Bài toán so sánh xác suất giáo trình năm 2024
|
Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán học là môn học được đưa vào giảng dạy ở hầu hết các trường đại học và cao đẳng, bởi Xác suất Thống kê XSTK là công cụ để giải quyết các vấn đề chuyên môn của rất nhiều lĩnh vực. Nhưng XSTK cũng là món toàn khó. Rất dễ bị nhầm lẫn, bị sai khi giải các bài toán về XSTK nếu người giải phân tích vấn đề không chặt chẽ, chính xác. Không ít người khi học môn XSTK rơi vào tình trạng lung túng khi xem hai cách giải khác nhau, trong đó có cách giải sai, nhưng không phân biệt được, và nói chung là nghe giảng thế nào thì biết như thế. Để giúp bạn đọc nhanh chóng tìm được cách giải đúng của các bài toán XSTK, theo gợi ý của một số đồng nghiệp, tôi biên soạn cuốn "Hướng dẫn giải các bài toán Xác suất Thống kê". Trong mỗi vấn đề, tôi nêu một số nhận xét mang tỉnh chất kinh nghiệm nhưng lại là chìa khoá để nhận biết ra cách giải chúng, cũng như một số sai lầm mà người học hay mắc phải, để giúp bạn đọc phân biệt được và biết giải các bài toán với các ngữ cảnh khác nhau nhưng thực chất chúng thuộc cùng một mô hình. Các bài toán ở mức độ khó đối với người học XSTK ở mức độ 45 – 60 tiết sẽ được đánh dấu * Để hiểu được các điều viết ở cuốn sách này, đòi hỏi bạn đọc đã phải học các phần lý thuyết tương ứng. Để sử dụng cuốn sách này một cách có hiệu quu, bạn đọc cần đọc kỹ phần hướng dẫn, hiểu được các ví dụ, vì đó là các bài toàn mẫu, sau đó phải làm bài tập. Khi làm bài tập bạn đọc như vận dụng theo phần hướng dẫn và theo như các ví dụ, thì bạn đọc sẽ khắc phục được nhiều điều lùng tùng không đáng có và sẽ biết giải các bài toán XSTK một cách tự tin. Cuốn sách được viết với sự động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện của Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội. Tác giả xin được nói lời cám ơn sâu sắc. Tác giả bày tỏ lời cảm ơn GS.TS. Nguyễn Văn Hữu và TS. Phan Viết Thư đã đọc và cho những đánh giá quý báu. Cuốn sách được ra mắt bạn đọc là nhờ sự giúp đỡ tích cực và hiệu quả của Nhà xuất bản, đặc biệt là Ban biên tập, mà tác giả muốn nói lời cảm ơn chân thành. Vì khả năng có hạn, giáo trình khó tránh khỏi sai sót, tác giả rất mong nhận được sự góp ý của bạn đọc để cuốn sách được thêm hoàn thiện. KC JÜC đ] Vàl sut tfjn gå ká ot b pfj l` thàj fl, jnfcåj lu làlfcj tƱjn jnu jfcåj vá lü pfo vc jn djn rjn rìc trhjn gfh`fl lţjn jfƱ tfl tcj. Fcj j`y, Vàl sut tfjn gå ká oôj fltful gfc gfh` fl lƠ bj ĐƱl ncjn dy fu ft tc làl trƱjnĐc fl, l`h Đjn tråj tháj qul.Fl pfj Vàl sut tfjn