Phương pháp tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng khi có yếu tố song song

Giao tuyến của hai mặt phẳng, giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là vấn đề cơ bản của hình học không gian sơ cấp. Trong phần này chúng ta sẽ tập trung tìm hiểu và thực hành tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng có chứa 2 đường thẳng song song

Nhắc lại các định lí về giao tuyến và hệ quả

Bài 01:

Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành.

1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng [SAB] và [SCD]
2. M thuộc SC. Tìm giao điểm N của SD và [ABM], tứ giác ABMN là hình gì

Bài 02:

Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành. Gọi M, H, K lần lượt là trung điểm AD, SA, SB

1. Tìm giao tuyến của [SAD] và [SBC]
2. Tìm giao điểm N của BC và [MHK]. Tứ giác MHKN là hình gì?.

Bài 03:

Cho hình chóp S ABC. Gọi M, N, P là trung điểm AB, BC, SC. Cho SB = AC.

1. Tìm giao điểm E của SA và [MNP]
2. Chứng minh rằng NP // ME // SB, tứ giác MNPE là hình gì
3. Tìm giao tuyến [ANP] và [SMC]

Bài 04:

Cho hình chóp S.ABCD. Trên các cạnh AC, SC lấy lần lượt các điểm I, K sao cho: AI.SC = AC.SK  mp[α] qua IK cắt các đt  AB, AD, SD, SB tại các điểm theo thứ tự M, N, P, Q . cm: MQ // NP.

Bài 05:

Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P là trung điểm SB, SD, OD.

1. Tìm giao điểm I của BC và [AMN], giao điểm J của CD và [AMN]
2. Tìm giao điểm K của SA và [CMN]
3. Tìm giao tuyến của [NPK] và [SAC]
4. Tìm giao điểm của SC và [NPK]

Bài 06:

Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm OB, SO, BC.

1. Tìm giao tuyến của [NPO] và [SCD], [SAB] và [AMN]
2. Tìm giao điểm E của SA và [MNP], Chứng minh rằng ME // NP
3. Tìm giao điểm MN và [SCD]

Bài 07:

Hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. Lấy một điểm M thuộc cạnh SC .Mặt phẳng [ABM] cắt cạnh SD tại điểm N. Chứng minh NM// CD

Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tứ giác $ABCD$ sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một điểm $S$ không thuộc mặt phẳng $[ABCD]$. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: a] Mặt phẳng $[SAC]$ và mặt phẳng $[SBD].$ b] Mặt phẳng $[SAB]$ và mặt phẳng $[SCD].$

c] Mặt phẳng $[SAD]$ và mặt phẳng $[SBC].$

a] Ta có: $S \in \left[ {SAC} \right] \cap \left[ {SBD} \right]$ $[1].$ Trong mặt phẳng $[ABCD]$ gọi $O = AC \cap BD.$ Vì $\left\{ \begin{array}{l} O \in AC,AC \subset \left[ {SAC} \right]\\ O \in BD,BD \subset \left[ {SBD} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow O \in \left[ {SAC} \right] \cap \left[ {SBD} \right]$ $[2].$ Từ $[1]$ và $[2]$ suy ra: $\left[ {SAC} \right] \cap \left[ {SBD} \right] = SO.$ b] Ta có: $S \in \left[ {SAB} \right] \cap \left[ {SCD} \right]$ $[3].$ Trong mặt phẳng $[ABCD]$ gọi $E = AB \cap CD.$ Vì: $\left\{ \begin{array}{l} E \in AB,AB \subset \left[ {SAB} \right]\\ E \in CD,CD \subset \left[ {SCD} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow E \in \left[ {SAB} \right] \cap \left[ {SCD} \right]$ $[4].$ Từ $[3]$ và $[4]$ suy ra: $\left[ {SAB} \right] \cap \left[ {SCD} \right] = SE.$ c] Ta có: $S \in \left[ {SAD} \right] \cap \left[ {SBC} \right]$ $[5].$ Trong mặt phẳng $[ABCD]$ gọi $F = AD \cap BC.$ Vì $\left\{ \begin{array}{l} F \in AD,AD \subset \left[ {SAD} \right]\\ F \in BC,BC \subset \left[ {SBC} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow F \in \left[ {SAD} \right] \cap \left[ {SBC} \right]$ $[6].$

