Đề thi học sinh giỏi quốc gia môn toán 2015

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC NAM ĐỊNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 Môn: TOÁN – Lớp 12 THPT Thời gian làm bài: 180 phút [Đề thi gồm 01 trang] Câu 1 [4,0 điểm]. 1] Cho hàm số có đồ thị là [C]. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C] tại những điểm thuộc [C] mà khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng bằng . 2] Cho hàm số có đồ thị là , với m là tham số. Tìm m để cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt sao cho trong hai điểm B, C có một điểm nằm trong và một điểm nằm ngoài đường tròn . Câu 2 [2,0 điểm]. Giải phương trình Câu 3 [1,5 điểm]. Giải bất phương trình Câu 4 [1,5 điểm]. Trong không gian toạ độ , cho hai điểm , 1] Tìm tọa độ điểm G thuộc trục sao cho khoảng cách từ G đến bằng khoảng cách từ G đến A. 2] Viết phương trình mặt phẳng [P] biết M, N lần lượt là hình chiếu của A, B trên [P] và . Câu 5 [2,0 điểm]. Tính tích phân Câu 6 [2,5 điểm]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng [ABCD]. Gọi H là trung điểm của AB, biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng [SHD] bằng . Tính thể tích khối chóp S.HBCD và cosin của góc giữa hai đường thẳng SC và HD. Câu 7 [1,5 điểm]. Cho đa giác lồi [H] có 22 cạnh. Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của [H]. Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X, tính xác suất để chọn được một tam giác có một cạnh là cạnh của đa giác [H] và một tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác [H]. Câu 8 [1,0 điểm]. Trong mặt phẳng tọa độ tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên BD và CD. Biết , phương trình của , điểm C thuộc đường thẳng , điểm B thuộc đường thẳng và điểm K có hoành độ nhỏ hơn 1. Tìm tọa độ các điểm B, C, D. Câu 9 [2,0 điểm]. Giải hệ phương trình Câu 10 [2,0 điểm]. Xét các số thực thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức --------------------HẾT----------------------- Họ và tên thí sinh:.Họ, tên chữ ký GT1:.. Số báo danh:..Họ, tên chữ ký GT2:.. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HSG NĂM HỌC 2015-2016 Môn: TOÁN – Lớp 12 THPT Câu Nội dung Điểm 1.1 [2,0đ] 1 1] Cho hàm số có đồ thị [C]. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C] tại những điểm thuộc [C] mà khoảng cách từ điểm đó đến đường thẳng bằng . +] TXĐ:. Gọi điểm 0,25 +] Từ giả thiết ta có   0,25 0,25 0,25 0,25 +] Với . Do đó phương trình tiếp tuyến của [C] tại M là 0,25 +] Với . Do đó phương trình tiếp tuyến của [C] tại M là 0,25 * Vậy các phương trình tiếp tuyến của [C] cần tìm là: 0,25 1.2 [2,0đ] 2] Cho hàm số có đồ thị [], với m là tham số. Tìm để [] cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt sao cho trong hai điểm B, C có một điểm nằm trong và một điểm nằm ngoài đường tròn [ T ]: . +] Hoành độ giao điểm của[] và trục hoành là nghiệm phương trình: 0,25 0,25 +] [] cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt khác 2 0,25 0,25 0,25 +] Khi đó ; với là nghiệm pt[1] và 0,25 +] Đường tròn [T] có tâm O[0;0], bán kính R=1 +] Hai điểm B, C thỏa mãn điều kiện đầu bài 0,25 Kết hợp với đk [*] , các giá trị cần tìm của m là 0,25 Câu 2 [2,0đ] Giải phương trình: . + Phương trình đã cho tương đương với: 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là 0,25 Câu 3 [1,5đ] Giải bất phương trình: + 0,25 + Bất phương trình đã cho tương đương với 0,25 0,25 +] TH1: Với thì . Kết hợp với ĐK trong trường hợp này ta được 0,25 +] TH2: Với thì . Kết hợp với ĐK trong trường hợp này ta được 0,25 * Vậy bất phương trình có tập nghiệm là 0,25 Câu 4 [1,5đ] Trong không gian toạ độ , cho hai điểm , . 1] Tìm tọa độ điểm G thuộc trục Oz sao cho khoảng cách từ G đến mặt phẳng [Oxy] bằng khoảng cách từ G đến A 2] Viết phương trình mặt phẳng [P] biết M, N lần lượt là hình chiếu của A, B trên [P] và +] Gọi 0,25 +] Ta có mặt phẳng 0,25 +] Từ giả thiết: 0,25 Vậy là điểm cần tìm. 0,25 +] Ta có +] Ta thấy tức là [1] +] Ta luôn có 0,25 +] Do đó [1] xảy ra khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn đồng thời ; A, B, N thẳng hàng ; B nằm giữa A và N ; M trùng với N. +] , B nằm giữa A và N . Do đó , từ đó tìm được +] Mặt phẳng [P] đi qua N nhận nên có phương trình: 0,25 Câu 5 [2,0đ] Tính tích phân 0,25 +] +] Đặt +] Đổi cận: 0,25 0,25 0,25 0,25 + Đặt 0,25 Do đó 0,25 Vậy 0,25 Câu 6 2,5 đ Cho hình chóp có đáy là hình thang vuông tại A và B; Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng [ABCD]. Gọi H là trung điểm của AB, biết khoảng cách từ C đến mặt phẳng [SHD] bằng . Tính thể tích của khối chóp S.HBCD và cosin của góc giữa hai đường thẳng SC và HD. +] Tam giác SAB cân nên +] 0,25 +] Kẻ mà Do đó 0,25 + Tính được . Do đó tam giác CHK vuông cân tại K Nên +] Tam giác ABH vuông tại B nên +] 0,25 Mà . Do đó 0,25 Ta có Vậy 0,25 1,25đ Tính cosin của góc giữa hai đường thắng SC và HD Tam giác SHC vuông tại H nên +] Gọi +] Khi đó AEBD là hình bình hành nên +] AD//EC nên 0,25 +] Trong mặt phẳng [ABCD], kẻ CN//HD với N thuộc đường AB Do đó góc giữa SC và HD là góc giữa CN và SC 0,25 Ta có: Ta có: 0,2 5 +] Áp dụng định lý Côsin trong tam giác SCN , ta có 0,25 +] Vậy 0,25 Câu7 [1,5đ] Cho đa giác lồi [H] có 22 cạnh. Gọi X là tập hợp các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh của [H]. Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X, tính xác suất để chọn được 1 tam giác có 1 cạnh là cạnh của đa giác [H] và 1 tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác [H]. +] Đa giác lồi [H] có 22 cạnh nên có 22 đỉnh. +] Số tam giác có 3 đỉnh là ba đỉnh của đa giác [H] là 0,25 +] Số phần tử của không gian mẫu là 0,25 +] Số tam giác có một cạnh là cạnh của đa [H] là 22.18 = 396 +] Số tam giác có hai cạnh là cạnh của đa [H] là 22 0,25 Số tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa [H] là: 1540 - 396 - 22 = 1122 +] Gọi A là biến cố “ hai tam giác được chọn có một tam giác có 1 cạnh là cạnh của [H] và 1 tam giác không có cạnh nào là cạnh của [H]" 0,25 +] Số phần tử của A là +] Xác suất của biến cố A là 0,25 Câu8 1,0đ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên BD và CD. Biết , phương trình của HK: , điểm C thuộc đường thẳng , điểm B thuộc đường thẳng và điểm K có hoành độ nhỏ hơn 1. Tìm tọa độ các điểm B, C, D. +] Gọi Tứ giác AHKD nội tiếp Tứ giác ABCD nội tiếp. Tam giác ABD vuông tại A Vậy hay tam giác ECK cân tại E. Vì tam giác ACK vuông tại K nên E là trung điểm của AC. 0,25 +] Ta có: Vì nên tìm được 0,25 +] nên gọi +] Ta có: .Vì hoành độ điểm K nhỏ hơn 1 nên Tam giác SHC vuông tại H nên +] BC có phương trình : +] 0,25 +] Lập được phương trình AD: +] Lập được phương trình CD: +] Tìm được . Vậy B[6;2], C[4;-2], D[-4;2] 0,25 9 [2,0đ] Giải hệ phương trình +] ĐK: +] Ta có 0,25 +] Với , thì [1] trở thành : 0,25 +] So sánh với ĐK ta có là nghiệm của hệ đã cho. 0,25 +] Với thì [1] trở thành: 0,25 Đặt Ta có hệ 0,25 Ta có 0,25 Với Ta có vì Với ta có 0,25 Giải phương trình được nghiệm: KL: So sánh với ĐK ta có hệ đã cho có các nghiệm là ; . 0,25 10 2,0 Xét các số thực thỏa mãn và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 0,5 0,25 Do đó 0,25 Ta có Ta luôn có . Do đó 0,25 Ta có Xét hàm số xác định và liên tục trên ; Vậy GTLN của bằng 381 khi Do đó GTLN của P bằng 381 khi 0,25 Ghi chú: Các cách giải khác với đáp án mà đúng và phù hợp với chương trình thì giám khảo cho điểm tương đương. --------------------HẾT--------------------