gå b`h no f`c jc dujn lfïjf ká kÿtfuyt xàl sut vá tfjn gå thàj. Ol Đïlf l` kÿ tfuyt xàl sutká jnfcåj lu quy kut l` làl fcj tƱjn jnu jfcåj vá pfâj tïlfĐ rõt r` làl quy kut vá gf jČjn xut fcj làl fcj tƱjn Đü.Jf váh jn djn l` kÿ tfuyt xàl sut, tfjn gå thàj jnfcåjlu làl pfƱƠjn pfàp tfu tfp vá pfâj tïlf d kcu Đ gfào pfàr` làl trc tfl vá tfôjn tcj lòj j jàu. Tfjn gå thàj Đì ĐƱljn djn rjn rìc trhjn làl kģjf vl jfƱ5 Gcjf t, \cjf fl, Vìfc fl,... ‛Ncàh trëjf Vàl sut tfjn gå‟ ĐƱl bcåj shj tfmh lfƱƠjntrëjf Đáh th L jfâj \Ʊ pfo \cjf fl l` TrƱjn đc fl \Ʊ pfo - đc fl đá Jjn vc tfc kƱjn < tïj lf (4= tct). Jnhácr`, ncàh trëjf lţjn lü tf ĐƱl s djn Đ ncjn dy làl fl pfjVàl sut tfjn gå 2 tïj lf l` làl jnájf Đáh th gfàl l` trƱjn.Jc dujn ncàh trëjf no 6 lfƱƠjn. LfƱƠjn 0 ncc tfcu làl gcjtfl v kÿ tfuyt xàl sut. LfƱƠjn 2 ncc tfcu v gfàc jco bcjjnu jfcåj vá làl Đjf kÿ ncc fj, trhjn Đü Kut s kj vá đjfkÿ ncc fj trujn tâo ká làl Đjf kÿ qu`j trjn trhjn jn djn <
nhiên. A, B, C, D
không gian mẫu
ứng với tập con rỗng của
A kéo theo B A B
A B (hay AB)
A B (hay A + B)
A Ω \ A 1 Phần Xác suất thì đa số các lớp học theo giáo trình G 1 (xem Tài liệu tham khảo), rất ít lớp học theo giáo trình G 2 hoặc G 4. 2 So với chương 2 và chương 3 của phần Xác suất thì bài tập của chương 1 khó hơn và hay nhầm lẫn. Bài tập chương 1 thường ra vào các dạng: phép thử lặp Bernoulli, xác suất có điều kiện, công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes hoặc kết hợp các dạng này với nhau trong cùng một bài toán. Hoàng Văn Trọng – 0974.
AB = e) Biểu diễn một số biến cố thường gặp: Gọi: A = “Hiện tượng 1 xảy ra” B = “Hiện tượng 2 xảy ra” C = “Hiện tượng 3 xảy ra” Thì: ABC: Cả ba hiện tượng cùng xảy ra. A B C: Cả ba hiện tượng cùng không xảy ra. A B C: Có ít nhất một hiện tượng xảy ra. AB BC CA: Có ít nhất hai hiện tượng xảy ra. AB BC CA: Có ít nhất hai hiện tượng không xảy ra. AB C ABCAB C: Chỉ có một hiện tượng xảy ra. A B C: Chỉ có hiện tượng 1 xảy ra.
Xác suất của biến cố là một giá trị đo lường khả năng xuất hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên. Ký hiệu xác suất của biến cố A là: P(A) Tính chất: 0 P(A) 1 P () = 0 P () = 1
Trong đó: A là số lượng các biến cố sơ cấp có lợi cho A là tổng các biến cố sơ cấp của không gian mẫu Để áp dụng công thức xác suất cổ điển phải thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: Tổng số các biến cố sơ cấp là hữu hạn. Các biến cố sơ cấp có cùng khả năng xảy ra. 1 Cách tính xác suất trong môn học này chủ yếu là theo trường phái cổ điển. ΩAP(A) Hoàng Văn Trọng – 0974.
