Tài liệu gồm 13 trang, trình bày lý thuyết trọng tâm, các dạng toán và bài tập chuyên đề trung điểm của đoạn thẳng, có đáp án và lời giải chi tiết, hỗ trợ học sinh lớp 6 trong quá trình học tập chương trình Toán 6 phần Hình học chương 1: Đoạn thẳng.
Mục tiêu: Kiến thức: + Nhận biết được khái niệm trung điểm của đoạn thẳng. Kĩ năng: + Vận dụng được tính chất trung điểm của đoạn thẳng và công thức cộng độ dài hai đoạn thẳng để tính độ dài đoạn thẳng. + Chứng minh được một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng.
I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Trung điểm của đoạn thẳng.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Tính độ dài đoạn thẳng. Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng và công thức cộng độ dài hai đoạn thẳng. + Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì 2 AB MA MB. + Nếu điểm M nằm giữa hai điểm A và B thì MA MB AB.
Dạng 2. Chứng minh một điểm là trung điểm của một đoạn thẳng.
Để chứng minh điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB ta cần chứng minh: Cách 1: + Điểm M nằm giữa A và B [hoặc AM MB AB]. + MA = MB. Cách 2:Chứng minh 2 AB MA MB.
Các bài tập luyện thêm về dạng bài Trung điểm của đoạn thẳng…. Bài tập luyện thêm. Trung điểm của đoạn thẳng – Trung điểm của đoạn thẳng
1. Cho đoạn thẳng AB= 8 cm. Gọi M là trung điểm của AB. Trên đoạn AB lấy hai điểm C và D sao cho AC=BD= 3cm.
a] Tính độ dài CD.
b] Điểm M có phải là trung điểm của CD không vì sao?
2. Cho đoạn thẳng AB= 6cm. M là trung điểm của đoạn AB, N là điểm nằm giữa A và M sao cho AN=1cm. Tính độ dài đoạn MN.
3. Trên tia Ox lấy hai điểm A,B sao cho OA=3cm, OB=6cm
a] Điểm A có nằm giữa hai điểm O và B hay không.
b] So sánh OA và OB.
c] Điểm A có phải là trung điểm của OB không? Vì sao?
4. Trên tia Ox lấy hai điểm M, N sao cho OM=6cm, ON =10cm. Gọi I, K là trung điểm của ON và MN. Tính độ dài đoạn IK.
Hướng dẫn – lời giải – đáp số.
1.
a] Điểm D nằm giữa A và B ta có: AD+BD=AB.
=> AD+3=8 => AD= 5 cm.
– C và D cùng thuộc tia AB mà AC CD=2cm.
b] M là trung điểm của AB nên AM= AB: 2= 4cm.
– Trên tia AB có AC< AM[3 AC + CM= AM => 3+ CM= 4 nên CM=1cm.
– Trên tia AB có AM< AD[4 AM+MD=AD => 4+ MD=5 => MD=1cm.
Ta có M nằm giữa C và D vì MC + MD= CD=[1+1=2] đồng thời CM=MD nên M là trung điểm của CD.
2. M là trung điẻm của đoạn AB nên AM= [1:2].AB=3cm.
– N nằm giữa A và M nên AN+ MN=AM => 1+MN=3 => MN=2cm.
3. Vì OA 3+AB= 6cm => AB=3cm. Nên AB=OA=3cm.
c] A nằm giữa O và B và AO = AB nên A là trung điểm của OB.
4. M,N thuộc tia Ox, mà OM OM+MN=ON => 6+ MN=10 => MN =4 cm.
– I là trung điểm của đoạn ON nên NI=[1:2] ON= 5cm.
– K là trung điểm của đoạn MN nên NK= [1:2] MN = 2cm.
– Ta có K nằm giữa hai điểm I và N nên IK + IN= NI => IK + 2=5cm => IK=3cm.
Sau đây là các bài tập TOÁN về TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG dành cho học sinh lớp 6. Trước khi làm bài tập, nên xem lại lý thuyết trong các bài liên quan:
Nên xem:
✨ Trung điểm của đoạn thẳng
Các dạng bài tập thường gặp:
Dạng 1: Nhận biết trung điểm của đoạn thẳng
Bài tập 1.1: Quan sát hình vẽ sau và trả lời các câu hỏi bên dưới:
a] Trung điểm của đoạn thẳng $AC$ là điểm nào?
b] Trung điểm của đoạn thẳng $EA$ là điểm nào?
c] Điểm $C$ là trung điểm của các đoạn thẳng nào?
Bài tập 1.2: Cho hình vẽ sau:
a] Em hãy xác định trung điểm của các đoạn thẳng $AC$ và $MP$
b] Điểm $O$ là trung điểm của các đoạn thẳng nào trong hình vẽ?
c] Đường thẳng $AC$ và đường thẳng $MP$ song song, cắt nhau, hay trùng nhau?
d] Làm sao để kiểm tra xem điểm $O$ có phải là trung điểm của đoạn thẳng $BN$ hay không?
Dạng 2: Tính độ dài liên quan đến trung điểm
Bài tập 2.1: Cho đoạn thẳng $MN$ có $I$ là trung điểm.
a] Nếu $MN = 5\; dm$ thì độ dài đoạn thẳng $MI$ bằng bao nhiêu?
b] Nếu $MI = 3\; m$ thì độ dài đoạn thẳng $MN$ bằng bao nhiêu?
