17:00:2003/03/2021
Các em đã làm quen nhiều với bài toán tính diện tích hình chữ nhật khi biết chiều dài và chiều rộng. Còn bài toán, cho biết diện tích hình chữ nhật, yêu cầu tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật, biết rằng chiều dài lớn hơn chiều rộng là 5m. Ta sẽ làm thế nào?
Để giải bài toán như này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về phương trình bậc 2 một ẩn là gì? qua đó giải một số ví dụ về phương trình bậc 2 một ẩn để các em dễ hiểu qua bài viết dưới đây.
1. Phương trình bậc 2 một ẩn là gì?
* Định nghĩa: Phương trình bậc hai một ẩn [nói gọn là phương trình bậc hai] là phương trình có dạng:
ax2 + bx + c = 0
Trong đó: x là ẩn số; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0.
* Ví dụ: Các phương trình sau là phương trình bậc 2
x2 + 30x - 55 = 0 là phương trình bậc hai với các hệ số a = 1; b = 30; c = -55.
-3x2 + 7x = 0 là phương trình bậc hai với các hệ số a = -3; b = 7; c = 0.
2x2 - 9 = 0 là phương trình bậc 2 với các hệ số a = 2; b = 0; c = -9.
2. Một số ví dụ về giải phương trình bậc hai
* Ví dụ 1: Giải phương trình bậc hai: 2x2 + 5x = 0
* Lời giải:
- Ta có: 2x2 + 5x = 0 ⇔ x[2x + 5] = 0 ⇔ x = 0 hoặc 2x + 5 = 0
⇔ x = 0 hoặc x = -5/2.
Vậy phương trình có nghiệm x = 0 hoặc x = -5/2.
* Ví dụ 2: Giải phương trình bậc hai: 3x2 - 2 = 0.
* Lời giải:
- Ta có: 3x2 - 2 = 0 ⇔ 3x2 = 2 ⇔ x2 = 2/3
tức là
Vậy phương trình có hai nghiệm:
* Ví dụ 3: Giải phương trình bậc 2 sau: [x - 2]2 = 7/2.
* Lời giải:
- Ta có:
Vậy phương trình có 2 nghiệm:
* Ví dụ 4: Giải phương trình bậc 2 sau: x2 – 4x + 4 = 7/2
* Lời giải:
- Ta có: x2 - 4x + 4 = 7/2 ⇔ [x - 2]2 = 7/2
⇔ x - 2 = ±√[7/2] ⇔ x = 2 ± √[7/2]
Vậy phương trình có hai nghiệm:
* Ví dụ 5: Giải phương trình bậc 2 sau: x2 – 4x = -1/2.
* Lời giải:
x2 - 4x = -1/2 ⇔ x2 - 4x + 4 = -1/2 + 4 ⇔ [x - 2]2 = 7/2
⇔ x - 2 = ±√[7/2] ⇔ x = 2±√[7/2]
Vậy phương trình có hai nghiệm:
* Ví dụ 6: Giải phương trình bậc hai: 2x2 – 8x = -1
* Lời giải:
- Ta có: 2x2 - 8x = -1 ⇔ x2 - 4x = [-1]/2
⇔ x2 - 4x + 4 = [-1]/2 + 4 ⇔ [x - 2]2=7/2
⇔ x - 2 = ±√[7/2] ⇔ x = 2 ±√[7/2]
Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 = 2 + √[7/2]; x2 = 2 - √[7/2]
3. Bài tập vận dụng
* Bài 11 trang 42 SGK Toán 9 Tập 2: Đưa các phương trình sau về dạng ax2 + bx + c = 0 và chỉ rõ các hệ số a, b, c:
a] 5x2 + 2x = 4 - x
b]
c] 2x2 + x - √3 = x.√3 + 1
d] 2x2 + m2 = 2[m - 1]x, [m là một hằng số]
* Lời giải:
a] 5x2 + 2x = 4 – x
⇔ 5x2 + 2x + x – 4 = 0
⇔ 5x2 + 3x – 4 = 0
Phương trình bậc hai trên có a = 5; b = 3; c = -4.
b]
⇔
⇔
Phương trình bậc hai trên có a = 3/5; b = -1; c = -15/2.
c] 2x2 + x - √3 = x.√3 + 1
⇔ 2x2 + x - x.√3 - √3 – 1 = 0
⇔ 2x2 + [1 - √3]x – [√3 + 1] = 0
Phương trình bậc hai trên có a = 2; b = [1 - √3]; c = - [√3 + 1].
d] 2x2 + m2 = 2[m – 1].x
⇔ 2x2 – 2[m – 1].x + m2 = 0
Phương trình bậc hai trên có a = 2; b = -2[m – 1]; c = m2.
