Bài tập tính diện tích qua tích phân năm 2024
- 1. tích phân tính di n tích, th tích NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH DI N TÍCH, TH TÍCH I. DI N TÍCH HÌNH PH NG XÁC NH B I Ư NG CONG y = f[x] 1. DI N TÍCH HÌNH PH NG GI I H N B I 1 Ư NG CONG: [ C ] : y = f [ x ] 1.1. Bài toán: Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i Ox : y = 0 x = a, x = b y f[x] > 0 y O a b x S S O a b x b f[x] < 0 1.2. Công th c t ng quát : S= ∫ a f [ x ] dx 1.3. Công th c khai tri n: b y f[x] > 0 a. S = ∫ f [ x ] dx a n u f[x] ≥ 0 a f[x] > 0 b S3 x ∫ b. S = − f [ x ] dx n u f[x] ≤ 0 a O a S1 c d b S2 c d b c. S = ∫ f [ x ] dx − ∫ f [ x ] dx + ∫ f [ x ] dx f[x] < 0 a c d 2. DI N TÍCH HÌNH PH NG GI I H N B I 2 Ư NG CONG: [ C1 ] : y = f [ x ] 2.1. Bài toán: Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i [ C2 ] : y = g [ x ] x = a, x = b b 2.2. Công th c t ng quát: S= ∫ a f [ x ] − g [ x ] dx y y f[x] f[x] g[x] S x S1 S2 x O a b O a c b g[x] g[x] f[x] 217
- 2. hàm và tích phân − Tr n Phương 2.3. Công th c khai tri n: b a. S = ∫ [ f [ x ] − g [ x ] ] dx a n u f[x] ≥ g[x] ∀x∈[a, b] b b. S = ∫ [ g [ x ] − f [ x ] ] dx a n u f[x] ≤ g[x] ∀x∈[a, b] c b c. S = ∫ a [ f [ x ] − g [ x ] ] dx + ∫ [ g [ x ] − f [ x ] ] dx c 3. DI N TÍCH HÌNH PH NG GI I H N B I CÁC Ư NG CONG T C T KHÉP KÍN [ C1 ] : y = f [ x ] 3.1. Bài toán 1: Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i [ C2 ] : y = g [ x ] y x = a f[x] Bư c 1: Gi i phương trình: f [ x ] = g [ x ] ⇔ x = b S b g[x] x Bư c 2: S d ng S = ∫a f [ x ] − g [ x ] dx O a b y 3.2. Bài toán 2: Tìm di n tích hình ph ng g[x] C f[x] [ C1 ] : y = f [ x ] A h[x] S S gi i h n b i [ C2 ] : y = g [ x ] B [ C3 ] : y = h [ x ] O a c b x Bư c 1: Gi i phương trình tương giao → tìm hoành giao i m C ≡ [ C1 ] ∩ [ C2 ] gi i phương trình f[x] = g[x] C ≡ C1 ∩ C2 A ≡ C ∩ C A ≡ [ C2 ] ∩ [ C3 ] gi i phương trình g[x] = h[x] 2 3 B ≡ C ∩ C B ≡ [ C3 ] ∩ [ C1 ] gi i phương trình h[x] = f[x] 3 1 c b Bư c 2: S d ng S = ∫a [ f [ x ] − h [ x ] ] dx + ∫ [ g [ x ] − h [ x ] ] dx c 4. CHÚ Ý:C n ph i i n " vdt" vào k t qu cu i cùng trong các bài toán tính di n tích hình ph ng 218
- 3. tích phân tính di n tích, th tích 5. CÁC BÀI T P M U MINH H A Bài 1. Tính S: {[ P ] : x 1 2 = ay ; [ P2 ] : y 2 = ax } [ a > 0] y Gi i x2 2 x4 y = y = 2 a [ P1 ] ∩ [ P2 ] : a ⇔ a [P ] 1 y2 = ax y2 = ax S x 4 = ax 4 3 x = a x x = 0, y = 0 O a x ⇔ a2 ⇔ 2 ⇔ y2 = ax y = ax x = a, y = a [P ] 2 a a x2 2 a x3 2a 2 a 3 a 2 0 ∫ S = ax − a dx = 3 x x− = 3a 3 − 3a = 3 [ vdt] 0 { Bài 2. Tính S: [C ] : y 2 − 2y + x = 0 ; [ D ] : x + y = 0 } y Gi i [C ] : y 2 − 2y + x = 0 [C ] : x = − y 2 + 2y 3 ⇔ [ D ] : x + y = 0 [ D ] : x + y = 0 2 x S y = 0; x = 0 + 1 [C ] ∩ [ D ] : − y 2 + 2y + y = 0 ⇔ y = y = 3; x = −3 0 3 3 -3 S = [ − y 2 + 2y ] − [ − y ] dy = ∫ ∫ [−y 2 + 2y + y ] dy y +2 2 y O 1 x x=- 0 0 3 3 y3 3y 2 1 3 9 ∫ = [ − y + 3y ] dy = − + 2 = − ⋅ 27 + ⋅ 9 = [ vdt] 0 3 2 0 3 2 2 { Bài 3. Tính S: [ P ] : y 2 = 2x ; [ D ] : x − 2y + 2 = 0 ; Ox : y = 0 } y Gi i 2 y2 = 2 [ 2y − 2 ] [ P ] ∩ [ D ] ⇔ y = 2x ⇔ 2 x = 2y − 2 x = 2y − 2 1 y2 − 4y + 4 = 0 y = 2 S ⇔ ⇔ 2 x = 2y − 2 x = 2 [D] -2 O x 2 2 y2 y3 8 [P] 0 ∫ S = − [ 2y − 2 ] dy = 2 6 − y 2 + 2y = 6 [ vdt] -2 0 219
- 4. hàm và tích phân − Tr n Phương 1 { [ Bài 4. Tính S: [ P ] : y = − x 2 − 8x + 7 ; [ H ] : y = 3 7−x x −3 ] } Gi i y [ P ] ∩ [ H ] : − 1 [ x 2 − 8x + 7 ] = 7 − x 3 3 x −3 [P] S O x = 0 x [ x 2 − 11x + 28 ] x = 4 -1 1 3 4 7 x ⇔ =0⇔ 3 [3 − x ] 7 x = 7 3 [H] 7 1 7 − x 4 ∫ S = − [ x 2 − 8x + 7 ] − 3 x − 3 dx 7 7 x 2 8x 4 4 x3 4x 2 4 4 ∫ = − 3 + − − dx = − + 3 3 x − 3 9 3 3 − x − 4ln x − 3 = 9 + 8ln 2 [ vdt] 4 { Bài 5. Cho: [ P ] : y 2 = 2x ; [ C ] : x 2 + y 2 = 8 . } [P] chia [C] thành 2 ph n, tìm t s di n tích c a 2 ph n ó. Gi i y 2 y2 Nhìn vào 0 2∫ th ta có: S2 = 2 8 − y 2 − dy 2 2 2 2 S y3 8 O 2 2 2 ∫ ∫ 2 2 =2 8 − y dy − y dy = 2I − = 2I − 3 3 x 0 0 0 2 -2 Xét I = ∫ 0 8 − y 2 dy . t y = 2 2 sin t ⇒ dy = 2 2 cos tdt 2 π4 π4 ∫ ∫ ∫ 2 2 I= 8 − y dy = 8 − 8sin t .2 2 cos tdt = 8 1 − sin 2 t cos tdt 0 0 0 π4 π4 π4 [1 + cos 2t ] dt = 4 t + 1 sin 2t π 1 ∫ cos ∫ 2 =8 t dt = 4 = 4 + = π + 2 0 0 2 0 4 2 8 8 4 2 V y S2 = 2I − = 2π + 4 − = 2 π + [ vdt]. Ta có: S1 + S2 = π [ 2 2 ] = 8π 3 3 3 6π − 4 18π − 4 9π − 2 ⇒ S1 = 8π − 2π + 3 [ 4 = 6π − 4 [ vdt] ⇒ S1 = 3 ] 3 = = S2 2π + 4 6π + 4 3π + 2 3 220
- 5. tích phân tính di n tích, th tích { Bài 6. Tính S: [ P ] : y = x 2 − 4x + 3 ; [ D ] : y = x + 3 } Gi i x + 3 = x 2 − 4x + 3 x 2 − 5x = 0 x = 0, y = 3 [ P] ∩ [ D] : ⇔ 2 ⇔ x = 5, y = 8 2 x + 3 = − x + 4x − 3 x − 3x + 6 y x = 1 8 [ P ] ∩ Ox : y = 0 ⇒ x 2 − 4x + 3 = 0 ⇔ x = 3 1 S = [ x + 3] − [ x 2 − 4x + 3] dx + ∫ 0 S3 3 3 + [ x + 3] + [ x 2 − 4x + 3] dx + ∫ S1 S2 1 5 + [ x + 3] − [ x 2 − 4x + 3] dx ∫ -3 O 3 1 2 3 5 x -1 1 3 5 = ∫ [ − x 2 + 5x ] dx + ∫ [ x 2 − 3x + 6 ] dx + ∫ [ − x 2 + 5x ] dx 0 1 3 1 3 5 x 3 5x 2 x 3 3x 2 x 3 5x 2 109 = − + + − + 6x + − + = [ vdt] 3 2 0 3 2 1 3 2 3 6 3x 12x π Bài 7. Tính S: [ C1 ] : y = 1 − 2 sin 2 ; [ C2 ] : y = 1 + ; [ D] : x = 2 π 2 Gi i y 7 A 3x [ C1 ] : y = 1 − 2 sin 2 = cos 3x 2 Nhìn vào th ta có: S = SANOI − 3SOIK π6 π6 7 +1 π = ∫ ⋅ − 3 cos3xdx = 2π − sin3x = 2π − 1 2 2 0 0 S Bài 8. Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i 1 B M N [P]: y = x2 − 2x + 2 và các ti p tuy n c a [P] C O π π π x i qua A[2; −2]. 6 3 2 221
