Bài 8 trang 40 SGK Hình học 12:
Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn [O; r] và [O';r]. Khoảng cách giữa hai đáy là OO' = r . Một hình nón có đỉnh là O' và có đáy là hình tròn [O;r].
a]Gọi S1 là diện tích xung quanh của hình trụ và S2 là diện tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỉ số S1/S2 .
b] Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Lời giải:
Kiến thức áp dụng
- Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq=2πRh với R;h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.
- Diện tích xung quanh của hình nón: Sxq=πrl với r;l lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón.
- Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần: Phần dưới là khối nón và phần còn lại.
+] Tính thế tích của khối nón:
+] Suy ra thể tích phần còn lại: V2=V−V1
+] Tính tỉ số:
b, Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần: Phần dưới là khối nón và phần còn lại.
Gọi V là thể tích khối trụ ta có: V=πr2h
Gọi V1 là thể tích khối nón ta có:
Gọi V2 là thế tích phần còn lại ta có:
- Giải Toán 12: Bài 1. Khái niệm về mặt tròn xoay
Ôn tập chương I
Bài 8 trắc nghiệm trang 28 SGK Hình học 12:
Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là:
Lời giải:
- Giải Toán 12: Ôn tập chương 1
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy và AB = a, AD=b, SA = c. Lấy các điểm B’, D’ theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho AB’ vuông góc với SB, AD’ vuông góc với SD. Mặt phẳng [AB’D’] cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.
Hướng dẫn:
Áp dụng kết quả bài tập 4 trang 25 \[\dfrac{{{V}_{S.A'B'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\dfrac{SA'}{SA}.\dfrac{SB'}{SB}.\dfrac{SC'}{SC}\].
Lưu ý:
Kết quả chỉ đúng với tứ diện [hình chóp tam giác] không đúng với hình chóp tứ giác nên ta chia hình chóp tứ giác thành 2 hình chóp tam giác rồi áp dụng kết quả trên.
Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD, I là giao điểm của SO và B'D' thì C' là giao điểm của SI và SC.
Ta có \[\left. \begin{align} & BC\bot BA \\ & BC\bot SA \\ \end{align} \right\}\Rightarrow BC\bot \left[ SAB \right]\Rightarrow BC\bot AB' \]
Mà \[\left. \begin{align} & AB'\bot BC \\ & AB'\bot SB \\ \end{align} \right\}\Rightarrow AB'\bot \left[ SBC \right]\Rightarrow AB'\bot SC \]
Tương tự \[AD'\bot SC\Rightarrow SC\bot \left[ AB'C'D' \right]\Rightarrow SC\bot AC'\]
Ta có
\[SD=\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}},SB=\sqrt{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}\\AC=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}},SC=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\]
Trong tam giác vuông SAD đường cao AD' có
\[\cos \widehat{ASD}=\dfrac{SA}{SD}=\dfrac{SD'}{SA} \\ \Rightarrow SD'=\dfrac{S{{A}^{2}}}{SD}=\dfrac{{{c}^{2}}}{\sqrt{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}} \\ \Rightarrow \dfrac{SD'}{SD}=\dfrac{{{c}^{2}}}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \]
Tương tự \[\dfrac{SB'}{SB}=\dfrac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}};\dfrac{SC'}{SC}=\dfrac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\]
\[\dfrac{{{V}_{SAD'B'}}}{{{V}_{SADB}}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{{{V}_{SAD'B'}}}{{{V}_{SADCB}}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{SD'}{SD}.\dfrac{SB'}{SB} \\ \dfrac{{{V}_{SC'D'B'}}}{{{V}_{SCDB}}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{{{V}_{SC'D'B'}}}{{{V}_{SADCB}}}=\dfrac{1}{2}\dfrac{SC'}{SC}.\dfrac{SD'}{SD}.\dfrac{SB'}{SB} \\ \begin{align} \Rightarrow \dfrac{{{V}_{SAC'D'B'}}}{{{V}_{SABCD}}}&=\dfrac{{{V}_{SAD'B'}}+{{V}_{SC'D'B'}}}{{{V}_{SABCD}}} \\ & =\dfrac{1}{2}\dfrac{SD'}{SD}.\dfrac{SB'}{SB}\left[ 1+\dfrac{SC'}{SC} \right] \\ & =\dfrac{1}{2}.\dfrac{{{c}^{2}}}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\dfrac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}}.\left[ 1+\dfrac{{{c}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \right] \\ & =\dfrac{{{c}^{4}}\left[ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2{{c}^{2}} \right]}{2\left[ {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right]\left[ {{a}^{2}}+{{c}^{2}} \right]\left[ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right]} \end{align}\]
Thể tích khối chóp SABCD là
\[{{V}_{SABCD}}=\dfrac{1}{3}AB.AD.AS=\dfrac{abc}{3} \\ \begin{align} \Rightarrow {{V}_{SAC'D'B'}}&=\dfrac{{{c}^{4}}\left[ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2{{c}^{2}} \right]}{2\left[ {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right]\left[ {{a}^{2}}+{{c}^{2}} \right]\left[ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right]}.\dfrac{abc}{3} \\ &=\dfrac{ab{{c}^{5}}\left[ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2{{c}^{2}} \right]}{6\left[ {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right]\left[ {{a}^{2}}+{{c}^{2}} \right]\left[ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right]} \\ \end{align} \]