Giải và biện luận phương trình bậc 1 ax+b=0

congthuc.edu.vn giới thiệu cách giải và biện luận phương trình ax + b = 0, có ví dụ minh họa

Từ khóa: công thức nghiệm phương trình bậc 2giải và biện luận phương trình ax + b = 0

I. Tóm tắt lý thuyết

Cách giải và biện luận phương trình dạng ax+b=0 được tóm tắt trong bảng sau

ax + b = 0  [1]
Hệ số	Kết luận
a ≠ 0	[1] có nghiệm duy nhất x = -b/a
a = 0	b ≠ 0	[1] vô nghiệm
b = 0	[1] nghiệm đúng với mọi x

Khi a ≠ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn

II. Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho phương trình [m2 - 7m + 6]x + m2 - 1 = 0

a. Giải phương trình khi m = 0

b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

Hướng dẫn:

a. Với m = 0 phương trình trở thành 6x - 1 = 0 ⇔ x = 1/6

Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1/6

b. Ta có [m2 - 7m + 6]x + m2 - 1 = 0 ⇔ [m-1][m-6]x + [m-1][m+1] = 0

Nếu m = 1 phương trình trở thành 0 = 0. Khi đó phương trình có vô số nghiệm.

Nếu m = 6 thì phương trình trở thành 35 = 0 [Vô lí]. Khi đó phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình [2m - 4]x = m - 2 có nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn:

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 2m - 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2

B. Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m

I. Tóm tắt lý thuyết và phương pháp giải

Giải và biện luận phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0

Bước 1. Biến đổi phương trình về đúng dạng ax2 + bx + c = 0

Bước 2. Nếu hệ số a chứa tham số, ta xét 2 trường hợp:

- Trường hợp 1: a = 0, ta giải và biện luận ax + b = 0.

- Trường hợp 2: a ≠ 0. Ta lập Δ = b2 - 4ac. Khi đó:

+ Nếu Δ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt 

+ Nếu Δ = 0 thì phương trình có 1 nghiệm [kép]: x = -b/2a

+ Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Bước 3. Kết luận.

Lưu ý:

- Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm 

- Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất 

II. Ví dụ minh họa

Bài 1: Phương trình [m–1]x2 + 3x – 1 = 0. Phương trình có nghiệm khi:

Hướng dẫn:

Với m = 1, phương trình trở thành 3x - 1 = 0 ⇔ x = 1/3

Do đó m = 1 thỏa mãn.

Với m ≠ 1, ta có Δ = 9 + 4[m-1] = 4m + 5

Phương trình có nghiệm khi Δ ≥ 0

Hợp hai trường hợp ta được m ≥ -5/4 là giá trị cần tìm

Bài 2: Phương trình [x2 - 3x + m][x - 1] = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi:

Hướng dẫn:

Phương trình [1] có 3 nghiệm phân biệt

⇔ Phương trình [2] có hai nghiệm phân biệt khác 1

Tham khảo các bài học khác

Bài viết hướng dẫn phương pháp giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn, nội dung bài viết gồm 3 phần: phương pháp giải, ví dụ minh họa và các bài tập rèn luyện, các ví dụ và bài tập trong bài viết đều được phân tích và giải chi tiết.

1. Phương pháp giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn
Giải và biện luận phương trình dạng $ax + b = 0:$ • Nếu $a\ne 0$, ta có: $ax + b = 0$ $\Leftrightarrow x=-\frac{b}{a}$, do đó phương trình có nghiệm duy nhất $x=-\frac{b}{a}.$ • Nếu $a=0$: phương trình $ax + b = 0$ trở thành $0x+b=0$, khi đó: + Trường hợp 1: Với $b=0$ phương trình $ax + b = 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in R.$ + Trường hợp 2: Với $b\ne 0$ phương trình $ax + b = 0$ vô nghiệm.

Chú ý:

+ Phương trình $ax+b=0$ có nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} a\ne 0 \\ a=b=0 \\ \end{matrix} \right.$ + Phương trình $ax+b=0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a=0 \\ b\ne 0 \\ \end{matrix} \right.$

+ Phương trình $ax+b=0$ có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow a\ne 0.$

