Đề bài
Cho lăng trụ ABC.A'B'C'
a] Tính tỉ số \[\frac{{{V_{ACA'B'}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}}\]
b] Tính VACA'B'biết rằng tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a, AA' = b và AA' tạo với [ABC] một góc bằng 60o
Lời giải chi tiết
a] Ta có: VACA'B'= VB'.ACA'= VB'.CA'C'= VC.A'B'C'= VABC.A'B'C'/3
Từ đó suy ra tỉ số phải tìm bằng 1/3.
b] Gọi H là chân đường cao đi qua A của lăng trụ.
\[ \Rightarrow \left[ {AA',\left[ {A'B'C'} \right]} \right] = \left[ {AA',A'H} \right]\] \[ = \widehat {AA'H} = {60^0}\]
Tam giác vuông AAH có \[AH = AA'\sin {60^0} = \frac{{b\sqrt 3 }}{2}\]
Lại có \[{S_{A'B'C'}} = \frac{1}{2}A'B'.A'C'.\sin \widehat {B'A'C'}\] \[ = \frac{1}{2}.a.a.\sin {60^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\]
Do đó:\[{V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{A'B'C'}}.AH\] \[ = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{b\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3{a^2}b}}{8}\]
Suy ra \[{V_{ACA'B'}} = \frac{1}{3}{V_{ABC.A'B'C'}} \] \[= \frac{1}{3}.\frac{{3{a^2}b}}{8} = \frac{{{a^2}b}}{8}\]