1. Lý thuyết về mặt cầu ngoại tiếp hình nón
Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón . Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó.
Lý thuyết:Xét mặt cắt qua trục, ta đưa về bài toán tam giác nội tiếp đường tròn
Bài toán:Gọi R, r, h lần lượt là bán kính mặt cầu, bán kính đáy và chiều cao hình nón
2. Ví dụ bài tập mặt cầu ngoại tiếp hình nón
Bài 1. Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón. Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó.
a] Chứng minh rằng mọi hình nón đều có mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.
b] Một hình nón có chiều caohvà bán kính đáy bằngr. Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó.
c] Cho hình nón nội tiếp mặt cầu bán kínhR. Nếu hình nón đó có chiều cao bằnghthì bán kính đáy của nó bằng bao nhiêu? Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.
Lời giải:
a]
Hình nón[N]có đỉnhSvà đường tròn đáy là[O;r]. Lấy điểmMtrên[O;r]thìΔSOMvuông tạiO.
SOlà trục của đường tròn[O;r]nênIlà tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình nón khi và chỉ khiIthuộcSOvà cách đều hai điểmS,M. VậyIlà giao điểm củaSOvới mặt phẳng trung trực củaSM. Mặt cầu tâmIbán kínhR=ISlà mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.
b]
Kẻ đường kínhSS′của mặt cầu ngoại tiếp hình nón[SS′>h]
ΔMSS′vuông tạiMcó đường caoMO=r.
Ta có:
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là
c] Nếu hình nón có chiều caoh, bán kính đáy làrnội tiếp mặt cầu bán kínhRthì theo câu b] ta có hệ thức
Bài 2: Cho hình nón [N] có bán kính đáy bằng 6, chiều cao bằng 8. Biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của hình nón, đồng thời tiếp xúc với mặt đáy của hình nón. Tìm bán kính của mặt cầu đó
A. 4 B. 2 C. 6 D. 3
Lời giải
Hình nón ngoại tiếp hình cầu⇒
Chọn D.
Bài 3: Cho khối cầu tâm O, bán kính R =2. Mặt phẳng [P] cách O một khoảng x cắt khối cầu theo một hình tròn [C]. Một khối nón [N] có đỉnh thuộc mặt cầu, đáy là hình tròn [C]. Biết khối nón [N] có thể tích lớn nhất, khi đó giá trị của x bằng bao nhiêu ?
Lời giải
Bài 4: Cho hình nón tròn xoay [N] có đỉnh là S, có đáy là đường tròn tâm O bán kính R. Đường cao SO = h. Tính chiều cao x của hình trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp hình nón đã cho ?
Lời giải
I. Lý thuyết Cho khối cầu bán kính R \[V=\frac{4}{3}\pi .R^3\]
II. Bài tập
Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính thể tích khối cầu. a] Ngoại tiếp hình lập phương b] Nội tiếp hình lập phương.
Giải
a] Bán kính khối cầu ngoại tiếp hình lập phương là \[R=\frac{1}{2}AC'=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\]
\[V_1=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi .\frac{a^3.3\sqrt{3}}{8}=\frac{a^3\pi .\sqrt{3}}{2}\][đvtt]
b]
Khối cầu nội tiếp hình lập phương có bán kính
\[2r=a\Leftrightarrow r=\frac{a}{2}\] Thể tích khối cầu \[V_2=\frac{4}{3}\pi .r^3=\frac{4}{3}\pi .\frac{a^3}{8}=\frac{\pi a^3}{6}\] [đvtt]
Ví dụ 2: Thể tích của khối cầu sẽ thay đổi như thế nào nếu.
b] Giảm bán kính k lần.
Giảm a] \[R_1=k.R_2\] \[\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{3}\pi R^3_1}{\frac{4}{3}.\pi .R^3_2}= \left [ \frac{R_1}{R_2} \right ]^3=k^3\]
Nếu tăng bán kính lên k lần thì thể tích khối cầu tăng gấp k3 lần.
b] \[R_1=\frac{1}{k}.R_2\] \[\frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{4}{3}\pi .R^3_1}{\frac{4}{3}\pi .R^3_2}= \left [ \frac{R_1}{R_2} \right ]^3=\frac{1}{k^3}\]Nếu giảm bán kính k lần thì thể tích khối cầu giảm k3 lần.
