Giá trị lượng giác của một góc
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.Định nghĩa : Với mỗi góc a [0° a 180°] ta xác định được một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị [h. 2.1] sao cho = a. Giả sử điểm M có toạ độ là M[]. Khi đó :
- Tung độ của điểm M gọi là sin của góc α và được kí hiệu là sinα =.
- Hoành độ của điểm M gọi là côsin của góc α và được kí hiệu là cos α =
2. Các hệ thức lượng giác
a] Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
sin α = sin [180° α]
cos α= -cos [180° α]
tan α = -tan [180° α]
cotα = -cot [180° α].
b] Các hệ thức lượng giác cơ bản
Từ đinh nghĩa giá trị lượng giác của góc α ta suy ra các hệ thức :
4. Góc giữa hai vectơ
Cho hai vectơ và đều khác vectơ . Từ một điểm O bất kì ta vẽ = và = . Khi đó góc với số đo từ 0° đến 180° được gọi là góc giữa hai vectơ và [h.2.2] và kí hiệu là {, ].
B. DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Vấn đề 1
Tính giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.
1. Phương pháp
- Dựa vào định nghĩa, tìm tung độ và hoành độ của điểm M trên nửa đường tròn đơn vị với góc = α và từ đó ta có các giá tri=ị lượng giác :
- Dựa vào tính chất : Hai góc bù nhau có sin bằng nhau và có côsin, tang, côtang đối nhau.
2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho gócα = 135º. Hãy tính sinα, cosα, tanα và cotα.
GIẢI
Do đó cot 135º = -1.
Ví dụ 2.. Cho tam giác cân ABC có = = 15°. Hãy tính các giá trị lượng giác của góc A.
GIẢI
Ta có = 180º [ +] = 180º 30º = 150º.
Vậy sin A = sin [180º 150º] = sin 30º = 1/2;
Do đó cotA =
Ví dụ 3.Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
GIẢI
Vì 180º = + nên ta có:
a] sin A = sin[180º A] sin [B + C];
Vấn đề 2
Cho biết một giá trị lượng giác của góc α, tìm cốc giá trị lượng giác còn lại của α
1. Phương pháp
Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của gócα và các hệ thức cơ bản liên hệ giữa các giá trị đó như :
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho biết cosα = -2/3, hãy tính sinα và tanα.
GIẢI
Vì cosα < 0 nên 90º 0 và tanα < 0.
Vì α + α = 1 nên thay giá trị cosα = -2/3 vào ta có:
Ví dụ 2. Cho gócα, biết 0º