Đề bài
Chứng minh
a] \[\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]\left[ {2 + \sqrt 3 } \right] = 1\]
b] \[\left[ {\sqrt {2006} - \sqrt {2005} } \right]\] và \[\left[ {\sqrt {2006} + \sqrt {2005} } \right]\] là hai số nghịch đảo của nhau
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Áp dụng hằng đẳng thức \[{a^2} - {b^2}=[a-b][a+b]\] và \[{\left[ {\sqrt A } \right]^2} = \sqrt {{A^2}} = A\] \[\left[ {A \ge 0} \right]\] để biến đổi vế trái bằng vế phải và ngược lại.
- Hai số nghịch đảo là hai số có tích bằng 1.
Lời giải chi tiết
a] Ta có : \[\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]\left[ {2 + \sqrt 3 } \right] \]\[={2^2} - {\left[ {\sqrt 3 } \right]^2} = 4 - 3 = 1\].
Vậy \[\left[ {2 - \sqrt 3 } \right]\left[ {2 + \sqrt 3 } \right] = 1\].
b] Xét tích \[\left[ {\sqrt {2006} - \sqrt {2005} } \right].\left[ {\sqrt {2006} + \sqrt {2005} } \right],\] ta có :
\[\left[ {\sqrt {2006} - \sqrt {2005} } \right].\left[ {\sqrt {2006} + \sqrt {2005} } \right]\] \[ = {\left[ {\sqrt {2006} } \right]^2} - {\left[ {\sqrt {2005} } \right]^2}\] \[ = 2006 - 2005 = 1\]
Tích hai số\[\left[ {\sqrt {2006} - \sqrt {2005} } \right]\] và \[\left[ {\sqrt {2006} + \sqrt {2005} } \right]\] bằng 1 nên hai số đã cho là nghịch đảo của nhau.