* Bài 12 trang 42 SGK Toán 9 Tập 2: Giải các phương trình sau:
a] x2 – 8 = 0; b] 5x2 – 20 = 0;
c] 0,4x2 + 1 = 0 d] 2x2 + √2x = 0;
e] -0,4x2 + 1,2x = 0.
* Lời giải:
a] x2 – 8 = 0 ⇔ x2 = 8
⇔ x = 2√2 hoặc x = -2√2.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2√2 và x = -2√2.
b] 5x2 – 20 = 0
⇔ 5x2 = 20 ⇔ x2 = 4
⇔ x = 2 hoặc x = -2.
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 và x = -2.
c] 0,4x2 + 1 = 0
⇔ 0,4x2 = -1 ⇔ x2 = -10/4
Phương trình vô nghiệm vì x2 ≥ 0 với mọi x.
d] 2x2 + x√2 = 0
⇔ x√2.[x√2 + 1] = 0
⇔ x = 0 hoặc x√2 + 1 = 0
⇔ x = 0 hoặc x = -1/√2
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = -1/√2.
e] -0,4x2 + 1,2x = 0
⇔ -0,4x.[x – 3] = 0
⇔ x = 0 hoặc x – 3 = 0
⇔ x = 0 hoặc x = 3
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 3.
* Bài 13 trang 43 SGK Toán 9 Tập 2: Cho các phương trình:
a] x2 + 8x = -2
b] x2 + 2x = 1/3
Hãy cộng vào hai vế của mỗi phương trình cùng một số thích hợp để được một phương trình mà vế trái thành một bình phương.
* Lời giải:
a] x2 + 8x = -2
⇔ x2 + 2.x.4 + 42 = -2 + 42
⇔ [x + 4]2 = 14
b] x2 + 2x = 1/3
⇔ x2 + 2x + 1 = 1/3 + 1
⇔ [x + 1]2 = 4/3.
* Bài 14 trang 43 SGK Toán 9 Tập 2: Hãy giải phương trình : 2x2 + 5x + 2 = 0 theo các bước như ví dụ 3 trong bài học.
* Lời giải:
- Ta có: 2x2 + 5x + 2 = 0
⇔ 2x2 + 5x = -2 [chuyển 2 sang vế phải]
⇔
⇔
[Tách [5/2]x thành 2.x.[5/4] và cộng thêm [5/4]2 vào 2 vế để vế trái xuất hiện thành bình phương dạng [a + b]2 = a2 + 2.a.b + b2].
⇔
⇔ x + 5/4 = 3/4 hoặc x + 5/4 = -3/4
⇔ x = -1/2 hoặc x = -2.
Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 = -1/2; x2 = -2.
Tóm lại, với bài viết này các em cần nhớ được phương trình bậc 2 một ẩn có dạng ax2 + bx + c = 0 và cách giải với một số bài toán đơn giản là phân tích thành nhân tử, hoặc đưa về dạng bình phương như cách giải ở ví dụ 3 trong bài học.
Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải phương trình bậc nhất một ẩn một cách dễ dàng và chính xác nhất cùng các ví dụ cụ thể và bài tập SGK.
Trước tiên ta cùng đến các kiến thức cần nhớ để giúp ta giải phương trình bậc nhất một ẩn.
Xem thêm: Các bài viết Toán 8
Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn
1. Định nghĩa phương trình bậc nhất một ẩn
Phương trình dạng ax + b = 0 với a và b là hai số đã cho và a ≠ 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
2. Hai quy tắc biến đổi phương trình
a] Quy tắc chuyển vế
Trong một phương trình, ta có thể chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia và đổi dấu số hạng đó.
Ví dụ: 3x + 4 = 0 ⇔ 3x = − 4
b] Quy tắc nhân với một số
Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.
Ví dụ: 3x = − 4 ⇔ 3.1/3 .x = − 4 .1/3 ⇔ x = – 4/3 [ta nhân cả hai vế với 1/3 cũng tương đương với việc ta chia cả hai vế cho 3]
3. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn
Cách giải:
Phương trình bậc nhất ax + b = 0 [a ≠ 0] được giải như sau:
ax + b = 0 ⇔ ax = − b ⇔ x = − b/a.
Phương trình bậc nhất một ẩn luôn có một nghiệm duy nhất x = − b/a.
4. Ví dụ. Giải các phương trình bậc nhất
Ví dụ 1: Giải phương trình bậc nhất [dạng đơn giản]
a] 2x − 1 = 0
⇔ 2x = 1