => Số hạng thứ n là: Chọn A. Quảng cáo Ví dụ 6: Cho Hướng dẫn giải: Ta có: Chọn C. Ví dụ 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là: − 2; 0; 2; 4; 6...Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng? A. un = −2n . B. un = − 2 + n . C. un = − 2(n+ 1) . D.un = − 2 + 2(n − 1) Hướng dẫn giải: Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là (−2) nên un = − 2 + 2(n − 1) . chọn D. Ví dụ 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là: Hướng dẫn giải: Ta có; => Số hạng thứ n của dãy số là: Chọn C. Ví dụ 9: Cho dãy số (un) với Hướng dẫn giải: Ta có: Chọn B. Ví dụ 10: Cho dãy số (un) với A. un = 1 + n B. un = n(n + 1) C. un = 1 + (−1)2n. D. un = n Hướng dẫn giải: * Ta có: un+1 = un + (−1)2n = un + 1 (vì (−1)2n = ((−1)2)n = 1 => u2 = 2 ; u3 = 3; u4 = 4; ... Dễ dàng dự đoán được: un= n. Thật vậy, ta chứng minh được : un = n bằng phương pháp quy nạp như sau: + Với n = 1 => u1 = 1. Vậy (*) đúng với n = 1. + Giả sử (*) đúng với mọi n = k ( k ∈ N*), ta có uk = k. Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, tức là uk+1 = k + 1 + Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un ) ta có: uk+1 = uk + 1= k+ 1 Vậy (*) đúng với mọi n. Chọn D. Ví dụ 11: Cho dãy số (un) với A. un = 2 − n B. không xác định. C. un = 1 − n. D. un = −n với mọi n. Hướng dẫn giải: + Ta có: u2 = 0; u3 = −1; u4 = −2... Dễ dàng dự đoán được un = 2 − n. + Thật vậy; với n = 1 ta có: u1 = 1 ( đúng) Giả sử với mọi n = k ( k ∈ N*) thì uk = 2 − k. Ta chứng minh: uk+1 = 2 − (k+ 1) Theo giả thiết ta có: uk + 1 = uk + (−1)2k + 1 = 2 − k − 1 = 2 − (k+1) => điều phải chứng minh. Ví dụ 12: Cho dãy số (un) với A. un = nn−1. B. un = 2n. C. un = 2n+1. D. un = 2n − 1 Hướng dẫn giải: + Ta có: Hay un = 2n (vì u1 = 2) Chọn B. Câu 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là: −1; 1; −1; 1; −1; 1; ...Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng A.un = 1 B. un = − 1 C. un = (−1)n D. un = (−1)n+1
Đáp án: C Ta có thể viết lại các số hạng của dãy như sau: (−1)1; (−1)2; (−1)3; (−1)4; (−1)5; (−1)6 => Số hạng tổng quát của dãy số là un = (−1)n Câu 2: Cho dãy số (un) với
Đáp án: C Ta có: Áp dụng công thức: Câu 3: Cho dãy số (un) với A. un = 2 + (n−1)2. B. un = 2 + n2. C.un = 2 + (n+1)2. D. un = 2 − (n−1)2.
Đáp án: A Ta có: un+1 − un = 2n − 1 suy ra: un+1 = un + 2n − 1 Theo đầu bài: Áp dụng công thức: 1 + 3 + 5 + 7 +...+ (2n − 3) = (n−1)2 (chứng minh bằng phương pháp quy nạp) =>un = u1 + (n−1)2 = 2 + (n − 1)2 Câu 4: Cho dãy số (un) với
Đáp án: C + Ta có: Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số là: + Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp: + Ta có: Giả sử đúng với n = k (k ∈ N*); tức là: Ta chứng minh đúng với n= k+ 1; tức là chứng minh: Thật vậy ta có: Vậy Câu 5: Cho dãy số (un) với
Đáp án: B + Ta có: Hay Câu 6: Cho dãy số (un) với
Đáp án: D + Ta có: Câu 7: Cho
Đáp án: A + Ta có: Câu 8: Cho dãy số (un) xác định bởi: A. un = 3 + 5n B. un = 3 + 5.(n+1) C. un = 5.(n−1) D. un = 3 + 5.(n−1)
Đáp án: D Ta có: u2 = u1 + 5 = 8 u3 = u2 + 5 = 13 u4 = u3 + 5 = 18 u5 = u4 + 5 = 23 Từ các số hạng đầu, ta dự đoán số hạng tổng quát un có dạng: un = 3 + 5.(n−1) (*) n ≥ 2 + Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức (*) đúng. Với n = 2; u2 = 3+ 5.(2−1) = 8(đúng). Vậy (*) đúng với n = 2 +Giả sử (*) đúng với n = k. Có nghĩa là : uk = 3+ 5(k−1) (1) Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k+ 1. Có nghĩa là ta phải chứng minh: uk+1 = 3 + 5k Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (1) ta có: uk+1 = uk + 5 = 3 + 5(k − 1) + 5 = 3 + 5k Vậy (*) đúng khi n = k+ 1. Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương n. Câu 9: Dãy số (un) được xác định bằng công thức: A. 24502861 B. 24502501 C. 27202501 D. 24547501
Đáp án: B + Trước tiên; ta đi tìm công thức tổng quát của dãy số. + Ta có: un+1 = un + n3 => un+1 − un = n3 Từ đó suy ra: + Cộng từng vế n đẳng thức trên: +Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được: Vậy số hạng tổng quát là: => Số hạng thứ 100 của dãy số là: Câu 10: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un+1 = 5un. Tính số hạng thứ 20 của dãy số? A. 3. 510 B. 2.519 C. 2 . 520 D. 3 . 520
Đáp án: B Để tính số hạng thứ 20 của dãy số; ta đi tìm công thức xác định số hạng un + Ta có: u2 = 10; u3 = 50; u4 = 250; u5 = 1250; u6 = 6250 +Ta dự đoán: un = 2. 5n−1 (1) với mọi n ≥ 1. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp Với n = 1 ta có: u1 = 2. 50 = 2 (đúng). Vậy (1) đúng với n = 1. Giả sử (1) đúng với n = k (k ∈ N*). Có nghĩa là ta có: uk = 2. 5k−1 Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+ 1 Có nghĩa ta phải chứng minh: uk+1 = 2.5k Từ hệ thức xác định dãy số (un) và giả thiết quy nạp ta có: uk+1 = 5uk = 2. 5k−1 . 5= 2 . 5k (đpcm). => Số hạng thứ n của dãy số xác định bởi : un = 2. 5n−1 =>Số hạng thứ 20 của dãy số là : u20 = 2.519. Câu 11: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 3 và un+1 = √(1+ un2) với n ∈ N*. Tính số hạng thứ 28 của dãy số ? A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
Đáp án: A Để tính số hạng thứ 30 của dãy số ta đi tìm công thức xác định số hạng thứ n của dãy số> + Ta có: Ta dự đoán : un = √(n+8) (1). Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp : + Với n = 1 có u1 = √(1+8) = 3 (đúng). Vậy (1) đúng với n = 1 . Giả sử (1) đúng với n = k ; k ∈ N* , có nghĩa ta có uk = √(k+8) (2). Ta cần chứng minh (1) đúng với n= k + 1. Có nghĩa là ta phải chứng minh: uk + 1 = √(k+9) Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có: Vậy (1) đúng với n = k + 1. Kết luận số hạng tổng quát của dãy số là : un = √(n+8). Số hạng thứ 28 của dãy số là : u28= √(28+8) = 6. Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/ Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. day-so-cap-so-cong-va-cap-so-nhan.jsp |
