1. Góc giữa hai đường thẳng là gì?
Hai đường thẳng trong không gian có 4 vị trí tương đối: cắt nhau, song song, trùng nhau và chéo nhau.
- Trong trường hợp 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì góc của chúng bằng 0°.
- Trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau sẽ tạo thành 2 cặp góc đối đỉnh [4 góc]. Ta chọngóc không tùlà góc giữa hai đường thẳng.
Trong trường hợp 2 đường thẳng chéo nhau. Ta chọn một điểm bất kỳ trong không gian. Sau đó dựng lần lượt 2 đường thẳng song song với hai đường thẳng đã cho. Hai đường thẳng mới này cắt nhau. Và góc của chúng chính là góc giữa 2 đường thẳng đã cho. Lưu ý việc chọn điểm không ảnh hưởng tới số đo của góc.
2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng a và b
- Cách 1: Cho hai đường thẳng chéo nhau avà b. Từ 1 điểm trên đường thẳng a, ta kẻ a’ song song với b thì góc giữa a và b là góc nhọn giữa a’ và b.
- Cách 2: Cho hai đường thẳng avà b chéo nhau, từ điểm I bất kì ta kẻ a’ // a, b’// bthì góc giữa a’ và b’ cũng là góc giữa a và b.
3. Cách tính góc giữa hai đường thẳng
α là góc giữa hai đường thẳng a, b
– Nếu α ≤ 90º thì kết luận góc giữa a và b là α
– Nếu α > 90º thì kết luận góc giữa a và b là 180º - α
Cách 1: Ta dựng tam giác chứa góc và sử dụng định lí hàm số sin, cosin trong tam giác để tính.
Cách 2: Ứng dụng tích vô hướng để tính góc giữa a và b
Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng a và b. Giả sử véctơ u1, u2lần lượt là 2 vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Để tính góc của 2 đường thẳng trong không gian Oxyz, chúng ta so sánh góc của chúng với 2 vectơ chỉ phương của chúng. Ta có thể dễ dàng thấy góc giữa 2 đường thẳngbằng hoặc bùso với góc giữa hai vectơ chỉ phương. Do đó nếu gọi φ là góc giữa 2 đường thẳng. Thì ta cócông thức tính giữa hai đường thẳngnhư sau:
Ví dụ 1:
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
Tính góc giữa hai đường thẳng đó.
Lời giải:
4. Bài tập có lời giải chi tiết
Bài tập 1:
Bài tập 2.
Bài tập 3. Phương trình của hai đường thẳng có dạng
Bài viết hôm nay, THPT Sóc Trăng sẽ giới thiệu đến quý bạn đọc công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian cực chi tiết. Các bạn dành thời gian chia sẻ để có thêm nguồn tư liệu quý phục vụ quá trình dạy và học tốt hơn nhé !
I. LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ
1. Góc giữa hai đường thẳng là gì?
Bạn đang xem: Công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian
Hai đường thẳng trong không gian gồm 4 vị trí tương đối là cắt nhau, song song, trùng nhau và chéo nhau như sau:
- Khi hai đường thằng song song hoặc trùng nhau thì góc hai đường thẳng bằng 0o
- Khi hai đường thẳng cắt nhau sẽ tạo thành 2 góc đối đỉnh hay còn gọi là 4 góc. Lúc này ta chọn góc không tù là góc giữa hai đường thẳng
- Khi hai đường thẳng chéo nhau, ta chọn một điểm bất kỳ trong không gian. Từ đó dựng lần lượt 2 đường thẳng song song với hai đường thẳng đã cho. Chính vì vậy, hai đường thẳng mới này cắt nhau và góc của chúng chính là góc giữa 2 đường thẳng đã được cho [Chú ý việc chọn điểm không ảnh hưởng đến số đo của góc].
2. Góc giữa hai mặt phẳng là gì?
Góc giữa 2 mặt phẳng là góc được tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Trong không gian 3 chiều, góc giữa 2 mặt phẳng còn được gọi là ‘góc khối’, là phần không gian bị giới hạn bởi 2 mặt phẳng. Góc giữa 2 mặt phẳng được đo bằng góc giữa 2 đường thẳng trên mặt 2 phẳng có cùng trực giao với giao tuyến của 2 mặt phẳng.
Tính chất: Từ định nghĩa trên ta có:
- Góc giữa 2 mặt phẳng song song bằng 0 độ,
- Góc giữa 2 mặt phẳng trùng nhau bằng 0 độ.
II. CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN
1. Công thức tính
– Cho hai đường thẳng d, d’ có vectơ chỉ phương
Góc φ giữa hai đường thẳng được tính theo công thức:
– Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Tính cosin góc giữa đường thẳng d với trục Ox biết
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Trục Ox có vecto chỉ phương
Cosin góc giữa d và Ox là:
Chọn B.