Từ $[5]$ và $[6]$ suy ra: $\left[ {SAD} \right] \cap \left[ {SBC} \right] = SF.$

Ví dụ 2: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AD, BC.$ a] Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $[IBC]$ và mặt phẳng $[JAD].$

b] Lấy điểm $M$ thuộc cạnh $AB$, $N$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $M,N$ không là trung điểm. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $[IBC]$ và mặt phẳng $[DMN].$

a] Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $[IBC]$ và $[JAD].$ Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} I \in \left[ {IBC} \right]\\ I \in AD,AD \subset \left[ {JAD} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow I \in \left[ {IBC} \right] \cap \left[ {JAD} \right]$ $[1].$ $\left\{ \begin{array}{l} J \in \left[ {JAD} \right]\\ J \in BC,BC \subset \left[ {IBC} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow J \in \left[ {IBC} \right] \cap \left[ {JAD} \right]$ $[2].$ Từ $[1]$ và $[2]$ suy ra: $\left[ {IBC} \right] \cap \left[ {JAD} \right] = IJ.$ b] Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $[IBC]$ và $[DMN]$. Trong mặt phẳng $[ABD]$ gọi $E = BI \cap DM.$ Vì $\left\{ \begin{array}{l} E \in BI,BI \subset \left[ {IBC} \right]\\ E \in DM,DM \subset \left[ {DMN} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow E \in \left[ {IBC} \right] \cap \left[ {DMN} \right]$ $[3].$ Trong mặt phẳng $[ACD]$ gọi $F = CI \cap DN.$ Vì $\left\{ \begin{array}{l} F \in CI,CI \subset \left[ {IBC} \right]\\ F \in DN,DN \subset \left[ {DMN} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow F \in \left[ {IBC} \right] \cap \left[ {DMN} \right]$ $[4].$

Từ $[3]$ và $[4]$ suy ra: $\left[ {IBC} \right] \cap \left[ {DMN} \right] = EF.$

Ví dụ 3: Cho tứ diện $ABCD$. Lấy điểm $M$ thuộc cạnh $AB$, $N$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $MN$ cắt $BC$. Gọi $I$ là điểm bên trong tam giác $BCD.$ Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: a] Mặt phẳng $[MNI]$ và mặt phẳng $[BCD].$ b] Mặt phẳng $[MNI]$ và mặt phẳng $[ABD].$

c] Mặt phẳng $[MNI]$ và mặt phẳng $[ACD].$

a] Mặt phẳng $[MNI]$ và mặt phẳng $[BCD].$ Gọi $H = MN \cap BC$ $\left[ {MN,BC \subset \left[ {ABC} \right]} \right].$ Ta có: $I \in \left[ {IMN} \right] \cap \left[ {BCD} \right]$ $[1].$ $\left\{ \begin{array}{l} H \in MN,MN \subset \left[ {IMN} \right]\\ H \in BC,BC \subset \left[ {BCD} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow H \in \left[ {IMN} \right] \cap \left[ {BCD} \right]$ $[2].$ Từ $[1]$ và $[2]$ suy ra: $\left[ {IMN} \right] \cap \left[ {BCD} \right] = HI.$ b] Mặt phẳng $[MNI]$ và mặt phẳng $[ABD].$ Trong mặt phẳng $[BCD]$, gọi $E$ và $F$ lần lượt là giao điểm của $HI$ với $BD$ và $CD.$ Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} M \in \left[ {MNI} \right]\\ M \in AB \subset \left[ {ABD} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow E \in \left[ {MNI} \right] \cap \left[ {ABD} \right]$ $[3].$ $\left\{ \begin{array}{l} E \in HI \subset \left[ {MNI} \right]\\ E \in BD \subset \left[ {ABD} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow E \in \left[ {MNI} \right] \cap \left[ {ABD} \right]$ $[4].$ Từ $[3]$ và $[4]$ suy ra: $\left[ {MNI} \right] \cap \left[ {ABD} \right] = ME.$ c] Mặt phẳng $[MNI]$ và mặt phẳng $[ACD].$ Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} N \in \left[ {MNI} \right]\\ N \in AC \subset \left[ {ACD} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow N \in \left[ {MNI} \right] \cap \left[ {ACD} \right]$ $[5].$ $\left\{ \begin{array}{l} F \in HI \subset \left[ {MNI} \right]\\ F \in CD \subset \left[ {ACD} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow F \in \left[ {MNI} \right] \cap \left[ {ACD} \right]$ $[6].$