- 6. hàm và tích phân − Tr n Phương Gi i ư ng th ng qua A có d ng [d]: y = k[x − 2] − 2. x 2 − 2x + 2 = k [ x − 2 ] − 2 [d] là ti p tuy n c a [P] khi [ x 2 − 2x + 2 ]′ = [ k [ x − 2 ] − 2]′ 2x − 2 = k 2x − 2 = k x = 0; k = −2 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ x = 4; k = 6 x − 2x + 2 = [ 2x − 2 ][ x − 2 ] − 2 x − 4x = 0 V y 2 ti p tuy n c a [P] i qua A là: [d1]: y = −2x + 2 ti p xúc v i [P] t i y B[0, 2] và [d2]: y = 6x −14 ti p xúc v i [P] t i C[4, 10]. 10 { V y S: [ P] : y = x2 − 2x + 2; [ d1 ] : y = −2x + 2 ; [ d2 ] : y = 6x −14 } 2 4 S = [ x2 − 2x + 2] − [ −2x + 2] dx + [ x2 − 2x + 2] − [ 6x − 14] dx ∫ ∫ 0 2 2 4 2 4 [P] ∫ ∫ [ x − 8x + 16] dx = ∫ x dx + ∫ [ x − 4] d [ x − 4] 2 = x 2 dx + 2 2 0 2 0 2 2 s2 2 3 4 x3 [ x − 4] 8 −8 8 8 16 = + = − 0 + 0 − = + = [ vdt] O s1 3 0 3 3 3 3 3 3 2 1 2 7 4 x 3 d1 d x2 27 2 Bài 9. Tính S: [ P1 ] : y = x2 ; [ P2 ] : y = ; [ H] : y = 2 27 x y Gi i 9 x2 [ P1 ] ∩ [ P2 ] : x2 = ⇔x =0⇒y =0 27 [P1 ] 9 [H] 27 2 s2 [ P1 ] ∩ [ H] : x2 = ⇔ x3 = 27 ⇔ x = 3 3 x s1 x2 27 [P2 ] [ P2 ] ∩ [ H] : = ⇔ x3 = 272 ⇔ x = 9 27 x O 3 6 9 x Nhìn vào th ta có: 3 9 3 9 2 x2 27 x 2 26x 3 x3 0 ∫ S = x − dx + 27 3 − x 27 ∫ dx = 81 0 + 27 ln x − 81 3 26 1 = − 0 + 27 ln 9 − 27 ln 3 − 9 + = 27 ln 3 [ vdt] 3 3 222
- 7. tích phân tính di n tích, th tích x2 2 8 Bài 10. Tính S: [ P1 ] : y = x 2 ; [ P2 ] : y = ; [ H1 ] : y = ; [ H 2 ] : y = 4 x x y Gi i 2 [P ] 1 [ P1 ] ∩[ H1 ] : x2 = ⇔ x3 = 2 ⇔ x = 3 2 ⇒ y = 3 4 [P ] 2 x 4 8 [ P1 ] ∩[ H2 ] : x2 = ⇔ x3 = 8 ⇔ x = 2 ⇒ y = 4 x 3 16 s2 [H2] 2 x 2 3 4 S1 [ P2 ] ∩[ H1 ] : = ⇔ x3 = 8 ⇔ x = 2 ⇒ y = 1 4 x 1 [H1] 2 x 8 [ P2 ] ∩[ H2 ] : = ⇔ x3 = 32 ⇔ x = 2 3 4 ⇒ y = 2 3 2 O 3 2 2 2 4 3 x 4 x 3 3 2 32 2 2 32 8 x2 x3 x3 3 ∫ S = x 2 − dx + x ∫ 2 − dx = − 2ln x + 8ln x − x 4 3 3 12 = 4 ln 2 [ vdt] 2 2 2 { Bài 11. Tính S: [ P ] : y 2 = 4x; [ C ] : y 2 = [ 4 − x ] 3 } Gi i Phương trình c a [P] và [C] u ch n i v i y, vì th S là mi n nh n Ox làm tr c i x ng. G i S1 là ph n n m trên tr c Ox, khi ó S = 2S1 y [ P] ∩ [ C] : 4x = [ 4 − x]3 ⇔ x3 −12x2 + 52x + 64 = 0 [P] 2 2 ⇔ [ x − 2] [ x −10x + 32] = 0 ⇔ [ x − 2] [ x − 5] + 7 = 0 2 2 [C] 1 ⇔x =2⇒y=2 2 S1 [ P ] ∩ Ox : 4x = 0 ⇔ x = 0 O 2 3 4 x -1 [ C ] ∩ Ox : [ 4 − x ]3 = 0 ⇔ x = 4 2 4 2 1 4 3 -2 2 S1 = ∫ 0 4x 2 dx + ∫ 2 ∫ 0 ∫ [ 4 − x ]3 dx = 2 x 2 dx − [ x − 4] 2 d [ x − 4] 2 2 4 4 3 2 5 8 2 8 2 64 2 128 2 = x2 − [ x − 4] 2 = − 0 − 0 + = . V y S = 2S′ = 3 0 5 2 3 5 15 15 [ ] 1 2 P :x = y Cách 2: S: 4 ⇒ S1 = 2 2 2 1 ∫ 4 − y 3 − y 2 dy = 4 128 2 15 [ [ vdt] ] [ C ] : x = 4 − y2 3 0 223
