QUẢNG CÁO Vài Phút Quảng Cáo Sản Phẩm
Bài tập Xác suất thống kê [Có đáp án]
Mọi ý kiến đóng góp xin gửi vào hòm thư: [email protected]
Tổng hợp các đề cương đại học hiện có của Đại Học Hàng Hải: Đề Cương VIMARU
Kéo xuống để Tải ngay đề cương bản PDF đầy đủ: Sau “mục lục” và “bản xem trước”
[Nếu là đề cương nhiều công thức nên mọi người nên tải về để xem tránh mất công thức]
Đề cương liên quan:BÀI TẬP VỀ CÁC THÌ TRONG TIẾNG ANH
Tải ngay đề cương bản PDF tại đây: Bài tập Xác suất thống kê [Có đáp án]
Câu 1.
Lần I rút 2 lá bài trong bộ bài 52 lá để trên bàn. Lần II rút thêm 2 lá nữa để
trên bàn. Sau đó khoanh NN 2 lá. X là số lá cơ có trong 2 lá khoanh sau
cùng.
a/ Tìm phân phối XS của X
b/ Tính XS trong 2 lá đó chỉ có 1 con cơ.
Giải
Thự c chấ t rút 2 lầ n [2 lá, 2 lá] thì tươ ng đươ ng vớ i rút 1 lần 4 lá.
Gọi Aj là biến cố trong 4 lá có j lá cơ. Aj = 0,1,2,3,4 j=0,1,2,3,4, hệ Aj là 1 hệ đầ y đủ ngoài.Tính P[Aj]
P[ A0 ] = | C0 | C | 4 | 82251 | 6327 | P[ A1 ] = | C1 | C3 | 118807 | 9139 | ||||||||||||||
13 | 39 | = | = | , | 13 | 39 | = | = | , | |||||||||||||||
4 | 270725 | 20825 | 4 | 270725 | 20825 | |||||||||||||||||||
C52 | C52 | |||||||||||||||||||||||
P[ A2 ] = | C 2 | C 2 | 57798 | 4446 | P[ A3 ] = | C3 | C1 | 11154 | 858 | |||||||||||||||
13 | 39 | = | = | , | 13 39 | = | = | , | ||||||||||||||||
4 | 270725 | 20825 | 4 | 270725 | 20825 | |||||||||||||||||||
C52 | C52 | |||||||||||||||||||||||
P[ A4 ] = | C 4 | C 0 | = | 715 | = | 55 | , | P[ A0 ] + P[ A1 ] + P[ A2 ] + P[ A3 ] + P[ A4 ] =1 | ||||||||||||||||
13 | 39 | |||||||||||||||||||||||
4 | 270725 | 20825 | ||||||||||||||||||||||
C52 |
a/ Tìm phân phối XS củ a X= 0, 1, 2. Bây giờ có 4 lá bài trên bàn, rút 2 trong 4 lá. Với X= k= 0,
P[ X = 0] = P[ A ]PéX = 0 | A | ù | + | P[ A ]PéX = 0 | A | ù | + | P[ A ]PéX = 0 | A | ù | + | P[ A ]PéX = 0 | A | ù | + | ||||||||||||||||||||||
0 | ê | ú | 1 | ê | ú | 2 | ê | ú | 3 | ê | ú | ||||||||||||||||||||||||||
ë | 0 | û | ë | 1 | û | ë | 2 | û | ë | 3 | û | ||||||||||||||||||||||||||
é | = | 0 A | ù | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
P[ A4 ]PêX | ú | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ë | 4 | û | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
é | = 0 A | ù | C42 | é | = 0 A | ù | C31 | 3 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||
PêX | ú | = | = 1, | PêX | ú | = | = | = | , | ||||||||||||||||||||||||||||
2 | 2 | 6 | 2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
ë | 0 | û | C4 | ë | 1 | û | C4 | ||||||||||||||||||||||||||||||
é | ù | C22 | 1 | é | ù | é | ù | ||||||||||||||||||||||||||||||
PêX | = 0 A | ú | = | = | , | PêX = 0 A | ú = 0 | , | PêX | = 0 A | ú | = 0 | |||||||||||||||||||||||||
2 | 6 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ë | 2 | û | C4 | ë | 3 | û | ë | 4 | û |
P[X = 0] = 0.3038 + 0.2194 + 0.0356 + 0 = 0.5588
Vớ i X = k tổng quát,
Do ta xét trong 2 lá rút lầ n II có k lá cơ.