2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình sau với $m$ là tham số: a] $\left[ {m – 1} \right]x + 2 – m = 0.$ b] $m\left[ {mx – 1} \right] = 9x + 3.$

c] ${[m + 1]^2}x$ $ = [3m + 7]x + 2 + m.$

a] Phương trình tương đương với $\left[ {m – 1} \right]x = m – 2.$ + Với $m – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow m = 1:$ phương trình trở thành $0x = – 1$, suy ra phương trình vô nghiệm. + Với $m – 1 \ne 0$ $ \Leftrightarrow m \ne 1:$ phương trình tương đương với $x = \frac{{m – 2}}{{m – 1}}.$ Kết luận: + Nếu $m = 1$, phương trình vô nghiệm. + Nếu $m \ne 1$, phương trình có nghiệm duy nhất $x = \frac{{m – 2}}{{m – 1}}.$ b] Ta có: $m\left[ {mx – 1} \right] = 9x + 3$ $ \Leftrightarrow \left[ {{m^2} – 9} \right]x = m + 3.$ Với ${m^2} – 9 = 0$ $ \Leftrightarrow m = \pm 3:$ + Khi $m=3:$ Phương trình trở thành $0x=6$, suy ra phương trình vô nghiệm. + Khi $m=-3$: Phương trình trở thành $0x=0$, suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R.$ Với ${{m}^{2}}-9\ne 0$ $\Leftrightarrow m\ne \pm 3$: Phương trình tương đương với $x=\frac{m+3}{{{m}^{2}}-9}=\frac{1}{m-3}$. Kết luận: + Với $m=3$: Phương trình vô nghiệm. + Với $m=-3$: Phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R.$ + Với $m\ne \pm 3$: Phương trình có nghiệm $x=\frac{1}{m-3}.$ c] Phương trình tương đương với $\left[ {{[m+1]}^{2}}-3m-7 \right]x=2+m$ $\Leftrightarrow \left[ {{m}^{2}}-m-6 \right]x=2+m.$ Với ${{m}^{2}}-m-6=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m=3 \\ m=-2 \\ \end{matrix} \right.$: + Khi $m=3:$ Phương trình trở thành $0x=5$, suy ra phương trình vô nghiệm. + Khi $m=-2:$ Phương trình trở thành $0x=0$, suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R.$ Với ${{m}^{2}}-m-6\ne 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m\ne 3 \\ m\ne -2 \\ \end{matrix} \right.$: Phương trình tương đương với $x=\frac{m+2}{{{m}^{2}}-m-6}=\frac{1}{m-3}$. Kết luận: + Với $m=3$ : Phương trình vô nghiệm. + Với $m=-2$ : Phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R.$

+ Với $m\ne 3$ và $m\ne -2$: Phương trình có nghiệm $x=\frac{1}{m-3}.$

Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình sau với $a,b$ là tham số: a] ${a^2}\left[ {x – a} \right] = {b^2}\left[ {x – b} \right].$

b] $b\left[ {ax – b + 2} \right] = 2\left[ {ax + 1} \right].$

a] Ta có: ${a^2}\left[ {x – a} \right] = {b^2}\left[ {x – b} \right]$ $ \Leftrightarrow \left[ {{a^2} – {b^2}} \right]x = {a^3} – {b^3}.$ Với ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow a=\pm b:$ + Khi $a=b$: Phương trình trở thành $0x=0$, suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R.$ + Khi $a=-b$ và $b\ne 0$: Phương trình trở thành $0x=-2{{b}^{3}}$, suy ra phương trình vô nghiệm. [Trường hợp $a=-b$, $b=0$ $\Rightarrow a=b=0$ thì rơi vào trường hợp $a=b$]. Với ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}\ne 0$ $\Leftrightarrow a\ne \pm b$: Phương trình tương đương với $x=\frac{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=$ $\frac{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}{a+b}.$ Kết luận: + Với $a=b$: Phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R.$ + Với $a=-b$ và $b\ne 0$: Phương trình vô nghiệm. + Với $a\ne \pm b$: Phương trình có nghiệm là $x=\frac{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}{a+b}.$ b] Ta có $b\left[ ax-b+2 \right]=2\left[ ax+1 \right]$ $\Leftrightarrow a\left[ b-2 \right]x={{b}^{2}}-2b+2.$ Với $a\left[ b-2 \right]=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} a=0 \\ b=2 \\ \end{matrix} \right.$ + Khi $a=0$: Phương trình trở thành $0x={{b}^{2}}-2b+2$, do ${{b}^{2}}-2b+2={{\left[ b-1 \right]}^{2}}+1>0$ nên phương trình vô nghiệm. + Khi $b=2$: Phương trình trở thành $0x=2$, suy ra phương trình vô nghiệm. Với $a\left[ b-2 \right]\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a\ne 0 \\ b\ne 2 \\ \end{matrix} \right.$: Phương trình tương đương với $x=\frac{{{b}^{2}}-2b+2}{a\left[ b-2 \right]}$ . Kết luận: + Với $a=0$ hoặc $b=2$ thì phương trình vô nghiệm.