- 8. hàm và tích phân − Tr n Phương { Bài 12. Tính S: [ P ] : y 2 = 2x; [ C ] : 27y 2 = 8 [ x − 1] 3 } Gi i y G i S′ là ph n n m phía trên tr c Ox, t tính ch t 2 2 [P] c a 2 hàm ch n suy ra tính i x ng khi ó S = 2S′. Do y ≥ 0 ⇒ [x − 1] ≥ 0 ⇒ x ≥ 1 2 3 S1 [C] [ P] ∩ [ C] : 2x = 8 [ x −1]3 O 1 4 27 x 2 ⇔ [ x − 4] [ 2x +1] = 0 ⇒ x = 4 ⇒ y = 2 2 [ P] ∩ Ox : 2x = 0 ⇔ x = 0 ; [ C] ∩ Ox: [ x −1]3 = 0 ⇔ x =1 2 2 4 [ ]3 4 1 4 3 2x − 8 x − 1 dx = 2 2 x 2 dx − 4 2 [ x − 1] 2 d [ x − 1] = 68 2 S = 2S1 = 2 1 ∫ 27 1 ∫ 3 3 1 ∫ 15 x2 y2 Bài 13. Tính di n tích hình elip gi i h n b i [E]: + 2 =1 a2 b Gi i 2 2 x y Phương trình 2 + 2 = 1 ch n i v i x và y nên elip nh n O là tâm i x ng. a b G i S 1 là di n tích c a ph n elip thu c góc ph n tư [I] trên m t ph ng Oxy. a { ⇒ S1 : x = 0; y = 0; y = b 2 a a − x2 } và S = 4S1 = 4 b ∫ a0 a 2 − x2 dx y b x = 0 ⇒ α = π 2 S1 t x = acosα: ; Khi ó O x = a ⇒ α = 0 a x a 0 π2 b 4b [ 2 1 − cos 2α S=4 a ∫ 0 a 2 − x 2 dx = ∫ a π2 −a sin 2 α ] dα = 4ab ∫ 0 2 dα = πab [ vdt] { Bài 14. Tính S: 0 ≤ y ≤ 1; y = [ x + 1] ; x = sin πy 2 } Gi i 2 x = sin πy ∈ [ −1,1] ⇒ x + 1 ≥ 0; mà 0 ≤ y ≤ 1 nên y = [ x + 1] ⇔ x = y − 1 1 1 1 2 3 2 1 S= ∫[ 0 ] sin πy − y + 1 dy = − cos πy − y 2 + y = + π 3 0 π 3 [ vdt] 224
- 9. tích phân tính di n tích, th tích TH TÍCH KH I TRÒN XOAY I. VX SINH B I DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Ox: y [ C ] : y = f [ x ] [C] S: Ox : y = 0 S ∆ , ∆ : x = a, x = b 1 2 a O b x b Công th c : Vx = π ∫ f 2 [ x ] dx a II. VX SINH B I DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Ox: y [C1] [ C1 ] : y = f [ x ] S [ C ] : y = g [ x ] S: 2 [C2] 0 ≤ g [ x ] ≤ f [ x ] a ∆ , ∆ : x = a, x = b O b x 1 2 b Công th c: Vx = π ∫ f 2 [ x ] − g 2 [ x ] dx a [ C1 ] : y = f [ x ] III. VX SINH B I DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Ox: S: [ C2 ] : y = g [ x ] x = a Bư c 1: Gi i phương trình: f [ x ] = g [ x ] ⇔ x = b b Gi s 0 ≤ g[x] ≤ f[x],∀x∈[a, b]. Khi ó: Vx = π f [ x ] − g [ x ] dx ∫ 2 2 Bư c 2: a IV. VX SINH B I DI N TÍCH: Ư NG CONG B C HAI f[x, y] = 0 QUAY XUNG QUANH Ox: Bư c 1: Tách ư ng cong b c hai f[x, y] = 0 thành y [ C1 ] : y = f1 [ x ] [C1] [ C2 ] : y = f 2 [ x ] và gi s 0 ≤ f2[x] ≤ f1[x] [C2] Bư c 2: Xác nh c n x = a, x = b. O a b x b ∫ Khi ó: Vx = π f12 [ x ] − f 22 [ x ] dx a 225
- 10. hàm và tích phân − Tr n Phương V. Vy SINH B I DI N TÍCH S C A 1 TH QUAY XUNG QUANH Oy: y [ C ] : y = f [ x ] f[b] Oy : x = 0 S: ∆1 : y = f [ a ] S ∆ : y = f [ b ] 2 [C] −1 Bư c 1: y = f[x] ⇔ x = f [y] f[a] f [b] 2 ∫ f [ y ] −1 Bư c 2: Vy = π dy O a b x [ ] f a VI. Vy SINH B I DI N TÍCH S C A 2 TH QUAY XUNG QUANH Oy: y [ C1 ] : y = f [ x ] [ C ] : y = g [ x ] S: 2 f[b] ∆1 : y = f [ a ] = g [ m ] ∆ 2 : y = f [ b ] = g [ n ] [C2 ] S [C1] [ C1 ] : y = f [ x ] ⇔ x = f −1 [ y ] Bư c 1: −1 f[a] [ C2 ] : y = g [ x ] ⇔ x = g [ y ] O m a n b x f [b] Bư c 2: Gi s 0≤g −1 [ y ] ≤ f −1 [ y ] ⇒ Vy = π ∫[ f [a ] 2 f −1 [ y ] − g −1 [ y ] dy 2 ] VII. Vy SINH B I DI N TÍCH: Ư NG CONG B C 2 f[x, y] = 0 QUAY XUNG QUANH Oy: [ C1 ] : x = f1 [ y ] Bư c 1: Tách ư ng cong b c hai f[x, y] = 0 thành [ C2 ] : x = f 2 [ y ] và gi s 0 ≤ f2[y] ≤ f1[y] b Bư c 2: Xác ∫ nh c n x = a, x = b. Khi ó: Vx = π f12 [ y ] − f 22 [ y ] dy a VIII. PHƯƠNG PHÁP BAO TR TÍNH Vy KHI DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Oy: b Công th c: ∫ Vy = 2π xf [ x ] dx a CHÚ Ý:C n ph i i n " vtt" vào k t qu cu i cùng trong các bài toán tính th tích kh i tròn xoay 226
