Đề bài
Cho \[f\left[ x \right] = \root 3 \of {x - 1} .\] Tính \[f'\left[ 0 \right];f'\left[ 1 \right].\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính đạo hàm \[f'[x]\] và thay \[x=0,x=1\] vào công thức vừa tính xong.
Lời giải chi tiết
Với \[\Delta x\] là số gia của đối số tại \[x_0=0\] ta có:
\[\begin{array}{l}\Delta y = f\left[ {0 + \Delta x} \right] - f\left[ 0 \right]\\ = \sqrt[3]{{0 + \Delta x - 1}} - \sqrt[3]{{0 - 1}}\\ = \sqrt[3]{{\Delta x - 1}} + 1\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{\sqrt[3]{{\Delta x - 1}} + 1}}{{\Delta x}}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\sqrt[3]{{\Delta x - 1}} + 1}}{{\Delta x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta x - 1 + 1}}{{\Delta x\left[ {{{\left[ {\sqrt[3]{{\Delta x - 1}}} \right]}^2} - \sqrt[3]{{\Delta x - 1}} + 1} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{1}{{{{\left[ {\sqrt[3]{{\Delta x - 1}}} \right]}^2} - \sqrt[3]{{\Delta x - 1}} + 1}}\\ = \dfrac{1}{{1 + 1 + 1}} = \dfrac{1}{3}\\ \Rightarrow f'\left[ 0 \right] = \dfrac{1}{3}\end{array}\]
Với \[\Delta x\] là số gia của đối số tại \[x_0=1\] ta có:
\[\begin{array}{l}\Delta y = f\left[ {1 + \Delta x} \right] - f\left[ 1 \right]\\ = \sqrt[3]{{1 + \Delta x - 1}} - \sqrt[3]{{1 - 1}}\\ = \sqrt[3]{{\Delta x}}\\ \Rightarrow \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{\sqrt[3]{{\Delta x}}}}{{\Delta x}} = \dfrac{1}{{{{\left[ {\sqrt[3]{{\Delta x}}} \right]}^2}}}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{1}{{{{\left[ {\sqrt[3]{{\Delta x}}} \right]}^2}}} = + \infty \end{array}\]
Do đó không tồn tại \[f'\left[ 1 \right]\].