08:47:0616/12/2020
Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn trong chương trình lớp 9, chúng ta thường sử dụng phương pháp thế và phương pháp cộng đại số.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế như thế nào? qua đó vận dụng giải các bài tập minh họa vận dụng phương pháp này để các em rèn luyện kỹ năng giải toán.
I. Phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Phương trình bậc nhất 2 ẩn
- Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c ∈ R [a2 + b2 ≠ 0]
- Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng [d]: ax + by = c
- Nếu a ≠ 0, b ≠ 0 thì đường thẳng [d] là đồ thị hàm số :
- Nếu a ≠ 0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = c/a và đường thẳng [d] song song hoặc trùng với trục tung
- Nếu a = 0, b ≠ 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = c/b và đường thẳng [d] song song hoặc trùng với trục hoành
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
+ Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn: , trong đó a, b, c, a’, b’, c’ ∈ R
+ Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
- Gọi [d]: ax + by = c, [d’]: a’x + b’y = c’, khi đó ta có:
- [d] // [d’] thì hệ vô nghiệm
- [d] cắt [d’] thì hệ có nghiệm duy nhất
- [d] ≡ [d’] thì hệ có vô số nghiệm
+ Hệ phương trình tương đương: Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
II. Cách giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp thế
a] Quy tắc thế
Quy tắc thế dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc thế bao gồm hai bước sau:
+ Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho [coi là phương trình thức nhất], ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thức hai để được một phương trình mới [chỉ còn một ẩn].
+ Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho phương trình thức hai trong hệ [phương trình thức nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1].
b] Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
+ Bước 1: Dùng quy tắc thế để biến đổi phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình một ẩn.
+ Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
* Ví dụ: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a]
b]
* Lời giải:
a]
b]
III. Bài tập giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp thế
* Bài 12 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế
a] b]
c]
* Lời giải:
a]
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất [10;7]
b]
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất [11/19;-6/19]
c]
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất [25/19;-21/19]
* Bài 13 trang 15 sgk toán 9 tập 2: Giải hệ PT sau bằng phương pháp thế
a] b]
* Lời giải:
a]
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất [7;5]
b]
⇒ Kết luận: hệ PT có nghiệm duy nhất [3;3/2]
Tóm lại, từ một số bài tập và ví dụ minh họa ở trên về cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, các em thấy rằng, việc giải bằng phương pháp thế sẽ rất thuận tiện nếu một trong hai phương trình của hệ có các hệ số đứng trước x hay y là hệ số 1. Khi đó việc giải sẽ rất dễ dàng vì thế x theo y [hay y theo x] không có phân số.
Chi tiết nội dung phần Giải bài tập trang 44, 45, 46 SGK Toán 9 đã được hướng dẫn đầy đủ để các em tham khảo và chuẩn bị nhằm ôn luyện môn Toán 9 tốt hơn.
Ngoài nội dung ở trên, các em có thể tìm hiểu thêm phần Giải bài tập trang 68, 69, 70 SGK Toán 9 để nâng cao kiến thức môn Toán 9 của mình.
Bên cạnh tài liệu giải Toán lớp 9: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số chúng tôi còn cập nhật rất nhiều những bài học khác, các bạn cùng tham khảo để hỗ trợ tốt nhất cho quá trình học của mình nhé.
Việc giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số cũng không quá khó khăn đối với các em học sinh lớp 9, tuy nhiên nếu sử dụng giải Toán lớp 9: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số chắc chắn sẽ giúp các em làm quen và giải được tất cả các bài tập trong chương trình sgk Toán lớp 9, giải bài tập trang 19, 20 sgk toán lớp 9 giờ đây không còn gặp nhiều khó khăn nữa. Thông qua tài liệu giải toán lớp 9 này để học tốt Toán lớp 9 các bạn cần có phương pháp học tập tốt cùng với quá trình rèn luyện hiệu quả.
Bài hướng dẫn Giải bài tập trang 19, 20 SGK Toán 9 Tập 2 trong mục giải bài tập toán lớp 9. Các em học sinh có thể xem lại phần Giải bài tập trang 15, 16 SGK Toán 9 Tập 2 đã được giải trong bài trước hoặc xem trước hướng dẫn Giải bài tập trang 22 SGK Toán 9 Tập 2 để học tốt môn Toán lớp 9 hơn.
Như những bài trước chúng ta đã cùng nhau tìm hiểu gGiải bài tập trang 19, 20 SGK Toán 9 Tập 2 - Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số bài này chúng ta sẽ tiếp tục tìm hiểu về giải hệ phương trình bằng phương pháp mới là cộng đại số. Giải Toán lớp 9 bài giả hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số với danh sách bài giải được hướng dẫn và trình bày chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo
Học trực tuyến môn Tiếng Anh lớp 9 ngày 20/4/2020, Review 4.2 Skills Giải bài tập trang 110, 111 SGK Toán 9 Tập 2 Học trực tuyến môn Toán lớp 9 ngày 14/4/2020, Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc 2 Học trực tuyến môn Toán lớp 9 ngày 21/4/2020, Hệ thức Viete và ứng dụng Giải bài tập trang 15, 16 SGK Toán 9 Tập 2 Bài tập tính thể tích hình trụ lớp 92.320 lượt xem
Giải hệ phương trình
Giải hệ phương trình bậc nhất một ẩn là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.
A. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là: [I]
Trong đó x. y là hai ẩn, các chữ số còn lại là hệ số.
Nếu cặp số [x0;y0] đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì [x0;y0] được gọi là nghiệm của hệ phương trình [I]
Giải hệ phương trình [I] ta tìm được tập nghiệm của nó.
B. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình tương đương
Phương pháp cộng đại số
Bước 1: Nhân các vế của cả hai phương trình với số thích hợp [nếu cần] sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
Bước 2: Cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình của hệ đã cho để được một phương trình mới [phương trình một ẩn]
Bước 3: Dùng phương trình một ẩn thay thế cho một trong hai phương trình của hệ [và giữ nguyên phương trình kia]
Bước 4: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.
Ví dụ: Giải hệ phương trình:
Hướng dẫn giải
Nhân cả hai vế của phương trình x + 4y = 6 với 2 ta được
2x + 8y = 12
Hệ phương trình trở thành
Lấy hai vế phương trình thứ hai trừ hai vế phương trình thứ nhất ta được
2x + 8y – [2x – 3y] = 12 – 1
=>2x + 8y – 2x + 3y = 11
=>11y = 11
=> y = 1
Thay y = 1 vào phương trình x + 4y = 6 ta được
x + 4 = 6
=> x = 6 – 4
=> x = 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm [x; y] = [2; 1]
Ta có thể làm như sau:
Vậy hệ phương trình có nghiệm [x; y] = [2; 1]
Ví dụ: Biết [m, n] là nghiệm của hệ phương trình . Tính tổng S = m2 + n2
Hướng dẫn giải
Ta có:
=> [x; y] = [m; n] = [2; 1]
=> m = 2; n = 1
S = m2 + n2 = 22 + 12 = 5
Vậy S = 5
C. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
Biến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình tương đương
Phương pháp thế
Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia.
Bước 2: Thế ẩn đã biến đổi vào phương trình còn lại để được phương trình mới [Phương trình bậc nhất một ẩn]
Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa tìm được rồi suy ra nghiệm của hệ phương trình.
Ví dụ: Giải hệ phương trình
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình
Rút x từ phương trinh trình thứ nhất ta được x = 3 – y
Thay x = 3 – y vào phương trình thứ hai ta được:
[3 – y]y – 2[3 – y] = -2
=> 3y – y2 – 6 + 2y = -2
=> y2 - 5y + 4 = 0
Do 1 – 5 + 4 = 0 => y = 1 hoặc y = 4
Với y = 4 => x = 3 – 4 = -1
Với y = 1 => x = 3 – 1 = 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm [x; y] = [-1; 4] = [2; 1]
Ta có thể làm bài như sau:
Vậy hệ phương trình có nghiệm [x; y] = [-1; 4] = [2; 1]
D. Giải hệ phương trình bằng định thức
Hệ phương trình:
Định thức
Xét định thức | Kết quả | |
Hệ có nghiệm duy nhất | ||
D = 0 | Hệ vô nghiệm | |
Hệ vô số nghiệm |
E. Giải hệ phương trình đối xứng
1. Hệ phương trình đối xứng loại 1
Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1
Đặt ta quy hệ phương trình vế 2 ẩn S, P
Chú ý: Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể hiện trong một phương trình. Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ S, P từ đó suy ra quan hệ x, y.
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn giải
Đặt hệ phương trình đã cho trở thành
=> x, y là hai nghiệm của phương trình
Vậy hệ phương trình có tập nghiệm [x; y] = [0; 2] = [2; 0]
Để hiểu hơn về cách giải hệ đối xứng loại 1, mời bạn đọc tham khảo tài liệu:
Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1
2. Hệ phương trình đối xứng loại 2
Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2
Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình có dạng
Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn giải
Điều kiện
Ta kiểm tra được không là nghiệm của hệ phương trình đã cho
Xét trường hợp . Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta được:
Khi x = y xét phương trình
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất [x; y] = [0; 0]
Để hiểu hơn về cách giải hệ đối xứng loại 2, mời bạn đọc tham khảo tài liệu:
Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 2
F. Giải hệ phương trình đẳng cấp
Ví dụ : Giải hệ phương trình sau:
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
Từ phương trình thứ nhất ta có:
Thay vào phương trình thứ hai ta được:
Đây là phương trình đẳng cấp đối với
Đặt phương trình trở thành
Với t = 1 ta có y = x2 + 2 thay vào phương trình thứ nhất cuat hệ ta thu được x = -1 => y = 3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất [x; y] = [1; -3]
Để hiểu hơn về cách giải hệ đẳng cấp, mời bạn đọc tham khảo tài liệu:
Các phương pháp giải hệ phương trình đẳng cấp
Tài liệu liên quan:
-----------------------------------------------------
Hy vọng tài liệu Cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi hệ phương trình đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo!
Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:
- Luyện tập Toán 9
- Giải bài tập SGK Toán 9
- Đề thi giữa học kì môn Toán 9