Từ $[5]$ và $[6]$ suy ra: $\left[ {MNI} \right] \cap \left[ {ACD} \right] = NF.$

Ví dụ 4: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang có $AB$ song song với $CD$. Gọi $I$ là giao điểm của $AD$ và $BC$. Lấy $M$ thuộc cạnh $SC$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: a] Mặt phẳng $[SAC]$ và mặt phẳng $[SBD].$ b] Mặt phẳng $[SAD]$ và mặt phẳng $[SBC].$

c] Mặt phẳng $[ADM]$ và mặt phẳng $[SBC].$

a] Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $[SAC]$ và $[SBD].$ Ta có: $S \in \left[ {SAC} \right] \cap \left[ {SBD} \right]$ $\left[ 1 \right].$ Trong mặt phẳng $[ABCD]$ gọi $H = AC \cap BD$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} H \in AC \subset \left[ {SAC} \right]\\ H \in BD \subset \left[ {SBD} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow H \in \left[ {SAC} \right] \cap \left[ {SBD} \right]$ $\left[ 2 \right].$ Từ $[1]$ và $[2]$ suy ra $\left[ {SAC} \right] \cap \left[ {SBD} \right] = SH.$ b] Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $[SAD]$ và $[SBC]$. Ta có: $S \in \left[ {SAD} \right] \cap \left[ {SBC} \right]$ $\left[ 3 \right].$ Trong mặt phẳng $\left[ {ABCD} \right]$ gọi $I = AD \cap BC$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} I \in AD \subset \left[ {SAD} \right]\\ I \in BC \subset \left[ {SBC} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow I \in \left[ {SAD} \right] \cap \left[ {SBC} \right]$ $[4].$ Trong $[3]$ và $[4]$ suy ra: $\left[ {SAD} \right] \cap \left[ {SBC} \right] = SI.$ c] Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $\left[ {ADM} \right]$ và $\left[ {SBC} \right].$ Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} M \in \left[ {ADM} \right]\\ M \in SC,SC \subset \left[ {SBC} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow M \in \left[ {ADM} \right] \cap \left[ {SBC} \right]$ $\left[ 5 \right].$ $\left\{ \begin{array}{l} I \in AD,AD \subset \left[ {ADM} \right]\\ I \in BC,BC \subset \left[ {SBC} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow I \in \left[ {ADM} \right] \cap \left[ {SBC} \right]$ $[6].$

Từ $[5]$ và $[6]$ suy ra: $\left[ {ADM} \right] \cap \left[ {SBC} \right] = MI.$

Ví dụ 5: Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC, CD, SA$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: a] Mặt phẳng $[MNP]$ và mặt phẳng $[SAB].$ b] Mặt phẳng $[MNP]$ và mặt phẳng $[SAD].$ c] Mặt phẳng $[MNP]$ và mặt phẳng $[SBC].$