(hay công thức xác suất toàn phần hay công thức xác suất tiền nghiệm)
B 1 B 2 ... Bn = BiBj = nếu i j
n i 1 i i n i 1 P(H) P(HBi ) P(H|B).P(B)
(hay công thức xác suất hậu nghiệm) Nếu hệ biến cố {B 1 , B 2 ,..} là một hệ đầy đủ và P(H) > 0 thì: n i 1 i i k k k k P(H|B).P(B ) P(H|B ).P(B )P(H)P(HB ) P(B |H) (với 1 ≤ k ≤ n)
(Mở đầu về lý thuyết xác suất và các ứng dụng, Đặng Hùng Thắng, trang 37) Bài 1/37: Gieo đồng thời 2 con xúc xắc. Tìm xác suất để:
Tổng số kết quả có thể xảy ra là: 6 = 36 Có 6 kết quả có tổng bằng 7 là: (1, 6); (6, 1); (2, 5); (5, 2); (3, 4); (4, 3) Xác suất để tổng số nốt bằng 7 là: 36 6 6 1
Xác suất để tổng số nốt bằng 8 là: 36 5
Có 8 kết quả mà số nốt hơn kém nhau 2, bao gồm: Hoàng Văn Trọng – 0974. (1,3); (3,1); (2, 4); (4, 2); (3, 5); (5, 3); (4, 6); (6, 4) Xác suất để số nốt hơn kém nhau 2 là: 36 892 Bài 2/37: Một khách sạn có 6 phòng đơn. Có 10 khách đến thuê phòng trong đó có 6 nam và 4 nữ. Người quản lý chọn ngẫu nhiên 6 người. Tìm xác suất để trong đó:
Tổng số kết quả có thể xảy ra:C 610 210 Số kết quả thuận lợi:C 66 .C 04 1 Xác suất để 6 người đều là nam: 210 1
21090210C 46 .C 24 7 3
Xác suất có nhiều nhất 1 nữ: 210 25210C .C210C 04 .C 661456 Xác suất có ít nhất 2 nữ: 210 185 210 25 1 42 37 Bài 3/37: Một công ty cần tuyển 2 nhân viên, có 6 người nộp đơn trong đó có 2 nam và 4 nữ. Biết rằng khả năng được tuyển của mỗi người là như nhau.
6 C C .C 2 6 2 4 0 2 5 2 1 Xem lại kiến thức giải tích tổ hợp ở phần “Phụ lục P”, trang 189 Hoàng Văn Trọng – 0974. Xác suất để tích 2 số là một số chẵn: 18 5 1 18 13 Bài 5/37: Ở một nước có 50 tỉnh, mỗi tỉnh có hai đại biểu Quốc hội. Người ta chọn ngẫu nhiên 50 đại biểu trong số 100 đại biểu để thành lập một Ủy ban. Tính xác suất để:
Xác suất để không có đại biểu của Thủ đô: 0, C C .CP( A) 50 100 50 98 0 2 Xác suất có ít nhất một đại biểu của Thủ đô:P(A) 1 P(A) 0,
B = “Mỗi tỉnh có đúng một đại biểu trong Ủy ban” Số cách chọn mỗi tỉnh một đại biểu:C 1 2 .C 12 .... 12 (50 số hạng) Xác suất cần tìm: 50 100 1 2 1 2 1 2 C C .C ....P(B) 50 100 50 C 214 1 , 116. 10 Bài 6/38: Trong tuần lễ vừa qua ở thành phố có 7 tai nạn giao thông. Xác suất để mỗi ngày xảy ra đúng một tai nạn là bao nhiêu? Mỗi một tai nạn giao thông có thể rơi vào 1 trong 7 ngày trong tuần. Số cách xảy ra của 7 tai nạn giao thông trong tuần: 7 7 cách Số cách xảy ra đúng 1 tai nạn giao thông trong mỗi ngày: 7! cách Xác suất để mỗi ngày xảy ra đúng một tai nạn giao thông: 777! 0 , 00612 Bài 7/38: Một đoàn tàu có 4 toa đỗ ở một sân ga. Có 4 hành khách từ sân ga lên tàu, mỗi người độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để một toa có 3 người, một toa có 1 người còn hai toa còn lại không có ai lên. Hướng dẫn: Chọn người xong rồi chọn toa. Đầu tiên chọn nhóm 3 người, tiếp theo chọn toa tàu cho nhóm này, người cuối cùng thì chọn trong các toa còn lại. Mỗi người có 4 lựa chọn toa tàu. Tổng số kết quả có thể xảy ra là: 44 = 256 Đầu tiên, chọn 3 trong số 4 người: C 3 4 cách. Hoàng Văn Trọng – 0974. Có 4 cách chọn toa tàu cho nhóm 3 người trên. Người thứ tư có 3 cách chọn trong ba toa còn lại. Xác suất để một toa có 3 người, một toa có 1 người và hai toa còn lại không có ai lên: 25648256C 34 .4. 3163 Bài 8/38: Một máy bay có ba bộ phận A, B, C với tầm quan trọng khác nhau. Máy bay sẽ rơi khi có hoặc một viên đạn trúng vào A, hoặc hai viên đạn trúng B, hoặc ba viên đạn trúng C. Giả sử các bộ phận A, B và C lần lượt chiếm 15%, 30% và 55% diện tích máy bay. Tìm xác suất để máy bay rơi nếu:
