Đề bài
Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi M là một điểm thuộc nửa đường tròn và H là hình chiếu của M trên AB. Hãy xác định vị trí của M để AH + HM đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó theo R.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki: \[{\left[ {ax + by} \right]^2} \le \left[ {{a^2} + {b^2}} \right]\left[ {{x^2} + {y^2}} \right]\]. Dấu = xảy ra \[ \Leftrightarrow \dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}\].
Lời giải chi tiết
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\[{\left[ {AH + HM} \right]^2} \le 2\left[ {A{H^2} + H{M^2}} \right] = 2A{M^2} \]
\[\Rightarrow AH + HM \le AM\sqrt 2 \].
Dấu = xảy ra \[ \Leftrightarrow AH = HM\], khi đó tam giác AHM vuông cân tại H.
\[ \Rightarrow \widehat {MAH} = {45^0} \Rightarrow \widehat {MAB} = {45^0}\].
Ta có \[\widehat {AMB} = {90^0}\] [góc nội tiếp chắn nửa đường tròn] \[ \Rightarrow \Delta MAB\] vuông tại M. Mà \[\widehat {MAB} = {45^0} \Rightarrow \Delta MAB\] vuông cân tại M \[ \Rightarrow MA = AB.\sin {45^0} = 2R.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = R\sqrt 2 \].
Vậy \[{\left[ {AH + HM} \right]_{\max }} = AM\sqrt 2 \]\[\,= R\sqrt 2 .\sqrt 2 = 2R\].