- 11. tích phân tính di n tích, th tích IX. CÁC BÀI T P M U MINH H A Bài 1. Tìm Vx sinh b i S: {[ C ] : y = ln x ; Ox : y = 0; [ ∆ ] : x = 2} quay quanh Ox Gi i 2 2 2 Xét [ C ] ∩ Ox : ln x = 0 ⇔ x = 1 ⇒ Vx = π ∫ [ ln x ] dx = π x [ ln x ] 1 − π ∫ x d [ ln x ] 2 2 2 1 1 2 2 = 2π [ ln 2 ] − 2π ∫ ln x dx = 2π [ ln 2 ] − 2π x ln x 1 + 2π ∫ x d [ ln x ] 2 2 2 1 1 2 = 2π [ ln 2 ] − 4π ln 2 + 2π ∫ dx = 2π [ ln 2 ] − 4π ln 2 + 2π = 2π [ ln 2 − 1] 2 2 2 [ ®vtt ] 1 { } Bài 2. Tính Vx khi S: [ L ] : y = x ln [1 + x 3 ] ; y = 0 ; x = 1 quay quanh Ox. Gi i 1 + x > 0 3 x > −1 ln [1 + x ] ⇒ 3 ⇒ ⇒y≥0 [1 + x 3 ] ≥ 0 1 + x 3 ≥ 1 y=x ⇔ x≥0 ln 1 1 [ L] ∩ Ox : x ln [1 + x3 ] = 0 ⇔ x = 0 ⇒ Vx = π x2 ln [1 + x3 ] dx = π ln [1 + x3 ] d [ x3 + 1] ∫ 0 3∫ 0 1 1 1 π[ 3 ] [ π 2π ln 2 π 3 π [ 2 ln 2 − 1] x + 1 ln 1 + x ] − ∫ [ x + 1] d ln [1 + x ] = 3 3 3 = − x = 3 0 3 0 3 3 0 3 { } Bài 3. Cho S: [ C] : y = 1 2 ; [ D] :x =1;y = 0, x = 0 . Tính Vy khi S quay quanh Oy 1+ x y Gi i 1 1 1 y= 2 > 0 ⇒ [C] : x2 = −1 [C] [D] 1+ x y 1/2 [ C ] ∩ Oy : x = 0 ⇒ y = 1 [ C ] ∩ [ D ] : x = 1 ⇒ y = 1 2 O 1 x 12 1 π 1 1 ⇒ Vy = π dy + π 1 − 1 dy = πy 0 + π [ ln y − y ] 1 2 1 ∫ ∫ 12 y = + π − ln − = π ln 2 0 1 2 2 2 2 227
- 12. hàm và tích phân − Tr n Phương 2 Bài 4. Cho S: x 2 + [ y − b ] ≤ a 2 ; 0 < a ≤ b y B a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox I b b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy A C Gi i D 2 2 2 2 2 2 a. Ta có: x + [ y − b ] ≤ a ⇔ [ y − b ] = a − x -a O a x ⇒ A1 B 2 A2 : y = b + a 2 − x 2 ; A1 B1 A2 : y = b − a 2 − x 2 a 2 2 ∫ [ ] − [b − ] 2 2 2 2 Vx = π b + a − x a −x dx −a a a x 0 a ∫ ∫ 2 2 2 2 = 4πb a − x dx = 8πb a − x dx . t x = asint ⇒ t 0 π/2 −a 0 dx a cost dt π2 π2 ∫ a [1 − sin t ] a cos t dt = 4πa b ∫ 2 cos 2 2 2 2 Vx = 8πb t dt 0 0 π2 π2 ∫ [1 + 2 cos 2t ] dt = 4πa 2 2 2 2 = 4πa b b [ t + sin 2t ] = 2π a b [ ®vtt ] 0 0 2 2 b. Ta có: x 2 + [ y − b ] ≤ a 2 ⇔ x 2 = a 2 − [ y − b ] 2 2 ⇔ B1 A 2 B2 : x = a 2 − [ y − b ] ; B1 A1 B2 : x = − a 2 − [ y − b ] Do các cung B1 A 2 B2 , B1 A1 B2 i x ng nhau qua Oy nên b +a b+a 3 2a3 4πa 3 a 2 − [ y − b ]2 dy = π a 2 y − 1 [ y − b ]3 Vy = π b −a ∫ 3 b −a = π 2a − = 3 3 [ vtt] [ x − 4 ]2 y 2 Bài 5. Cho S là di n tích c a [E]: + =1 4 16 a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy Gi i 228