é | ù | Cik C42––ik | |||
Ai [4 lá] = [4- i, i lá cơ ] | P | êX = k | A ú | = | |
4 | |||||
ë | i û | C4 |
Suy ra
P[X=1] = 0 + 0.2194 + 0.1423 + 0.0206 + 0 = 0.3824
P[X=2] = 0 + 0.0356 + 0.0206 + 0.0206 + 0.0026 = 0.0588
P[X=3] = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0= 0.0
P[X=4] = 0 + 0 + 0 +0 + 0 + 0= 0.0
Nhận xét: P[X=1]+ P[X=2]+ P[X=3]+ P[X=4]
= 0.5588 + 0.3824 + 0.0588 + 0 + 0= 1
b/ Tính XS trong 2 lá đó chỉ có 1 lá cơ = P[X=1] = 0.3824.
BÀI 3
Gọi Ai là biến cố lầ n I có i lá cơ, i = 0, 1 ,2
C 0 | C 2 | 741 | C1 | C1 | 507 | ||||||||||||
P[A0]= | 13 | 39 | = | P[A1]= | 13 | 39 | = | ||||||||||
C522 | 1326 | C522 | 1326 | ||||||||||||||
C 2 | C | 0 | 78 | ||||||||||||||
P[A2]= | 13 | 39 | = | ||||||||||||||
C522 | 1326 | ||||||||||||||||
Gọ i B là biế n cố lầ n II rút đượ c lá cơ khi lầ n I rút 2 lá cơ
P[ | A | ]= | C111 | = | 11 | |||||||||
A2 | 1 | 50 | ||||||||||||
C50 | ||||||||||||||
Gọ i A là biến cố rút 3 lá cơ | ||||||||||||||
P[A] = P[ A2 ]P[ | A | ] = | 78 | · | 11 | = | 11 | |||||||
1326 | 50 | 850 | ||||||||||||
A2 |
b/ B là biến cố rút lầ n II có 1 lá cơ vớ i không gian đầ y đủ Ai,i=0,1,2
P[B] = P[ A0 ]P[ | B | ] + P[ A1 ]P[ | B | ] + P[ A2 ]P[ | B | ] |
A | A | A | ||||
0 | 1 | 2 |
B | C131 | 13 | B | C121 | 12 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Trong đó P[ | A0 | ] = | = | P[ | A1 | ] = | = | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C501 | 50 | C501 | 50 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P[ | B | ] = | C111 | = | 11 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C501 | 50 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
741 | 13 | 507 | 12 | 78 | 11 | 1 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P[B]= | ´ | + | ´ | + | ´ | = | = 0.25 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1326 | 50 | 1326 | 50 | 1326 | 50 | 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
c/ Ta tính XS đầ y đủ trong | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A | P[ A0 ]P[ | B | ] | 741 | ´ | 13 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P[ | ] = | A0 | = 1326 | 50 = 0.581 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P[B] | 0.25 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A | 507 | ´ 12 | A2 | 78 | ´ | 11 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P[ | 1 | ] | = | = 0.367 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1326 | 50 | P[ | ] = | 1326 | 50 | = 0.052 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0.25 | B | 0.25 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Kì vọng Mx = [-1] ´0.581 + 2 ´0.367 +5 ´0.052 = 0.413
Vậ y trong trò chơ i tôi có lợi.
Bài 4:
Một hộp đựng 5 chai thuốc trong đó có 1 chai giả. người ta lần lượt kiểm tra từng chai cho tới khi phát hiệ n được chai thuốc giả thì thôi[ giả thiết các chai phải qua kiểm tra mới xác định được là thuốc giả hay thật] . Lập luật phân phối xác suất củ a số chai đượ c kiểm tra.
X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | ||||||||||||||||
PX | 0.2 | 0.16 | 0.128 | 0.1024 | 0.4096 |
P[X=1] = 15 = 0,2
P[X=2] = P[ A1.A2 ] = 0,8.0,2 = 0,16
P[X=3] = P[ A1.A2 .A3 ] =0,8.0,8.0,2 = 0,128
P[X=4] = P[ A1.A2 .A3 .A4 ] = 0,8.0,8.0,8.0,2 = 0,1024
P[X=5] = P[ A1.A2 .A3 .A4 .A5 ] =0,8.0,8.0,8.0,8.0,2 = 0,4096
Câu 5:
Ba người cùng làm bài thi. Xác suất làm đượ c bài của sinh viên A là 0,8; củ a sinh viên B là 0,7; củ a sinh viên C là 0,6. Xác suất để có 2 sinh viên làm được bài.