Ví dụ 3:
Cho hình chóp S.ABC có \[SA\perp [ABC], AB=a, AC=b,\widehat{BAC}=60^0\]. H, K l3 h/c của A trên SB, SC. a] CMR: 5 điểm A, B, C, H, K cùng thuộc một mặt cầu. b] Tính thể tích khối cầu đó.
Giải
a] Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB, AC Kẻ đường trung trực Mx của cạnh AB trong [ABC] Ta có [SAB] \[\perp\] [ABC], có giao tuyến là AB nên Mx \[\perp\] [SAB] hay Mx \[\perp\] [AHB] Vậy Mx là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác AHB Tương tự kẻ Ny là đường trung trực của cạnh AC trong tam giác [ABC] ta có Ny là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC Trong [ABC] \[Mx\cap Ny=I\] I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \[\left.\begin{matrix} I\in Mx\Rightarrow IA=IH=IB\\ I\in Ny\Rightarrow IA=IK=IC \end{matrix}\right\}\] 5 điểm A, B, C, H, K cùng thuộc mặt cầu tâm I
b]
R = IA Trong tam giác ABC \[BC^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.cos60^0=a^2+b^2-ab\] \[R=\frac{BC}{2 sin\widehat{A}}=\frac{\sqrt{a^2+b^2-ab}}{2.\frac{\sqrt{3}}{2}} =\sqrt{\frac{a^2+b^2-ab}{3}}\]
\[V=\frac{4}{3}.\pi .R^3=\frac{4}{3}.\pi \frac{a^2+b^2-ab}{3}.\sqrt{\frac{a^2+b^2-ab}{3}}\]
Trang chủ
Sách ID
Khóa học miễn phí
Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023
Một mặt cầu gọi là nội tiếp hình nón nếu nó tiếp xúc với mặt đáy của hình nón và tiếp xúc với mọi đường sinh của hình nón. Khi đó hình nón được gọi là ngoại tiếp mặt cầu. a] Chứng minh rằng mọi hình nón đều có một mặt cầu nội tiếp duy nhất.
b] Một hình nón có chiều cao h và bán kính đáy bằng r. Hãy tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón đó.. Bài 20 trang 60 SGK Hình học 12 Nâng cao – Bài 4. Mặt nón hình nón và khối nón
Bài 20. Một mặt cầu gọi là nội tiếp hình nón nếu nó tiếp xúc với mặt đáy của hình nón và tiếp xúc với mọi đường sinh của hình nón. Khi đó hình nón được gọi là ngoại tiếp mặt cầu.
a] Chứng minh rằng mọi hình nón đều có một mặt cầu nội tiếp duy nhất.
b] Một hình nón có chiều cao \[h\] và bán kính đáy bằng \[r\]. Hãy tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón đó.
a] Cho hình nón có đỉnh \[S\] và đáy là đường tròn \[[O;r]\].
Tâm \[I\] của mặt cầu nội tiếp hình nón nằm trên \[SO\]. Lấy điểm \[A\] cố định trên \[[O;r]\] thì \[I\] là giao điểm của \[SO\] với đường phân giác trong của góc \[A\] của \[\Delta SAO\]. \[I\] hoàn toàn xác định và là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón, bán kính mặt cầu là \[R = IO\].
Quảng cáob] Ta có: \[SA = \sqrt {O{S^2} + O{A^2}} = \sqrt {{h^2} + {r^2}} \]
Theo tính chất đường phân giác ta có:
\[{{IO} \over {IS}} = {{OA} \over {SA}} \Rightarrow {{SA} \over {SI}} = {{OA} \over {IO}} = {{SA + OA} \over {SI + IO}} \Rightarrow {{IO} \over {IO + IS}} = {{OA} \over {OA + SA}} \Rightarrow {{IO} \over h} = {r \over {r + \sqrt {{h^2} + {r^2}} }}\]
Vậy bán kính mặt cầu nội tiếp là \[R = IO = {{rh} \over {r + \sqrt {{h^2} + {r^2}} }}\]