D = “Máy bay rơi” Máy bay rơi khi có ít nhất 1 viên trúng bộ phận A hoặc cả hai viên trúng B:
nào trúng A): 1 ( 0 , 3 0 , 55 ) 2 0 , 2775
Xác suất để máy bay rơi: P(D) = 0,2775 + 0,09 = 0 , 3675
Máy bay không rơi chỉ khi 1 viên trúng B và 2 viên còn lại phải trúng C. Xác suất để máy bay không rơi:
Xác suất để máy bay rơi: P(D) = 1 – 0,27225 = 0 , 72775 Bài 9/38: Trong một thành phố nào đó 65% dân cư thích xem đá bóng. Chọn ngẫu nhiên 12 người, hãy tính xác suất để trong đó có đúng 5 người thích xem đá bóng. Hướng dẫn: Tỷ lệ người dân thích xem bóng đá là 65% nên khi chọn ngẫu nhiên một người thì xác suất để người đó thích xem bóng đá là 0,65. Chọn ngẫu nhiên 12 người tương đương với 12 phép thử lặp Bernoulli. Xác suất để có đúng 5 người thích xem bóng đá trong 12 người được chọn ngẫu nhiên: P 5 (12;0,65) C 125 .0,65 5 .(10,65) 7 0, Hoàng Văn Trọng – 0974.
Ta có: 5x – 12 < 0 5x < 12 x < 2,4. Vậy để bị điểm âm thì học sinh chỉ làm đúng nhiều nhất 2 câu. Xác suất để học sinh làm đúng 0, 1, 2 câu lần lượt là: P 0 (12;0,2)C 012 .0,2 0 .(10,2) 12 0, P 1 (12; 0,2)C 112 .0,2 1 .(10,2) 11 0, P 2 (12;0,2)C 122 .0,2 2 .(10,2) 10 0, Xác suất để học sinh bị điểm âm: 0,0687 + 0,2062 + 0,2835 = 0 , 5584 Bài 12/39: Gieo ba con xúc xắc cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để:
Tổng số kết quả có thể xảy ra: 6 3 = 216 a) Xác suất tổng số nốt xuất hiện là 8 biết rằng ít nhất có một con ra nốt 1: A = “Tổng số nốt xuất hiện là 8” B = “Có ít nhất một con ra nốt 1” Do đó: AB = “Tổng số nốt xuất hiện là 8 trong đó có một con ra nốt 1” Số kết quả thuận lợi cho biến cố AB: (1, 2, 5) và 5 hoán vị khác nữa (1, 3, 4) và 5 hoán vị khác nữa (1, 1, 6) và 2 hoán vị khác nữa 216152166 6 3P(AB) Biến cố B là biến cố đối của biến cố: “Không có con nào ra nốt 1” 2169165P(B) 1 3 Vậy: 216 91:21615P(B)P(AB)P(A |B)9115
Hoàng Văn Trọng – 0974.
216 60 P(CD) Mà: 216 120216AP(D) 3 6 (lấy 3 con khác nhau trong số 6 con, có tính đến thứ tự) 216120:21660P(D)P(CD)P(C) 2 1 Bài 13/39: Một gia đình có hai đứa con. Tìm xác suất để cả hai đều là con trai nếu biết rằng ít nhất trong hai đứa có một đứa là trai. A = “Cả hai đứa là con trai” B = “Ít nhất một trong hai đứa là con trai” Ta có: P(AB) = P(A) (vì A B) = 0,5 2 = 0, P(B) = 1 – 0,5 2 = 0,75 (B là biến cố đối của biến cố: “cả hai đứa là con gái”) Vậy xác suất để cả hai đứa là con trai nếu biết rằng ít nhất một trong hai đứa là con trai: 0,0,P(B)P(AB)P(A |B) 3 1 Bài 14/39: Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng (sinh đôi thật) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (sinh đôi giả). Các cặp sinh đôi thật luôn có cùng giới tính. Cặp sinh đôi giả thì giới tính của mỗi đứa độc lập với nhau và có xác suất 0,5 là con trai 1. Thống kê cho thấy 34% cặp sinh đôi đều là trai, 30% cặp sinh đôi đều là gái và 36% cặp sinh đôi có giới tính khác nhau.
