Trong ngành toán học tối ưu, với phương pháp nhân tử Lagrange [đặt theo tên một nhà toán học] ta có thể tìm được cực tiểu hoặc cực đại địa phương của một hàm số nhưng chịu các điều kiện giới hạn.
Phát biểu bài toán
- Ta muốn tìm cực tiểu của hàm z = f[x;y] với điều kiện ràng buộc φ[x; y] = 0.
- Ta thiết lập hàm Lagrange L[x; y; λ] = f [x; y] + λφ[x; y].
- Tìm điểm dừng của L, tức là giải hệ phương trình:
- Xét dấu đạo hàm bậc 2 của hàm L tại điểm [x0;y0] mà [x0;y0;λ0] là nghiệm của hệ phương trình ở bước 4
- L”[x0; y0; λ0] < 0 = f[x0; y0] [Hàm Z đạt cực đại]
- L”[x0; y0; λ0] > 0 = f[x0; y0] [Hàm Z đạt cực tiểu]
Bài toán
Cho hai số thực x, y thoả mãn điều kiện x + y = 10. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f[x;y] = x^2 + y^2
- Ta tìm cực trị đối với hàm f[x;y] = x^2 + y^2 thoả mãn φ[x;y] = x + y – 10 = 0
- T thiết lập hàm L[x; y; λ] = x^2 + y^2 + λ[x + y = 10]
- Ta đạo hàm L[x; y; λ] theo x : L'[x; y; λ][x] = 2x + λ = 0 => x = -λ/2 [1]
- Ta đạo hàm L[x; y; λ] theo y : L'[x; y; λ][y] = 2y + λ = 0 => y = -λ/2 [2]
- Ta đạo hàm L[x; y; λ] theo λ : L'[x; y; λ][λ] = x + y – 10 = 0. Từ [1] [2] => λ = -10
\=> Ta có điểm dừng x0 [5,5,-10].
Kết luận
Phần tìm giá trị nhỏ nhất đã được bỏ qua ở đoạn cuối, phần quan trọng nhất là tìm điểm dừng x0, và với chủ đề này blog cũng chỉ đề cập đến phương pháp nhân tử Lagrange với đẳng thức, phần bất đẳng thức hoàn toàn không được đề cập đến. Bài này cũng khá ngắn, chỉ đề cập về toán học thông thường, nhưng tất nhiên là cũng có lý do riêng của nó, và là để chuẩn bị cho một blog dài hơi hơn.
Tản mạn về toán và cuộc sống
Ngay từ khi học cập 3, thương ta gặp rất nhiều bài toán, dạng toán mà đôi khi ta tự hỏi, sau này nó giúp gì cho mình không ? Tại sao phải học toán, biết cộng trừ nhân chia là đủ rồi, phải không ?
Ngày xưa, khi cuộc sống mà con người ta chỉ biết đến những tài sản mà họ có như là một con trâu, 2 thửa ruộng,… Nhưng lại đối với những người đang nợ nần, tức là họ phải đạt được một một tiền nào đó thì họ mới trở về tình trạng vô sản. Vậy người ta mới nghĩ ra số âm, để biểu diễn cho trạng thái đó. À vậy đó là lí do số âm ra đời.
Đến một ngày kia, khi người ta phát hiện ra bất kì chu vi của một đường tròn nếu chia cho bán kính thì đều ra một hằng số, sau đó họ đặt tên là số pi, rồi cạnh huyền của một tam giác vuông bằng một số nào đó mà thoả mãn c^2 = a^2 + b^2. Nhưng không thể viết chính xác được số đó, và thế là họ nghĩ ra đến căn bậc 2 [ √ ]. À vậy là đó là lí do ra đời của số hữu tỉ.
Và rồi họ cũng nghĩ ra logarit log[x] = y, vì đơn giản họ thấy rằng số đó tồn tại, khi vẽ lên hàm số, đường cong log[x] giao với đường thằng y = x tại một điểm, chỉ là người ra không thể chỉ chính xác nó mà thôi.
Vậy toán học chỉ đơn giản là một công cụ, hay một trò chơi mà con người ra nghĩ ra để đặt tên chỉ điểm cho những cái mà họ không thể biểu diễn chính xác. Đôi khi những bài toán đơn thuần được nghĩ ra, nhưng tồn tại và không ai giải được hoặc chứng minh được, hoặc là những bài toán có thể giải được nhưng có khi mất đến vài … trăm năm chẳng hạn. Ví dụ giải hệ phương trình bậc n, tìm mặt phẳng trong chiều thứ n, … đơn giản vì ta chỉ sống trong không gian 4 chiều [x, y, z, t], nhưng những vấn đề ta gặp phải nó vượt xa ngoài tầm cái 4 chiều rồi. Và máy tính, tin học ra đời, một thứ tuyệt vời, nó giúp ta chứng minh và giải hầu hết các bài toán trong thời gian realtime. Và với cái thời đại thông tin và học máy bùng nổ, mà vẫn chỉ muốn cộng trừ nhân chia, hay là … học toán xong chẳng để áp dụng vào đâu, thì đúng thật là … ấu trĩ =]].
