\[{\left[ {{x^3} + xy} \right]^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{{\left[ {{x^3}} \right]}^{15 - k}}{{\left[ {xy} \right]}^k}} \]
Đề bài
Tính hệ số của \[{x^{25}}{y^{10}}\] trong khai triển của \[{\left[ {{x^3} + xy} \right]^{15}}\]
Lời giải chi tiết
Ta có:
\[{\left[ {{x^3} + xy} \right]^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{{\left[ {{x^3}} \right]}^{15 - k}}{{\left[ {xy} \right]}^k}} \]
\[ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k.{x^{45 - 3k}}{x^k}{y^k}}\] \[ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k.{x^{45 - 2k}}{y^k}} \]
Số hạng chứa \[{x^{25}}{y^{10}}\] thì:
\[\left\{ \begin{array}{l}
45 - 2k = 25\\
k = 10
\end{array} \right. \Leftrightarrow k = 10\]
Do đó k = 10 nên số hạng đó là : \[C_{15}^{10}{x^{25}}{y^{10}}\]
Vậy hệ số của \[{x^{25}}{y^{10}}\,la\,C_{15}^{10} = 3003\]