Bài làm:
Gọ i A, B, C lầ n lượ t là xác suấ t làm đượ c bài của 3 sinh viên A, B, C.
D là xác suấ t có 2 sinh viên làm được bài.
A=0,8; B=0,7; C=0,6.
Ta có:
D = [A Ç B Ç C] È [A Ç B Ç C] È [A Ç B Ç C]
P[D] = P[AÇBÇC] + P[AÇBÇC] + P[AÇBÇC]
Vì A, B, C độ c lập nên:
P[D] = P[A].P[B].P[C] + P[A].P[B].P[C] + P[A].P[B].P[C]
- 0,2.0,7.0,6 + 0,8.0,3.0,6 + 0,8.0,7.0,4
Vậ y xác suấ t để có 2 sinh viên làm được bài là : 0,451.
Câu 6.
Chia ngẫu nhiên 9 hộp sữ a [trong đó có 3 hộp kém phẩm chất] thành 3 phần bằng nhau. Xác suất để trong mỗi phần đề u có 1 hộ p sữ a kém chất lượng.
Bài Giải
Gọi Ai là hộ p thứ i có đúng mộ t sả n phẩ m xấu:
C = A1∩A2∩A3 [với i = 3]
Vậ y xác suấ t để trong mỗ i phầ n đều có mộ t sả n phẩ m kém chấ t lượng là:
= | C 2 C1 | C 2 C1 | .1 = | 15.3.6.2 | 9 | ||||||||||
P[C] | = P[A1].P[A2/A1].P[A3/A1∩A2] | 6 | 3 | . | 4 | 2 | = | . | |||||||
3 | C | 3 | 84.20 | 28 | |||||||||||
C | 6 | ||||||||||||||
9 | |||||||||||||||
Một trò chơi có xác suất thắ ng mỗ i ván là 1/50. Nế u mộ tngườ i chơi 50 ván thì xác suất để ngườ i này tháng ít nhất một ván.
Bài giải
Xác suấ t thắ ng mỗi ván: p = 150 = 0.02
Ta có xác suấ t để ngườ i ấ y chơ i 50 ván mà không thắng ván nào:
Goi X là số lầ n thành công trong dãy phép thử Becnuli:
- P[ X = 0] = C500 020 0.9850 = 0.364
- Xác suấ t để người chơ i 50 ván thì thắ ng ít nhấ t một ván là:
P = 1 – 0.364 = 0.6358
Câu 8.
Một phân xưởng có 40 nữ công nhân và 20 nam công nhân. Tỷ l ệ t ốt nghiệp phổ thông đối vớ i nữ là 15%, vớ i nam là 20%. Chọ n ngẫu nhiên 1 công nhân củ a phân xưởng. Xác suất để chọn được công nhân tốt nghiệo phổ thông trung học
Giải:
Số công nhân củ a phân xưở ng tố t nghiệ p trung họ c phổ thông là:
Đố i vớ i nữ: 40×15% = 6 người
Đố i với nam: 20×20% = 4 người
Tổng số công nhân tốt nghiệp phổ thông trung họ c củ a phân xưởng là:
6 + 4 = 10 người
Xác suấ t để chọ n đượ c công nhân tố t nghiệ p trung họ c phổ thông là:
C101 = 10 = 1
C601 60 6
Bài 9
Trong hộp I có 4 bi trắng và 2 bi đen ,hộp II có 3 bi trắng và 3 bi đen .Các bi có kích cỡ như nhau chuyển 1 bi từ h ộp II sang hộ p I ,sau đó lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp I .Xác suất để l ấy ra bi trắng.
Giải
Gọi
A1: là bi trắ ng lấ y từ hộ p II sang hộp I
A2 : là bi đen lấ y từ hộ p II sang hộp I
- : lấ y viên bi cuối cùng là bi xanh Áp dụ ng cong thứ c xác suấ t đầ y đủ
P[C]= P[A1].P[ C/A1]+P[A2].P[C/A2]
P[A1]= 12
P[A2] = 12
P[C/A1]= 73
P[C/A2]= 75
P[C]= 12.73 + 12.75 =148 = 74
BÀI 10
Gọi Ai la phầ n i có 1 bi đỏ . A là bc mỗ i phầ n có 1 bi đỏ
A2 | A3 | C1C3 | · | C1C3 | ·1=0.2857 | |||||
A=A1A2A3==> P[A1A2A3] = P[A1]P[ | ]P[ | ]= | 3 | 9 | 2 | 6 | ||||
A1 | A1 A2 | C 4 | C4 | |||||||
12 | 8 |
Bài 11:
Một lô hàng do 3 nhà máy I, II, III sả n xuấ t. tỷ lệ sả n phẩm do 3 nhà máy sản xuất lần lượt là 30%, 20%, 50% và tỉ lệ phế phẩm tương ứng là 1%, 2%, 3%. chọn ngẫu nhiên sản phẩm từ lô hàng. Xác suất để sản phẩm này là phế phẩm?