01 Feb 2015

Kết quả thi học sinh giỏi [HSGQG 2015] đã được ghép phách. Môn Toán có một giải nhất 32 điểm. Về môn toán, 

1. THPT Chuyên KHTN: 01 Giải Nhất; 03 giải Nhì: 3; 05 giải Ba.
2. THPT Chuyên SPHN: 04 giải Nhì; 01 giải Ba; 04 giải Khuyến Khích
3. THPT Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương: 2 giải Nhì, 01 giải Ba, 5 giải Khuyến Khích
4. THPT Chuyên HN Amsterdam: 

Kết quả đầy đủ xem tại ĐÂY.

Chương trình UEE tại Hexagon tuyển chọn các bạn học sinh đoạt giải HSGQG các môn Toán, Lý, Hoá để chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh và cấp học bổng của các trường Đại học công lập Singapore và Nhật Bản. Nhiều học sinh giỏi quốc gia đã tham gia chương trình này: Phạm Quang Vũ [Tin học, 1991], Dương Thành Đạt [Tin học, 1995], Lê Hồng Phước [Toán học 1992], Võ Duy Tùng [Vật lý, 1992]. 

Chúc mừng các bạn Hexagon đã tham gia và đạt giải kỳ thi HSG năm nay 2015.

1. Nguyễn Đình Dương, giải Nhì môn Hóa
2. Hoàng Dương, giải nhì môn Tin học
3. Lê Hoàng Vân, giải ba môn Vật lý.

Ngành học là một tiêu chí quan trọng ảnh hưởng đến khả năng nhận học bổng vào các trường đại học [cả bậc đại học và sau đại học]. Theo đó, học các ngành về khoa học cơ bản và công nghệ cao có nhiều funding nhất, và có nhiều cửa cho học sinh giỏi từ các nước nghèo. Ngược lại, học các ngành như Luật, Quản trị Kinh doanh, Y học đều là những cánh cửa hẹp cho học sinh đến từ các nước nghèo như Việt Nam.