+ Với $a\ne 0$ và $b\ne 2$ thì phương trình có nghiệm là $x=\frac{{{b}^{2}}-2b+2}{a\left[ b-2 \right]}.$

Ví dụ 3. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm duy nhất: a] $[{{m}^{2}}-m]x=2x+{{m}^{2}}-1.$

b] $m\left[ 4mx-3m+2 \right]=x[m+1].$

a] Ta có $[{{m}^{2}}-m]x=2x+{{m}^{2}}-1$ $\Leftrightarrow [{{m}^{2}}-m-2]x={{m}^{2}}-1.$ Phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow a\ne 0$ hay ${{m}^{2}}-m-2\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m\ne -1 \\ m\ne 2 \\ \end{matrix} \right.$ Vậy với $m\ne -1$ và $m\ne 2$ thì phương trình có nghiệm duy nhất. b] Ta có $m\left[ 4mx-3m+2 \right]=x[m+1]$ $\Leftrightarrow \left[ 4{{m}^{2}}-m-1 \right]x=3{{m}^{2}}-2m.$ Phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow a\ne 0$ hay $4{{m}^{2}}-m-1\ne 0$ $\Leftrightarrow m\ne \frac{1\pm \sqrt{17}}{8}.$

Vậy với $m\ne \frac{1\pm \sqrt{17}}{8}$ thì phương trình có nghiệm duy nhất.

Ví dụ 4. Tìm $m$ để đồ thị hai hàm số sau không cắt nhau $y=\left[ m+1 \right]{{x}^{2}}+3{{m}^{2}}x+m$ và $y=\left[ m+1 \right]{{x}^{2}}+12x+2.$

Đồ thị hai hàm số không cắt nhau khi và chỉ khi phương trình $\left[ m+1 \right]{{x}^{2}}+3{{m}^{2}}x+m$ $=\left[ m+1 \right]{{x}^{2}}+12x+2$ vô nghiệm $\Leftrightarrow 3\left[ {{m}^{2}}-4 \right]x=2-m$ vô nghiệm $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} – 4 = 0}\\ {2 – m \ne 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = \pm 2}\\ {m \ne 2} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow m = – 2.$ Vậy với $m=-2$ là giá trị cần tìm. [ads]

3. Bài tập rèn luyện
a. Đề bài:

Bài toán 1. Giải và biện luận phương trình sau với $m$ là tham số: a] $\left[ 2m-4 \right]x+2-m=0.$

b] $[m+1]x=[3{{m}^{2}}-1]x+m-1.$

Bài toán 2. Giải và biện luận các phương trình sau: a] $\frac{x+a-b}{a}-\frac{x+b-a}{b}=\frac{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}{ab}.$

b] $\frac{ax-1}{x-1}+\frac{2}{x+1}=\frac{a\left[ {{x}^{2}}+1 \right]}{{{x}^{2}}-1}.$

Bài toán 3. Tìm $m$ để phương trình sau vô nghiệm: a] $[{{m}^{2}}-m]x=2x+{{m}^{2}}-1.$

b] ${{m}^{2}}\left[ x-m \right]=x-3m+2.$

Bài toán 4. Tìm điều kiện của $a,b$ để phương trình sau có nghiệm. a] $a\left[ bx-a+2 \right]=\left[ a+b-1 \right]x+1.$

b] $\frac{2x-a}{a}-b=\frac{2x-b}{b}-a[a,b\ne 0].$

b. Hướng dẫn và đáp số:
Bài toán 1. a] Phương trình tương đương với $\left[ 2m-4 \right]x=m-2.$ + Với $2m-4=0$ $\Leftrightarrow m=2$: Phương trình trở thành $0x=0$, suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi $x$. + Với $2m-4\ne 0$ $\Leftrightarrow m\ne 2$: Phương trình tương đương với $x=-1.$ Kết luận: + Với $m=2$: Phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$ + Với $m\ne 2$: Phương trình có nghiệm duy nhất $x=-1.$ b] Phương trình tương đương với $\left[ 3{{m}^{2}}-m-2 \right]x=1-m.$ Với $3{{m}^{2}}-m-2=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} m=1 \\ m=-\frac{2}{3} \\ \end{matrix} \right.$: + Khi $m=1:$ Phương trình trở thành $0x=0$, phương trình nghiệm đúng với mọi $x$. + Khi $m=-\frac{2}{3}$: Phương trình trở thành $0x=\frac{5}{3}$, suy ra phương trình vô nghiệm. Với $3{{m}^{2}}-m-2\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m\ne 1 \\ m\ne -\frac{2}{3} \\ \end{matrix} \right.$, phương trình $\Leftrightarrow x=\frac{1-m}{3{{m}^{2}}-m-2}=\frac{-1}{3m+2}.$ Kết luận: + Với $m=-\frac{2}{3}$: Phương trình vô nghiệm. + Với $m=1$: Phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$