- 13. tích phân tính di n tích, th tích [ x − 4 ]2 y 2 y 2 [ x − 4 ]2 ⇔ y = 4 4 − [ x − 4] 2 2 a. [E]: + =1⇔ =1− 4 16 16 4 [ E ] ∩ Ox : 4 − [ x − 4 ]2 = 0 ⇔ x = 2; x = 6 2 2 ⇔ ABC : y = 2 4 − [ x − 4 ] ; ADC : y = −2 4 − [ x − 4 ] Do các cung ABC, ADC i x ng nhau qua Ox nên 6 2 6 ∫ [2 ] dx = 4π 4 − [ x − 4 ] d [ x − 4 ] ∫ 2 2 Vx = π 4 − [ x − 4] 2 2 6 [ x − 4 ]3 8 8 128π = 4π 4 [ x − 4 ] − = 4π 8 − + 8 − = [ ®vtt ] 3 2 3 3 3 [ x − 4 ]2 y 2 [ x − 4 ]2 y 2 y b. [E]: + =1⇔ =1− 4 16 4 16 B 4 1 ⇔ [ x − 4] = 2 [16 − y2 ] 4 A C 1 2 O 2 4 6 x ⇔ BAD : x = 4 − 16 − y 2 1 2 BCD : x = 4 + 16 − y -4 2 D 4 1 2 2 1 2 2 4 ∫ ∫ 2 Vy = π 4 + 16 − y − 4 − 16 − y dy = 8π 16 − y dy −4 2 2 −4 π2 y −4 4 t y = 4sint ⇒ t ⇒ Vy = 8π ∫ 16 [1 − sin 2 t ] 4 cos t dt −π/2 π/2 −π 2 dy 4 cost dt π2 π2 π2 = 64π ∫ −π 2 2 cos 2 t dt = 64π −π 2 ∫ [1 + 2 cos 2t ] dt = 6 4π [ t + sin 2t ] −π 2 = 64π2 [ ®vtt ] 2 a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox [ P ] : y = 2x − x Bài 6. Cho S: Ox : y = 0 b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy 229
- 14. hàm và tích phân − Tr n Phương Gi i y a. [ P ] ∩ Ox : 2x − x 2 = 0 ⇔ x = 0; x = 2 1 2 2 2 2 ∫ [ 2x − x ] dx = π∫ [ 4x − 4x + x ] dx 2 3 4 ⇒ Vx = π 0 0 2 4 1 16 O 2 x = π x 3 − x 4 + x 5 = π [ ®vtt ] 3 5 0 15 2 b. [ P ] : y = 2x − x 2 ⇔ [ x − 1] = 1 − y ⇒ OA : x = 1 − 1 − y ; AB : x = 1 + 1 − y y 1 A ⇒ Vy = π 1 + 1 − y dy 2 2 ∫[ 0 ] − [1 − 1− y ] 1 1 1 ∫ ∫ 12 = 4π 1 − y dy = −4π [1 − y ] d [1 − y ] 0 0 B 1 8π 8π O 2 x =− [1 − y ]3 2 = [ ®vtt ] 3 0 3 { Bài 7. Tìm Vx khi quay S: y = cos6 x + sin 6 x ; y = 0; x = 0; x = π 2}quanh Ox. Gi i π2 2 π2 ∫[ ] ∫ [ cos x + sin x ] dx 6 6 6 6 Vx = π cos x + sin x dx = π 0 0 π2 π2 3 = π ∫ [ cos2 x + sin 2 x ] [ cos2 x + sin 2 x ] − 3sin 2 x cos2 x dx = π ∫ 1 − sin 2 2x dx 2 0 0 4 π2 π2 2 3[ ] 5 3 5π =π ∫ 0 1 − 8 1 − cos 4x dx = π 8 x + 32 sin 4x = 16 0 [ ®vtt ] [ P ] : y = x 2 [ x > 0 ] a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox Bài 8. Cho S: [ D1 ] : y = −3x + 10 [ D ] : y = 1 b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy 2 230
- 15. tích phân tính di n tích, th tích y Gi i a. [ D1 ] ∩ [ D 2 ] : −3x + 10 = 1 ⇔ x = 3 4 [ P ] ∩ [ D2 ] : x 2 = 1 ⇒ x = 1 > 0 [P] D1 [ P ] ∩ [ D1 ] : x 2 = −3x + 10 ⇒ x = 2 > 0 ; y = 4 S 1 D2 2 3 = π ∫ [ x − 1] dx + π ∫ [ −3x + 10 ] − 1 dx 4 2 Vx 1 2 3 x O 1 2 2 3 x5 1 [ −3x + 10 ]3 31π 61π = π − x + π ⋅ − x = + 6π = [ ®vtt ] 5 1 −3 3 2 5 5 10 − y b. [ P ] : y = x 2 [ x > 0 ] ⇔ x = y ; [ D1 ] : y = −3x + 10 ⇔ x = 3 4 [10 − y ]2 2 π 4 4 Vy = π ∫ 9 − [ ] y dy = 9 ∫ 2 ∫ [ y − 10 ] d [ y − 10 ] − π ydy 1 1 1 4 π [ y − 10 ] π 3 152π 15π 101π = ⋅ − y2 = − = 9 3 2 1 27 2 54 2 2 y Bài 9. Cho S là di n tích c a [E]: x 2 + 2 = 1 [0 < b < a] a b a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy Gi i y B 2 2 2 2 2 y y b a. [E]: x2 + 2 = 1 ⇔ 2 = 1 − x2 ⇔ y2 = 2 [ a 2 − x 2 ] a b b a a A O x ⇔ BA : y = b a 2 − x 2 ; CA : y = −b a 2 − x 2 a a C Do các cung BA, AC i x ng nhau qua Ox nên a πb2 x3 a a 2 πb2 4πab2 Vx = π ∫[a −a b a −x 2 2 ] dx = 2 [ a − x ] dx = 2 a 2 x − = a −a ∫ 2 a 2 3 −a 3 [ vtt] 231
