Đề bài
Cho tam giác \[ABC [AB < AC]\]. Vẽ đường cao \[AH\], đường phân giác \[AD\], đường trung tuyến \[AM\]. Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm \[H, D, M\].
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng: Tính chất đường phân giác của tam giác, quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác.
Lời giải chi tiết
+ Nhận xét: \[D\] luôn nằm giữa \[H\] và \[M\].
+ Chứng minh:
\[AD\] là đường phân giác của \[ABC\].
\[\Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}}\] [tính chất đường phân giác của tam giác]
Mà \[AB < AC\] [giả thiết]
\[ \Rightarrow DB < DC\] \[ \Rightarrow DB + DC < DC + DC\]
\[ \Rightarrow BD + DC < 2DC\] hay \[BC < 2DC\]
\[ \Rightarrow DC >\dfrac{{BC}}{2}\]
Mà \[MC = \dfrac{{BC}}{2}\][\[M\] là trung điểm của \[BC\]]
\[ \Rightarrow DC > MC\] \[ \Rightarrow M \] nằm giữa \[D\] và \[C\] [1]
+ Mặt khác: \[\widehat {CAH} = {90^0} - \hat C\][\[CAH\] vuông tại \[H\]]
\[\hat A + \hat B + \hat C = {180^0}\][tổng 3 góc ABC]
\[ \Rightarrow \widehat {CAH} = \dfrac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{2} - \widehat C\]
\[ \Rightarrow \widehat {CAH} = \dfrac{{\widehat A}}{2} + \dfrac{{\widehat B}}{2} - \dfrac{{\widehat C}}{2}\]\[\, = \dfrac{{\widehat A}}{2} + \dfrac{{\widehat B - \widehat C}}{2}\]
Vì \[AB < AC\] \[\Rightarrow \widehat C < \widehat B\] [ quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác]
\[\Rightarrow \frac{\widehat B - \widehat C}{2} > 0\]
Do đó: \[\widehat {CAH} > \dfrac{{\widehat A}}{2}\]hay \[\widehat {CAH} > \widehat {CAD}\]
\[ \Rightarrow \] Tia \[AD\] nằm giữa hai tia \[AH\] và \[AC\]
Do đó \[D\] nằm giữa hai điểm \[H\] và \[C\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[D\] nằm giữa \[H\] và \[M.\]