Gọi: A = “Cặp sinh đôi thật” (cùng trứng) B = “Cặp sinh đôi có cùng giới tính” 1 Đối với bài dạng công thức xác suất đầy đủ thì nên vẽ sơ đồ cây để giải cho đơn giản. Hoàng Văn Trọng – 0974. Mà: P(HA) P(HA|C).P(C)P(HA|C).P(C ) (xác suất của biến cố HA còn phụ thuộc vào việc lần bắt thứ nhất từ chuồng II sang chuồng I là thỏ trắng hay đen). Do đó: 160 100 16 10 10 7 . 16 10 10 3 . 16 10 P(HA) Tương tự: P(HB) P(HB|C).P(C)P(HB|C).P(C ) 160 3 10 7 0. 10 3 . 16 1 Xác suất để con thỏ trắng bắt ở lần thứ hai là của chuồng I: 1603160100160100P(HA) P(HB)P(HA)P(H)P(HA)P(A|H) 103 100 Bài 16/39: Một chuồng gà có 9 con mái và 1 con trống. Chuồng gà kia có 1 con mái và 5 con trống. Từ mỗi chuồng ta bắt ngẫu nhiên ra một con đem bán. Các con gà còn lại được dồn vào một chuồng thứ ba. Nếu ta lại bắt ngẫu nhiên một con gà nữa từ chuồng này ra thì xác suất bắt được con gà trống là bao nhiêu? Hướng dẫn: Xác suất bắt được gà trống ở chuồng III còn phụ thuộc vào hành động bắt trước đó ở chuồng I và chuồng II. Khi bắt ở hai chuồng I và II thì có các khả năng xảy ra: bắt được hai con trống, bắt được hai con mái, bắt được 1 trống 1 mái. Gọi: A 1 = “Bắt được con trống ở chuồng I” B 1 = “Bắt được con mái ở chuồng I” A 2 = “Bắt được con trống ở chuồng II” B 2 = “Bắt được con mái ở chuồng II” H = “Bắt được con trống ở chuồng III” Xác suất bắt được 2 con trống từ hai chuồng I và II: P(A 1 A 2 ) P(A 1 ).P(A 2 ) (việc bắt gà ở mỗi chuồng là độc lập với nhau) 60 5 6 5 . 10 1 Chuồng I Trống Mái 1 / 10 9 / 10 Chuồng II Trống Mái 5 / 6 1 / 6 Hoàng Văn Trọng – 0974. Xác suất bắt được 2 con mái từ hai chuồng I và II: 60 9 6 1 . 10 9 P(B 1 B 2 )P(B 1 ).P(B 2 ) Xác suất bắt được 1 trống 1 mái từ hai chuồng I và II: 60 46 60 9 60 5 P(A 1 B 2 )P(A 2 B 1 ) 1 P(A 1 A 2 )P(B 1 B 2 ) 1 Xác suất để bắt được con gà trống từ chuồng III: P(H) P(HA 1 A 2 )P(HB 1 B 2 )P(HA 1 B 2 )P(HA 2 B 1 ) 105 38 60 46 . 14 5 60 9 . 14 6 60 5 . 14 4 0 , 3619 Bài 17/39: Một chiếc máy bay có thể xuất hiện ở vị trí A với xác suất 2/3 và ở vị trí B với xác suất 1/3. Có ba phương án bố trí 4 khẩu pháo bắn máy bay như sau: Phương án I: 3 khẩu đặt tại A, 1 khẩu đặt tại B. Phương án II: 2 khẩu đặt tại A, 2 khẩu đặt tại B. Phương án III: 1 khẩu đặt tại A và 3 khẩu đặt tại B. Biết rằng xác suất bắn trúng máy bay của mỗi khẩu pháo là 0,7 và các khẩu pháo hoạt động độc lập với nhau, hãy chọn phương án tốt nhất. Hướng dẫn: Phương án tốt nhất là phương án cho xác suất bắn trúng máy bay cao nhất. Ứng với mỗi phương án, áp dụng công thức xác suất đầy đủ để tính xác suất bắn trúng máy bay. |