[x 0 ,λ 0 ]là iểm dừng của hàm LagrangeL[x,λ]và∇φ[x 0 ]̸= 0. Xét dạng toàn phương
A[u] =
n
∑
i,j= 1
∂
2 L[x,λ 0
]
∂x i
x j
[x 0
]∀
u i u j vớiu= [u 1 ,u 2 ,...,u n
]∈R
n thỏa iều kiệnï∇φ[x 0 ],uð= 0.
Khi ó,
- NếuA[u]là dạng toàn phương xác ịnh dương thì f ạt cực tiểu tạix 0 với ràng buộc
φ[x] = 0.
ii] NếuA[u] là dạng toàn phương xác ịnh âm thì f ạt cực ại tạix 0 với ràng buộc
φ[x] = 0.
iii] NếuA[u]là dạng toàn phương không xác ịnh thì f không ạt cực trị tạix 0 với ràng
buộcφ[x] = 0.
iv] NếuA[u]là dạng toàn phương nửa xác ịnh dương hoặc nửa xác ịnh âm thì chưa có
kết luận về cực trị của ftạix 0 với ràng buộcφ[x] = 0.
biếnx 1 ,x 2 ,...,x n vàmphương trình ràng buộc [m 0 , từ ó miền ta xét có thể trở thành một miền bị chặn và từ ó, ta
có thể so sánh giá trịf tại các iểm dừng với giá trịf tại các iểm trên bao óngCtương
tự như phần trước.
Ví dụ về ứng dụng phương pháp nhân tử LagrangeTrong không gian cho trước tam giácABCvà một iểmDthay ổi sao choABCD
là một tứ diện có thể tíchVkhông ổi. Tìm vị trí iểmDể tổng diện tích các mặt
bên của tứ diệnABCDlà nhỏ nhất.
Lời giải
GọiHlà hình chiếu củaDlên mặt phẳng chứa tam giácABC.
ặtAB=c,BC=a,AC=b,DH=hthìa,b,c,hkhông ổi.
Gọih a ,h b ,h c lần lượt là khoảng cách từDlên các ường thẳngBC,CA,ABvàd a ,d b ,d c
lần lượt là khoảng cách từHến các ường thẳngBC,CA,AB.
Nhận xét: Hình chiếu của iểmDcần tìm lên mặt phẳng[ABC]phải nằm ở miền trong
của tam giácABC. Thật vậy, ta có:
S
DAB
\=12
ch c
\=12
c
h
2 +d
2
c
,S
DBC
\=12
ah a
\=12
a
h
2 +d
2
a
,S
DCA
\=12
bh b
\=12
b
h
2 +d
2
b
.
Xét một iểmMcó hình chiếu lên mặt phẳng[ABC] làN sao choMN=hvàN nằm
ngoài tam giácABC. Không mất tổng quát, ta có hai trường hợp có thể xảy ra của vị trí
iểmN: iểmNnằm trong góc ối ßnh của
BAC[hình bên trái] và iểmN nằm trong
góc
BAC[hình bên phải]. Với mỗi trường hợp, gọiE,Flần lượt là hình chiếu củaNlên
AB,ACvà nếu iểmN
′ như trong hai hình cùng các hình chiếuE
′ ,F
′ từN
′ ếnAB,AC
[các trường hợpNthuộc ường thẳngABhoặcAClà các trường hợp suy biến, hoàn toàn
tương tự].
Với iểm N cho trước và iểm N
′ ược chọn như trong hình, ta có d a
′ 0 [vì f[a,b,c]< 0 thì bất ẳng thức hiển nhiên úng].
Ngoài ra ta có thể tìm thêm một số iều kiện chofể có thể tìm ược hàmftốt hơn. Trước
tiên ta có nhận xét là với bất ẳng thức Nesbit, không mất tính tổng quát,a+b+c= 3.
Thật vậy, giả sửa+b+c=k[k> 0 ], ta xét một bộ[a 0 ,b 0 ,c 0
] =
3 a
k
,
3 b
k
,
3 c
k
. Khi ó
a 0 +b 0 +c 0 = 3. Ta có
h[a,b,c] =
a
b+c
+
b
c+a
+
c
a+b
\=
a
k
b
k
+
c
k
+
b
k
c
k
+
a
k
+
c
k
a
k
+
b
k
\=
a 0
b 0 +c 0
+
b 0
c 0 +a 0
+
c 0
a 0 +b 0
\=h[a 0
,b 0
,c 0
].
Do ó ta chß cần xét các bộ[a 0 ,b 0 ,c 0 ]màa 0 +b 0 +c 0 = 3 là ủ. Ta mong muốn iểm rơi