Đề bài
Cho phương trình \[{x^2} + \sqrt 3 x - \sqrt 5 = 0\] . Không giải phương trình, hãy chứng minh phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 và tính giá trị của các biểu thức sau:
a] \[\dfrac{1}{{{x_1}^2}} + \dfrac{1}{{x_2^2}}\]
b] \[x_1^2 + x_2^2\]
c] \[\dfrac{1}{{{x_1}^3}} + \dfrac{1}{{x_2^3}}\]
d] \[\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} \]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương trình bậc hai \[a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left[ {a \ne 0} \right]\] có 2 nghiệm phân biệt \[{x_1};{x_2}\]. Theo định lí Vi-ét ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\].
Lời giải chi tiết
Phương trình \[{x^2} + \sqrt 3 x - \sqrt 5 = 0\] có \[ac = - \sqrt 5 < 0 \Rightarrow \] Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \[{x_1};{x_2}\].
Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \sqrt 3 \\{x_1}{x_2} = - \sqrt 5 \end{array} \right.\].
a] \[\dfrac{1}{{{x_1}^2}} + \dfrac{1}{{x_2^2}} = \dfrac{{x_1^2 + x_2^2}}{{x_1^2x_2^2}} \]\[\,= \dfrac{{{{\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{{\left[ {{x_1}{x_2}} \right]}^2}}} = \dfrac{{3 + 2\sqrt 5 }}{5}\]
b] \[x_1^2 + x_2^2 = {\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]^2} - 2{x_1}{x_2}\]\[\, = 3 + 2\sqrt 5 \]
c]
\[\begin{array}{l}\dfrac{1}{{x_1^3}} + \dfrac{1}{{x_2^3}} = \dfrac{{x_1^3 + x_2^3}}{{x_1^3x_2^3}}\\ = \dfrac{{{{\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}^3} - 3{x_1}{x_2}\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}}{{{{\left[ {{x_1}{x_2}} \right]}^3}}}\\ = \dfrac{{{{\left[ { - \sqrt 3 } \right]}^3} - 3.\left[ { - \sqrt 5 } \right].\left[ { - \sqrt 3 } \right]}}{{{{\left[ { - \sqrt 5 } \right]}^3}}}\\ = \dfrac{{3\sqrt 3 + 3\sqrt {15} }}{{5\sqrt 5 }} = \dfrac{{3\sqrt {15} + 15\sqrt 3 }}{{25}}\end{array}\]
d] Ta có \[{x_1}{x_2} = - \sqrt 5 \Rightarrow \]Phương trình có 2 nghiệm phân biệt trái dấu \[ \Rightarrow \] Biểu thức \[\sqrt {{x_1}} + \sqrt {{x_2}} \] không xác định.