- 16. hàm và tích phân − Tr n Phương 2 2 2 2 2 y y a b. [E]: x 2 + 2 = 1 ⇔ x 2 = 1 − 2 ⇔ x 2 = 2 [ b 2 − y 2 ] a b a b b y B ⇔ AB : x = a b 2 − y2 b BC : x = −a b 2 − y 2 C A b O x Do các cung AB, BC i x ng nhau qua Oy nên b 2πa 2 2 y3 b b 2 2πa 2 4πa 2 b ∫[ ] dy = a b2 − y2 [ b − y ] dy = 2 b y − = ∫ 2 2 Vy = 2π [ vtt] 0 b b2 0 b 3 0 3 { } Bài 10. Cho S: [ P1 ] : y = 4 − x 2 ; [ P2 ] : y = x 2 + 2 . Tính Vx khi S quay quanh Ox y Gi i 4 [P2 ] [ P1 ] ∩ [ P2 ] : 4 − x 2 = x 2 + 2 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = ±1 1 3 ⇒ V = 2π [ 4 − x ] − [ x + 2] dx 2 2 2 ∫ 2 0 2 1 [P1 ] 1 x 3 = 24π ∫ [1 − x ] dx = 24π x − 2 = 16π [ ®vtt ] 0 3 0 O 2 1 1 2 x Bài 11. Tính th tích kh i tròn xoay t o nên khi cho hình tròn tâm I[2, 0] bán kính R = 1 quay quanh tr c Oy. Gi i y C Phương trình [I, R]: [x − 2]2 + y2 = 1 2 ⇔ [ x − 2 ] = 1 − y2 ⇔ x = 2 ± 1 − y2 A I B O 1 2 3 x ⇒ CA : x = 2 − 1 − y 2 ; BC : x = 2 + 1 − y 2 1 1 ] dy = 16π∫ 2 2 ∫[ ⇒ Vy = 2π 2 + 1 − y 2 ] − [2 − 2 2 1− y 1 − y dy 0 0 π2 π2 ∫ ∫ cos 2 2 t y = sint ⇒ dy = costdt ⇒ Vy = 16π 1 − sin t cos t dt = 16π t dt 0 0 π2 π2 1 = 8π ∫ [1 + cos 2t ] dt = 8π t + sin 2t 2 = 4π [ ®vtt ] 0 2 0 232
- 17. tích phân tính di n tích, th tích Bài 12. Cho S: {[ P ] : y = 2x ; [ D ] : y = 2x + 4} . 2 y Tính Vx khi S quay quanh Ox 8 Gi i [ C ] ∩ [ D ] : 2x 2 = 2x + 4 ⇔ x 2 − x + 2 = 0 ⇒ x = −1 ∨ x = 2 4 2 ⇒ Vx = π [ 2x + 4 ] − 4x dx ∫ 2 4 2 −1 2 x 3π [ 2x + 4 ]3 4πx 5 288 -1 O 2 = − = [ ®vtt ] 2 5 −1 5 x2 27 Bài 13. Cho S: [ P1 ] : y = x2 ; [ P2 ] : y = ; [ H] : y = 27 x Gi i y 2 9 x [ P1 ] ∩ [ P2 ] : x2 = ⇔x =0⇒y =0 27 27 [ P1 ] ∩ [ H] : x2 = ⇔ x3 = 27 ⇔ x = 3 x [P1 ] 2 9 [H] x 27 2 [ P2 ] ∩ [ H] : = ⇔ x3 = 272 ⇔ x = 9 s2 27 x 3 Nhìn vào th ta có: s1 [P2 ] 3 9 9 27 2 x4 ∫ Vx = x 4 dx + 0 ∫ 3 x2 dx − 0 27 2∫dx O 3 6 9 x 5 3 9 9 x 27 2 x5 243 81 1 583 [ = − − 2 = − [ 81 − 243] − − = ®vtt ] 5 0 x 3 27 .5 3 5 5 15 3 27 b. [ P1 ] : x = y ; [ P2 ] : x = 27y ; [ H] : x = [x, y ≥ 0] y 3 9 3 9 2 2 27 2 27 ⇒ Vy = ∫[ 0 27y ] [ ] − y ∫ dy + y − 3 [ ] y ∫ ∫ dy = 26ydy + y − y dy 0 3 9 2 3 1 2 81 9 = 13y + 27 ln y − y = 117 + 27 ln 9 − 27 ln 3 − + = 81 + 27 ln 3 [ ®vtt ] 0 2 3 2 2 233