Bài giải:
Gọi: A là biến cố sả n phẩm đượ c chọ n là phế phẩm.
Bi sả n phẩ m đượ c chọ n do nhà máy thứ i sả n xuất [ i = 1, 2, 3]
Vì chỉ lấ y ngẫ u nhiên 1 sả n phẩm nên có { B1, B2, B3} là mộ t hệ đầ y đủ . Theo gải
thiết ta có: | P[B1] = | 3 | |||||||||||||||
10 | |||||||||||||||||
P[B2] = | 2 | ||||||||||||||||
10 | |||||||||||||||||
P[B3] = | 5 | ||||||||||||||||
10 | |||||||||||||||||
Áp dụ ng công thứ c xác suấ t toàn phầ n ta được: | |||||||||||||||||
3 | 3 | 2 | 5 | ||||||||||||||
P[A] = å P[Bi ].P[ A / Bi ] = | .0,01 + | .0,02 + | .0,03 = 0,022 | ||||||||||||||
10 | 10 | 10 | |||||||||||||||
i=1 |
Câu 12:
Có 3 hộp thuốc, hộp I có 5 ống tốt và 2 ống xấu, hộp II có 4 ống tốt và
- ống xấu, hộp III có 3 ống tốt và 2 ống xấu . Lấy ngẫu nhiên 1 hộp và từ đó rút ra 1 ống thuốc thì được ống tốt . Xác suất để ống này thuôc hộp II.
Bài làm:
Gọi Ai là biến cố chọ n hộ p thứ i [i = 1,3] . B là biến cố chọ n 1 ống tốt.
Vậ y xác suấ t để B thuộ c hộp II là:
P[A2 | ] = | P[A2 ÇB] | |
B | P | ||
[B] |
Trong đó:
+ | P[A2 ÇB] | = P[A2 ] | .P[ B | A2 | ] = | 1 | . | 3 | = | 4 | . | ||
2 | 4 | ||||||||||||
ü | 15 | ||||||||||||
ý |
+ Ta có: A , A , A độ c lập
1 2 3 þ
A1 Ç A2 Ç A3 = W , {A1 , A 2 , A3 } là hệ đầ y đủ.
Áp dụ ng công thứ c xác suấ t đầ y đủ ta có:
P[B] = P[A1].P[ BA1] + P[A2 ].P[ BA2 ] + P[A3].P[ BA3]
1 æ | 5 | + | 4 | + | 3 ö | 74 | ||||||||||||||
ç | ÷ | |||||||||||||||||||
= | 3 | 7 | 5 | 5 | = 105 . | |||||||||||||||
è | ø | |||||||||||||||||||
P | A | = | P[A2 ÇB] | = | 415 | = | 14 | × | ||||||||||||
] | P | 74 | ||||||||||||||||||
2 | 37 | |||||||||||||||||||
[ | B | 105 | ||||||||||||||||||
[B] |
Vậ y xác suấ t để ố ng thuố c đượ c lấ y ra thuộ c hộp II là: 1437 ×
Câu 13.
Trong một lô hàng có 800 sản phẩm loại 1 và 200 sản phẩm loại 2. Lấy ngẫu nhiên ra 5 sản phẩm có hoàn lại . Gọi X là số sản phẩm loại 1 lấy được.
- X tuân theo quy luật nào? Viết biểu thức xác suất tổng quát của quy luật.
- Tính kỳ vọng và phương sai cua X.
- Tìm số sản phẩm trung bình được lấy ra và tính khả năng để xảy ra điều đó.
Bài Giải
- a] X tuân theo luật phân phối nhị thức.