+ Với $m≠-\frac{2}{3}$ và $m≠1$: Phương trình có nghiệm $x=\frac{-1}{3m+2}.$

Bài toán 2. a] Điều kiện xác định: $a ≠ 0$, $b ≠ 0.$ Ta có: Phương trình $ \Leftrightarrow b\left[ {x + a – b} \right] – a\left[ {x + b – a} \right]$ $ = {b^2} – {a^2}$ $ \Leftrightarrow bx + ab – {b^2} – {\rm{ax}} – ab + {a^2}$ $ = {b^2} – {a^2}$ $ \Leftrightarrow \left[ {b – a} \right]x$ $ = 2\left[ {b – a} \right]\left[ {b + a} \right].$ + Nếu $b – a ≠ 0$ $\Rightarrow b\ne a$ thì $x=\frac{2\left[ b-a \right]\left[ b+a \right]}{b-a}=$ $2\left[ b+a \right].$ + Nếu $b – a = 0$ $\Rightarrow b=a$ thì phương trình có vô số nghiệm. Kết luận: + Với $b ≠ a$, phương trình có nghiệm duy nhất $x = 2[b + a].$ + Với $b = a$, phương trình có vô số nghiệm. b] Điều kiện xác định: $x\ne \pm 1.$ $ \Leftrightarrow \left[ {ax – 1} \right]\left[ {x + 1} \right] + 2\left[ {x – 1} \right]$ $ = a\left[ {{x^2} + 1} \right]$ $ \Leftrightarrow a{x^2} + ax – x – 1 + 2x – 2$ $ = a{x^2} + a$ $ \Leftrightarrow \left[ {a + 1} \right]x = a + 3.$ + Nếu $a+1\ne 0$ $\Rightarrow a\ne -1$ thì $x=\frac{a+3}{a+1}.$ + Nếu $a+1=0$ $\Rightarrow a=-1$ thì phương trình vô nghiệm. Kết luận: + Với $a\ne -1$ và $a\ne -2$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x=\frac{a+3}{a+1}.$

+ Với $a=-1$ hoặc $a=-2$ thì phương trình vô nghiệm.

Bài toán 3. a] Ta có $[{{m}^{2}}-m]x=2x+{{m}^{2}}-1$ $\Leftrightarrow [{{m}^{2}}-m-2]x={{m}^{2}}-1.$ Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a=0 \\ b\ne 0 \\ \end{matrix} \right.$ hay $\left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}-m-2=0 \\ {{m}^{2}}-1\ne 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m=2.$ Vậy với $m=2$ thì phương trình vô nghiệm. b] Ta có: Phương trình $\Leftrightarrow \left[ {{m}^{2}}-1 \right]x={{m}^{3}}-3m+2.$ Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a=0 \\ b\ne 0 \\ \end{matrix} \right.$ hay $\left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}-1=0 \\ {{m}^{3}}-3m+2\ne 0 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m=-1.$

Vậy với $m=-1$ thì phương trình vô nghiệm.

Bài toán 4. a] Ta có $a\left[ bx-a+2 \right]=\left[ a+b-1 \right]x+1$ $\Leftrightarrow \left[ ab-a-b+1 \right]x={{a}^{2}}-2a+1$ $\Leftrightarrow \left[ a-1 \right]\left[ b-1 \right]x={{\left[ a-1 \right]}^{2}}.$ Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left[ a-1 \right]\left[ b-1 \right]\ne 0 \\ \left\{ \begin{matrix} \left[ a-1 \right]\left[ b-1 \right]=0 \\ {{\left[ a-1 \right]}^{2}}=0 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} \left\{ \begin{matrix} a\ne 1 \\ b\ne 1 \\ \end{matrix} \right. \\ a=1 \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow a\ne 1.$ Vậy $a\ne 1$ là điều kiện cần tìm. b] Phương trình tương đương với: $b\left[ 2x-a \right]-a{{b}^{2}}=a\left[ 2x-b \right]-{{a}^{2}}b$ $\Leftrightarrow 2\left[ a-b \right]x=ab\left[ a-b \right].$ Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} a-b\ne 0 \\ \left\{ \begin{matrix} a-b=0 \\ ab\left[ a-b \right]=0 \\ \end{matrix} \right. \\ \end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} a\ne b \\ a=b \\ \end{matrix} \right.$ đúng với mọi $a,b.$

Vậy với mọi $a,b$ khác $0$ thì phương trình có nghiệm.

• Kiến thức Phương trình và hệ phương trình