Trong chương trình học, tìm m để hàm số đơn điệu là dạng toán tương đối khó. Tuy nhiên, nếu các em nắm vững phương pháp thì việc xử lý các dạng toán này sẽ trở nên dễ dàng. Bài viết dưới đây, chúng ta sẽ tìm hiểu các dạng toán tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng liên quan đến 2 hàm số quen thuộc trong chương trình Toán học. Đó là hàm bậc 3 và hàm phân thức.
1. Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến
Giả sử hàm số có đạo hàm trên
• Nếu với mọi và chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên .
• Nếu với mọi và chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên .
» Xem thêm: Hàm số đồng biến, nghịch biến là gì? Định nghĩa và cách xác định
2. Tìm m để hàm số bậc ba đồng biến [hoặc nghịch biến] trên tập xác định
*Phương pháp giải:
- Bước 1. Tập xác định
- Bước 2. Tính đạo hàm
- Bước 3.
◦ Hàm số đồng biến trên
◦ Hàm số nghịch biến trên
Chú ý: Nếu a có chứa tham số thì xét thêm trường hợp a = 0
Ví dụ 1. Cho hàm số [với là tham số]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của để hàm số nghịch biến trên ?
- 0.
- 6.
- 5.
- 7.
Lời giải
Tập xác định: .
.
Hàm số nghịch biến trên
[ Các em có thể dùng Δ]
Mà . Vậy 7 có giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.
⇒ Chọn D
Ví dụ 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số đồng biến trên .
B.
Lời giải
Tập xác định:
Ta có: .
Hàm số đồng biến trên
.
⇒ Chọn A
Ví dụ 3. Có bao nhiêu giá trị nguyên để hàm số đồng biến trên
- 0.
- 1.
- 2.
- 3.
Lời giải
Tập xác định:
Trường hợp 1:
+ Với ,
[không thỏa]
⇒ loại .
+ Với ,
[thỏa]
⇒ nhận .
Trường hợp 2: .
Ta có
Khi đó, Hàm số đồng biến trên
Vậy, từ hai trường hợp trên ta được .
Mà . Vậy có 2 giá trị nguyên của thỏa mãn đề bài.
⇒ Chọn C
3. Tìm m để hàm số đồng biến [hoặc nghịch biến] trên từng khoảng xác định hoặc trên K cho trước
*Phương pháp giải:
- Tập xác định:
- Tính
Khi đó:
• Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
• Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
• Hàm số đồng biến trên K
• Hàm số nghịch biến trên K
Ví dụ 1. Tìm tất cả giá trị thực của tham số để hàm số nghịch biến trên các khoảng mà nó xác định?
Lời giải
Tập xác định .
Ta có .
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
⇒ Chọn D
Ví dụ 2. Có tất cả bao nhiêu số nguyên để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
- 1.
- 0.
- 2.
- 3.
Lời giải
Tập xác định:
.
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
Vì nên
⇒ Chọn C
Ví dụ 3. Cho hàm số [ m là tham số thực]. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ?
- 5.
- 4.
- 3.
- 2.
Lời giải
Tập xác định .
Đạo hàm .
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi
Do . Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.
⇒ Chọn D
4. Bài tập tự rèn luyện tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng
Bài 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số đồng biến trên ?
- 2022
- 7
- 6
- 5
ĐÁP ÁN
Tập xác định:
Ta có: .
Hàm số đồng biến trên .
.
Mà
Vậy có 7 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn B
Bài 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số nghịch biến trên ?
- 8
- 1
- 9
- 10
ĐÁP ÁN
Tập xác định:
Ta có: .
Trường hợp 1: thì ,
⇒ hàm số nghịch biến trên [thỏa mãn] nhận m = 0.
Trường hợp 2:
Khi đó, yêu cầu bài toán
.
Vậy, từ 2 trường hợp trên ta được:
Do m nguyên thuộc khoảng nên .
Vậy có 10 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn D
Bài 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số nghịch biến trên khoảng
ĐÁP ÁN
Tập xác định .
Hàm số nghịch biến trên khoảng khi và chỉ khi .
.
Chọn B
Bài 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng .
- Vô số.
- 1
- 3
- 2
ĐÁP ÁN
Tập xác định .
Hàm số nghịch biến trên
.
Vì m là số nguyên âm nên . Vậy có 2 giá trị
Chọn D
Bài 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số nghịch biến trên khoảng
ĐÁP ÁN
Đặt , .
Ta có , nên t nghịch biến trên khoảng
.
Do đó, yêu cầu bài toán tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng
đồng biến trên .
Tập xác định:
Ta có .
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi:
⇒ Chọn A
Hy vọng qua bài viết trên, các em nắm được phương pháp để làm được dạng toán phổ biến này. Chúc các em học tốt nhé.
Có bao nhiêu m để hàm số đồng biến?
Thông thường để xác định tính chất đơn điệu của hàm số người ta tìm đạo hàm của hàm số đó nếu đạo hàm lớn hơn hoặc bằng 0 thì nó đồng biến, nếu hàm số nhỏ hơn hoặc bằng thì nó nghịc biến.
Khi nào hàm số đồng biến trên R?
Một hàm số được gọi là đồng biến trên R nếu giá trị của hàm số tăng khi giá trị của biến đổi tăng. Nghĩa là nếu x1 và x2 là hai số bất kỳ thuộc tập R [tập số thực], và x1 < x2, thì f[x1] < f[x2]. y[x2], trong đó y[x1] và y[x2] lần lượt là giá trị của hàm số tại x1 và x2.
Thế nào là hàm số đồng biến nghịch biến?
Cách hiểu đơn giản: Hàm số đồng biến là hàm số có x và f[x] cùng tăng hoặc cùng giảm; hàm số nghịch biến là hàm số mà nếu x tăng thì f[x] giảm và x giảm thì f[x] tăng.
Hàm số đồng biến trên khoảng khi nào?
- Hàm số y = f[x] đồng biến trên khoảng [a;b] khi và chỉ khi f'[x] ≥ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng [a;b]. Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm. - Hàm số y = f[x] nghịch biến trên khoảng [a;b] khi và chỉ khi f'[x] ≤ 0 với mọi giá trị x thuộc khoảng [a;b].