Biểu thức tổng quát
- được gọi là có phân phối nhị thức ký hiệu là X : b[ n,p] Có hàm xác suất:
Với | P [ X = k ] = C nk .p k .qn –k [ q = 1- p ] | ||
k = | { | } | , p Î [0;1] |
0,1, 2,…, n |
- Kỳ vọng và phương sai của X Kỳ vọng:
X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
PX | 0,0062 | 0,0508 | 0,2050 | 0,4106 | 0,32686 |
7 | 8 | 6 | 3 |
E[X]= 1.0,00627+2.0,05088+3.0,20506+4.0,41063+5.0,32686
=4,00003
Phương sai:
PX 2 | 0,0062 | 0,0508 | 0,2050 | 0,4106 | 0,32686 |
7 | 8 | 6 | 3 |
E[X2 ]= 1.0,00627+4.0,05088+9.0,20506+16.0,41063+25.0,32686 =16,79691
D [ X ] = E [ X 2 ] – [E [ X ]]2 = 16,79691- [4,00003]2 = 0,79667
Bài 14:
Ba công nhân cùng làm ra mộ t loạ i sả n phẩ m, xác suấ t đề người thứ 1, 2, 3 làm ra chính phẩ m tư ng ứng là 0.9, 0.9, 0.8. Có mộ t ngườ i trong đó làm ra 8 sả n phẩm thấ y có 2 phế phẩ m. Tìm XS để trong 8 sả n phẩ m tiếp theo cũng do người đó làm ra sẽ có 6 chính phẩm.
Bài giải
Gọi Ai là các sả n phẩm do công nhân thứ i sả n xuất, i = 1, 2, 3
P[A]= P[A1]P | æ A | ö | + P[A2]P | æ A | ö | + P[A3]P | æ A | ö | |||||||
è | A1 ø | è | A2 ø | è | A3 ø | ||||||||||
ç | ÷ | ç | ÷ | ç | ÷ | ||||||||||
= | 1 | C86 [0.9]6 | [0.1] | 2 + | 1 | C86 [0.9] | 6 [0.1]2 + | 1 | C86 | [0.8]6 [0.2]2 = 0.2 [*] | |||||
3 | 3 | 3 | |||||||||||||
Sau khi A xả y ra, xác suấ t củ a nhóm đầ y đủ đã phân bố lạ i như sau, biể u thức [*] cho
ta P | æ | A | ö | = 0.248 | » | 0.25, tươ ng tự P | æ | A | ö | = 0.248 | » | 0.25, |
ç | ÷ | ç | ÷ | |||||||||
è | A1 ø | è | A2 ø |
tươ ng tự P | æ | A | ö | = 0.501 | » | 0.5 |
ç | ÷ | |||||
è | A3 ø |
Gọ i B là biế n cố 8 sả n phẩm tiế p theo cũng do công nhân đó sả n xuấ t và có 2 phế phẩm.
P[B] = | æ A | A | ö | æ | ö | + | æ | A A | ö | æ | ö | + | æ A | A | ö | æ | ö | |||
Pç | ÷Pç B AA | ÷ | Pç | ÷Pç B AA | ÷ | Pç | ÷Pç B AA | ÷ | ||||||||||||
è | 1 | ø | è | 1 | ø | è | 2 | ø | è | 2 | ø | è | 3 | ø | è | 3 | ø |
- 25 ´ C86 [0.9]6 [0.1]2 + 0.25 ´ C86 [0.9]6 [0.1]2 + 0.25 ´ C86 [0.8]6 [0.2]2 = 0.23
Câu 15 :
Luậ t phân phố i củ a biến [X, Y] cho bở i bảng:
20 | 40 | 60 | |||||||
Y | |||||||||
X | |||||||||
10 | λ | λ | 0 | ||||||
20 | 2λ | λ | λ | ||||||
30 | 3λ | λ | λ | ||||||
Xác định λ và các phân phối X, Y? | |||||||||
Các phân phối X, Y: | |||||||||
X | 10 | 20 | 30 | ||||||
PX | 2 λ | 4 λ | 5 λ |
Y | 20 | 40 | 60 |
PY | 6 λ | 3 λ | 2 |
λ |
Xác định λ:
11 λ = 1 Þ λ = 1/11
Câu 16.
[X,Y] là cặp BNN có hàm mật độ đ ồng thời:
ì6 – x – y
ï ,0 < x < 2,2 < y < 4
f [ x, y]í 8
ïî0
Tính P[11-a = 99% => a = 0, 01
Vậ y khoả ng tin cậy [53,9; 57,7]=>ta = 2,976
Biết 1-a => a ¾¾®ta
C
n-1
14
Sao cho
p éT
£ tn-1
ù = 1-a
ë
n-1
a
û
Suy ra
m1 =
– tan–1
s
=55,8 – 2,976
2,
44
= 53,9
xn
n
15
m
=
+ tn-1
s
2, 44
= 57, 7
2
x
= 55,8 + 2,976
n
a
n
15
Tải xuống tài liệu học tập PDF miễn phí