Bài tập 2.2: Cho đoạn thẳng $AB = 10\; cm$ có $M$ là trung điểm.
a] Tính độ dài các đoạn thẳng $AM$ và $BM$
b] Gọi $S$ là một điểm nằm giữa hai điểm $A$ và $M$ sao cho $AS = 3 \;cm$. Gọi $T$ là một điểm nằm giữa hai điểm $B$ và $M$ sao cho $TM = 4\;cm$. Tính độ dài đoạn thẳng $ST$
Bài tập 2.3: Đoạn thẳng $AB$ có $C$ là trung điểm. Gọi $D$ là một điểm nằm giữa hai điểm $B$ và $C$ sao cho $AD = 4\; cm$. Biết $CD = 1\;cm$, hãy tính độ dài đoạn thẳng $AB$.
Bài tập 2.4: Cho đoạn thẳng $AB = 5\; cm$, điểm $C$ nằm giữa $A$ và $B$, các điểm $D$ và $E$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $CB$. Tính độ dài đoạn thẳng $DE$
Dạng 3: Chứng minh
Bài tập 3.1: Cho đoạn thẳng $AB = 15 \;cm$. Gọi $M$ và $N$ là các điểm nằm giữa hai điểm $A$ và $B$ sao cho $AM = 4\;cm$ và $BN = 3\;cm$.
a] Tính độ dài đoạn thẳng $MN$
b] Gọi $S$ là điểm nằm giữa hai điểm $A$ và $B$ sao cho $AS = 8\;cm$. Chứng minh rằng $S$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$
Bài tập 3.2: Cho $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $RS$, các điểm $M, N$ nằm giữa hai điểm $R$ và $S$ sao cho $RM = SN$ [$M, N$ không trùng với điểm $I$]. Em hãy dùng lập luận để chứng tỏ rằng $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$
Đáp án các bài tập:
Dạng 1:
Bài tập 1.1:
a] Trung điểm của đoạn thẳng $AC$ là điểm $B$
b] Trung điểm của đoạn thẳng $EA$ là điểm $C$
c] Điểm $C$ là trung điểm của các đoạn thẳng $AE$ và $BD$
Bài tập 1.2:
a] Trung điểm của đoạn thẳng $AC$ là điểm $B$
Trung điểm của đoạn thẳng $MP$ là điểm $N$
b] Điểm $O$ là trung điểm của các đoạn thẳng $AP$ và $MC$
c] Đường thẳng $AC$ và đường thẳng $MP$ song song nhau.
[Có thể viết bằng ký hiệu là: $AC \;//\;MP$]
d] Muốn biết điểm $O$ có phải là trung điểm của đoạn thẳng $BN$ hay không, ta phải kiểm tra hai điều:
- ba điểm $B, O, N$ có thẳng hàng hay không? [1]
- $OB$ và $ON$ có bằng nhau hay không? [2]
Kiểm tra điều [1]: Đặt thước thẳng sao cho mép [cạnh] thước đi qua cả hai điểm $B$ và $O$. Nếu điểm $N$ cũng nằm trên cạnh đó của thước thì ba điểm $B, O, N$ thẳng hàng. Nếu không thì chúng không thẳng hàng.
Kiểm tra điều [2] bằng cách đo độ dài $BO$ và $ON$
Sau khi tiến hành kiểm tra hai điều trên, ta kết luận rằng $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $BN$
Dạng 2:
Bài tập 2.1: Đoạn thẳng $MN$ có $I$ là trung điểm:
a] Nếu $MN = 5\; dm$ thì:
$$MI = \frac{MN}{2}$$
$$\;\;\;= \frac{5}{2} = 2,5 \;[dm]$$
b] Nếu $MI = 3\; m$ thì:
$$MN = 2\cdot MI$$
$$\;\;\; = 2\cdot 3 = 6\;[m]$$
Bài tập 2.2: Đoạn thẳng $AB = 10\; cm$ có $M$ là trung điểm.
a] Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên:
$$AM = BM = \frac{AB}{2}$$
$$= \frac{10}{2} = 5\;[cm]$$
b] Ta có: $SM = AM – AS = 5 – 3 = 2\;[cm]$
Suy ra: $ST = SM + MT = 2 + 4 = 6\;[cm]$
Bài tập 2.3:
Ta có: $AC = AD – CD = 4 – 1 = 3\;[cm]$
Vì $C$ là trung điểm của $AB$ nên: $AB = 2\cdot AC = 2 \cdot 3 = 6\;[cm]$
Bài tập 2.4:
Vì $D$ là trung điểm của $AC$ và $E$ là trung điểm của $CB$ nên:
$$DC = \frac{AC}{2}$$
$$CE = \frac{CB}{2}$$
Do đó:
$$DE = DC + CE$$
$$= \frac{AC}{2} + \frac{CB}{2} = \frac{AC +CB}{2}$$
$$=\frac{AB}{2} = \frac{5}{2} = 2,5\;[cm]$$
Dạng 3:
Bài tập 3.1:
a] $MN = AB – AM – NB = 15 – 4 – 3 = 8 \;[cm]$
b] Ta có:
$MS = AS – AM = 8 – 4 = 4 \;[cm]$
$SN = MN – MS = 8 – 4 = 4\;[cm]$
Vậy $MS = SN$ [đều bằng $4\;cm$]
Do đó, $S$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$
Bài tập 3.2:
Muốn chứng minh $I$ là trung điểm của $MN$, ta cần chứng minh rằng $IM = IN$
Ta có: $IM = RI – RM$ và $IN = IS – SN$
Mà: $RI = IS$ [vì $I$ là trung điểm của $RS$ theo như đề bài cho]; và $RM = SN$ [theo đề cho]
Do đó: $IM = IN$
Suy ra $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$