- 18. hàm và tích phân − Tr n Phương Bài 14. Cho S: {[ C] : y = x, [ D] : y = 2 − x, y = 0} . Tính Vy khi S quay quanh Oy Gi i y [ C] : x = y2 [ y ≥ 0] ; [ D ] : x = 2 − y 2 ⇒ [ C] ∩ [ D ] : y2 = 2 − y ⇔ y2 + y − 2 = 0 [C] ⇔ [x − 1][y + 2] = 0 ⇔ y = 1 ≥ 0 1 1 Vy = π [ 2 − y ] − y 4 dy ∫ 2 0 O 2 x 1 [D] 1 3 y 5 32π = π [ y − 2] − = [ ®vtt ] 3 5 0 15 2 2 Bài 15. Cho [ H ] : x − y = 1 và [D] là ti p tuy n c a [H] i qua A[2, −1] v i 16 4 h s góc dương. Tính th tích kh i tròn xoay t o b i mi n ph ng gi i h n b i [H], [D] và tr c Ox khi quay quanh tr c Oy. Gi i y [D] [D] i qua A[2, −1] nên 1,5 [H] [D]: y = k[x − 2] − 1 O 2 ⇔ [D]: kx − y − [ 2k + 1] = 0 4 16 4 5 x -1 A 5 Ta có: [D] ti p xúc [H] 8 2 2 2 3 ⇔ 16k − 4 = [ 2k + 1] ⇔ 12k − 4k − 5 = 0 5 1 5 8 6 16 ⇔ k= ∨ k = − [lo i] ⇒ [D]: y = x − ⇔ x = y + 6 2 6 3 5 5 2 [ D ] ∩ [ H ] : 4y 2 + 16 = 6 y + 16 ⇔ 4y 2 − 12y + 9 = 0 ⇔ y = 3 ; x = 5 5 5 2 32 232 6y + 16 2 4y3 3 2 ⇒ Vy = π [ 4y + 16] − 0 ∫ 5 dy = π 3 + 16y − 0 36π 25 0 y+ 8 d y+ 8 3 3 ∫[ ] [ ] 3 32 9 36π = π + 24 − 2 75 y+8 3 [ ] 0 = 72π 25 [ ®vtt ] 234
- 19. tích phân tính di n tích, th tích {2 Bài 16. Cho S: [ C ] : y = [ x − 2 ] , [ D ] : y = 4 . } a. Tính Vx khi S quay quanh Ox b. Tính Vy khi S quay quanh Oy Gi i y [P] 2 a. [ P ] ∩ [ D ] : [ x − 2 ] = 4 ⇔ x = 0, x = 4 [D] 4 ⇒ Vx = π 16 − [ x − 2 ] dx ∫ 4 0 S 4 [ x − 2 ]5 256π = π 16x − = [ ®vtt ] 5 0 5 O 2 4 x b. [ P ] : x − 2 = ± y ⇒ AI : x = 2 − y ; IB: x = 2 + y 4 ⇒ Vy = π 2 + y dy 2 2 ∫[ 0 ] − [2 − y ] 4 4 16π 3 2 128π = 8π ∫ 0 ydy = 3 y 0 = 3 [ ®vtt ] y 2 y 2 Bài 17. Cho S: [ P1 ] : x = [ y ≤ 0 ] ; [ P2 ] : x = − + 3y [ y ≤ 2 ] ; [ D ] : x = 4 4 2 a. Tính S b. Tính Vx khi S quay quanh Ox y Gi i [P2 ] 6 2 2 [D] y y 2 y = 0 a. =− + 3y ⇔ y − 4y ⇒ 4 2 y = 4 4 2 y [ P1 ] ∩ [ D ] : = 4 ⇒ y = −4 < 0 2 4 2 O −y y = 2 [ P2 ] ∩ [ D ] : + 3y = 4 ⇒ 4 x 2 y = 4 > 2 S Nhìn vào th suy ra: [P1 ] 0 y2 2 y2 -4 −4 ∫ S = 4 − 4 dy + 4 + 0 2 − 3y dy ∫ 0 2 y 3 y 3 3y 2 16 4 = 4y − + 4y + − = 16 − + 8 + − 6 = 14 [ ®vdt ] 12 −4 6 2 0 3 3 235
- 20. hàm và tích phân − Tr n Phương 2 y b. [ P1 ] : x = [ y ≤ 0 ] ⇔ y = −2 x 4 4 4 2 2 4 ⇒ Vx = π ∫ [ −2 0 x ] dx = 4π x dx = 2πx ∫ 0 0 = 32π [ ®vtt ] y x 2 3 9 Bài 18. Cho S: [ C ] : y = ; [ P] : y = x . 3 Tính Vx khi S quay quanh Ox. Gi i 3 [P] [C] ∩ [ P ] : x = x 2 ⇔ x = 0 x = 3 3 O 2 2 3 3 4 x6 2 3 3 x [C] Vx = π [ x ] − x dx = π x − ∫ dx ∫ 0 3 0 9 3 x5 x7 486 = π − = π [ ®vtt ] 5 63 0 35 { 3 Bài 19. Cho S: [ C ] : y 2 = [ 4 − x ] ; [ P ] : y 2 = 4x . } Tính Vx, Vy khi S quay quanh Ox, Oy y Gi i 2 2 [P] A [ C ] ∩ [ P ] : [ 4 − x ]3 = 4x [C] ⇔ x 3 − 12x 2 + 52x − 64 = 0 S N ⇔ [ x − 2 ] [ x − 5 ] + 7 = 0 2 O 2 4 x ⇔ x = 2 ⇒ y = ±2 2 [ C ] ∩ Ox : [ 4 − x ]3 = 0 ⇔ x = 4 B -2 2 [ P ] ∩ Ox : 4x = 0 ⇔ x = 0 3 3 OA : y = 4x ; AN : y = [ 4 − x ] ; OB : y = − 4x ; BN : y = − [ 4 − x ] Do [C], [P] nh n Ox làm tr c i x ng nên: 2 4 2 4 dx + π∫ [ ] 2 2 2 π ∫[ 4x ] [ 4 − x ]3 4 Vx = π dx = 2πx − [4 − x] = 12π [ ®vtt ] 0 2 0 4 2 2 2 2 y4 2 2 y4 ∫ [ ] 1024 2 3 2 ∫ π [ ®vtt ] 43 23 Vy = 2π 4− y − dy = 2π 16 + y − 8y − dy = 0 16 0 16 35 236
- 21. tích phân tính di n tích, th tích 237