Ví dụ: 2
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi đường thẳng d đi qua A[ -1; 0; -1], cắt
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Gọi giao điểm của đường thẳng d và Δ1 là M[ 1+ 2t; 2+ t; -2- t]
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
Đường thẳng Δ2 có vectơ chỉ phương
=> cosin góc giữa hai đường thẳng d và Δ2 là:
=> cosin góc giữa hai đường thẳng d và Δ2 là 0 khi t= 0.
Khi đó; M[ 1; 2; – 2] và
Vậy phương trình đường thẳng d là:
Chọn B.
III. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
Bài 1:
Cho đường thẳng
A. m= 1
B.m= – 1
C. m= – 2
D. m= -1 hoặc m= -7
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến
=> Sin góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng [P] là:
Theo giả thiết ta có:
Chọn D.
Bài 2:
Cho đường thẳng
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Phương trình mặt phẳng [ABC]:
Hay [ ABC]: 3x + 6y – 2z – 6= 0
Mặt phẳng [ABC] có vecto pháp tuyến
+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương
=> Sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng [P] là:
Chọn A.
Bài 3:
Cho bốn điểm A[ 1; 0;1] ; B[ -1; 2; 1]; C[ -1; 2; 1] và D[ 0; 4; 2]. Xác định cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD?
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
+ Đường thẳng AB có vecto chỉ phương
+ Đường thẳng CD có vecto chỉ phương
=> Cosin góc giữa hai đường thẳng AB và CD là:
Chọn C.
Bài 4:
Cho đường thẳng
A. m= 2
B. m = – 4
C. m= [- 1]/2
D. m= 1
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương
Đường thẳng d2 có vecto chỉ phương
Để cosin góc giữa hai đường thẳng đã cho là:
Chọn C.
Bài 5:
Cho đường thẳng
A. m= ± 1
B.m= ± 2
C. m= 0
D. m= ± 3
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến
=> Sin góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng [P] là:
Theo giả thiết ta có:
Chọn A.
Bài 6:
Tính góc giữa
A. 30o
B. 45o
C. 60o
D. 90o
Hướng dẫn giải
Hai mặt phẳng [P]và [Q] có vecto pháp tuyến là:
d’ là giao tuyến của [P] và [Q] nên vectơ chỉ phương của d’ là
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Cosin góc giữa d và d’ là:
=> góc giữa d và d’ bằng 90o.
Chọn D.
Bài 7:
Tính sin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng [P] biết
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến
Chọn A.
Bài 8:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d đi qua điểm A[ 1; -1; 2] , song song với [P]: 2x- y- z+ 3= 0 , đồng thời tạo với đường thẳng
A.
B.
C.
D.
+ Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
Mặt phẳng [P] có vectơ pháp tuyến
+ Vì d// [P] nên hai vecto ud→ và n→ vuông góc với nhau.
=> ud→.n→= 0 ⇔ 2a- b- c= 0 ⇔ c= 2a- b
+ Cosin góc tạo bởi đường thẳng d và Δ là:
=> cosin góc tạo bởi hai đường thẳng d và Δ đạt giá trị nhỉ nhất là 0 khi 5a- 4b= 0
Chọn a= 4 => b= 5 và c= 3
+ Đường thẳng d đi qua điểm A [1; -1; 2] và nhận vecto
=> Phương trình d:
Chọn C.
Bài 9:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
A.
B.
C.
D.
Bài 10:
Trong không gian Oxyz, cho điểm A[ -2; 0; 0], đường thẳng d qua điểm A cắt và tạo với trục Oy góc 45o. Đường thẳng d có vecto chỉ phương là:
A. [ 2;2; 1] hoặc [ 2;- 2; 1]
B . [ 2; -1;0] hoặc [ 2; 1;0]
C. [ 1;2; 0] hoặc [ – 2; 1;0]
D. [ 2; 2; 0] hoặc [ 2; -2; 0]
Gọi giao điểm của đường thẳng d và trục Oy là M[ 0; m;0]
Trục Oy có vectơ chỉ phương là
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
Góc giữa đường thẳng d và trục Oy là 45o nên ta có:
+ Với m= 2 đường thẳng d có vecto chỉ phương
+Với m = -2 đường thẳng d có vecto chỉ phương
Chọn D.
Vậy là THPT Sóc Trăng đã giới thiệu đến các bạn công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian cực chi tiết. Hi vọng, đây sẽ là nguồn tư liệu thiết yếu giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm công thức tính góc giữa hai vectơ tại đường link này bạn nhé !
Đăng bởi: THPT Sóc Trăng
Chuyên mục: Giáo dục
Bản quyền bài viết thuộc trường trung học phổ thông Sóc Trăng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận.
Nguồn chia sẻ: Trường THPT Thành Phố Sóc Trăng [thptsoctrang.edu.vn]