Đề bài - câu 17 trang 109 sgk đại số và giải tích 11 nâng cao
\(\begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_2} = \frac{2}{{u_1^2 + 1}} = \frac{2}{{{1^2} + 1}} = 1\\{u_3} = \frac{2}{{u_2^2 + 1}} = \frac{2}{{{1^2} + 1}} = 1\\...\end{array}\) Đề bài Cho dãy số (un) xác định bởi \(\displaystyle{u_1} = 1\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {2 \over {u_n^2 + 1}}\) với mọi\(\displaystylen 1\) Chứng minh rằng (un) là một dãy số không đổi (dãy có tất cả các số hạng đều bằng nhau). Phương pháp giải - Xem chi tiết - Tính một vài số hạng đầu, nhận xét các số hạng của dãy. - Chứng minh nhận xét bằng phương pháp quy nạp. Lời giải chi tiết Ta có: \(\begin{array}{l} Do đó, dự đoán\(\displaystyleu_n= 1\) (1)\(\displaystyle n \in \mathbb N^*\). Ta chứng minh bằng qui nạp như sau: +) Rõ ràng (1) đúng với\(\displaystylen = 1\) +) Giả sử (1) đúng với\(\displaystylen = k\), tức là ta có\(\displaystyleu_k= 1\) +) Ta chứng minh (1) đúng với\(\displaystylen = k + 1\). Thật vậy theo công thức truy hồi và giả thiết quy nạp ta có : \(\displaystyle{u_{k + 1}} = {2 \over {u_k^2 + 1}} = {2 \over {1^2 + 1}}=1\) Vậy (1) đúng với\(\displaystylen = k + 1\), do đó (1) đúng với mọi\(\displaystylen \in \mathbb N^*\)
|