d] Mặt phẳng $[MNP]$ và mặt phẳng $[SCD].$

Gọi $F = MN \cap AB$, $E = MN \cap AD$ [vì $MN,AB,AD \subset \left[ {ABCD} \right]$]. a] Mặt phẳng $[MNP]$ và mặt phẳng $[SAB].$ Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} P \in \left[ {MNP} \right]\\ P \in SA,SA \subset \left[ {SAB} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow P \in \left[ {MNP} \right] \cap \left[ {SAB} \right]$ $\left[ 1 \right].$ $\left\{ \begin{array}{l} F \in MN,MN \subset \left[ {MNP} \right]\\ F \in AB,AB \subset \left[ {SAB} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow F \in \left[ {MNP} \right] \cap \left[ {SAB} \right]$ $\left[ 2 \right].$ Từ $[1]$ và $[2]$ suy ra: $\left[ {MNP} \right] \cap \left[ {SAB} \right] = PF.$ b] Mặt phẳng $[MNP]$ và mặt phẳng $[SAD].$ Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} P \in \left[ {MNP} \right]\\ P \in SA,SA \subset \left[ {SAD} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow P \in \left[ {MNP} \right] \cap \left[ {SAD} \right]$ $\left[ 3 \right].$ $\left\{ \begin{array}{l} E \in MN,MN \subset \left[ {MNP} \right]\\ E \in AD,AD \subset \left[ {SAD} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow E \in \left[ {MNP} \right] \cap \left[ {SAD} \right]$ $\left[ 4 \right].$ Từ $[3]$ và $[4]$ suy ra $\left[ {MNP} \right] \cap \left[ {SAD} \right] = PE.$ c] Mặt phẳng $[MNP]$ và mặt phẳng $[SBC].$ Trong mặt phẳng $[SAB]$ gọi $K = PF \cap SB$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} K \in PF,PF \subset \left[ {MNP} \right]\\ K \in SB,SB \subset \left[ {SBC} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow K \in \left[ {MNP} \right] \cap \left[ {SBC} \right]$ $\left[ 5 \right].$ $\left\{ \begin{array}{l} M \in \left[ {MNP} \right]\\ M \in BC,BC \subset \left[ {SBC} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow M \in \left[ {MNP} \right] \cap \left[ {SBC} \right]$ $\left[ 6 \right].$ Từ $[5]$ và $[6]$ suy ra $\left[ {MNP} \right] \cap \left[ {SBC} \right] = MK.$ d] Mặt phẳng $[MNP]$ và mặt phẳng $[SCD].$ Gọi $H = PE \cap SD$ $\left[ {PE,SD \subset \left[ {SAD} \right]} \right]$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} H \in PE,PE \subset \left[ {MNP} \right]\\ H \in SD,SD \subset \left[ {SCD} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow H \in \left[ {MNP} \right] \cap \left[ {SCD} \right]$ $\left[ 7 \right].$ $\left\{ \begin{array}{l} N \in \left[ {MNP} \right]\\ N \in CD,CD \subset \left[ {SCD} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow N \in \left[ {MNP} \right] \cap \left[ {SCD} \right]$ $\left[ 8 \right].$

Từ $[7]$ và $[8]$ suy ra: $\left[ {MNP} \right] \cap \left[ {SCD} \right] = NH.$

Ví dụ 6: Cho tứ diện $S.ABC$. Lấy $M \in SB$, $N \in AC$, $I \in SC$ sao cho $MI$ không song song với $BC, NI$ không song song với $SA.$ Tìm giao tuyến của mặt phẳng $[MNI]$ với các mặt $[ABC]$ và $[SAB].$

a] Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $[MNI]$ và $[ABC].$ Vì $\left\{ \begin{array}{l} N \in \left[ {MNI} \right]\\ N \in AC,AC \subset \left[ {ABC} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow N \in \left[ {MNI} \right] \cap \left[ {ABC} \right]$ $[1].$ Trong mặt phẳng $[SBC]$ gọi $K = MI \cap BC.$ Vì: $\left\{ \begin{array}{l} K \in MI \subset \left[ {MNI} \right]\\ K \in BC,BC \subset \left[ {ABC} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow K \in \left[ {MNI} \right] \cap \left[ {ABC} \right]$ $\left[ 2 \right].$ Từ $[1]$ và $[2]$ suy ra: $\left[ {MNI} \right] \cap \left[ {ABC} \right] = NK.$ b] Tìm giao tuyến của $2$ mặt phẳng $[MNI]$ và $[SAB].$ Gọi $J = NI \cap SA$ $\left[ {NI,SA \subset \left[ {SAC} \right]} \right].$ Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} M \in \left[ {MNI} \right]\\ M \in SB,SB \subset \left[ {SAB} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow M \in \left[ {MNI} \right] \cap \left[ {SAB} \right]$ $\left[ 3 \right].$ $\left\{ \begin{array}{l} J \in NI \subset \left[ {MNI} \right]\\ J \in SA,SA \subset \left[ {SAB} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow J \in \left[ {MNI} \right] \cap \left[ {SAB} \right]$ $\left[ 4 \right].$

Từ $[3]$ và $[4]$ suy ra: $\left[ {MNI} \right] \cap \left[ {SAB} \right] = MJ.$

Ví dụ 7: Cho tứ diện $ABCD$, $M$ là một điểm nằm bên trong tam giác $ABD$, $N$ là một điểm bên trong tam giác $ACD$. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: a] Mặt phẳng $[AMN]$ và mặt phẳng $[BCD].$

b] Mặt phẳng $[DMN]$ và mặt phẳng $[ABC].$

a] Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $[AMN]$ và $[BCD].$ Trong mặt phẳng $[ABD]$, gọi $E = AM \cap BD$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} E \in AM,AM \subset \left[ {AMN} \right]\\ E \in BD,BD \subset \left[ {BCD} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow E \in \left[ {AMN} \right] \cap \left[ {BCD} \right]$ $[1].$ Trong $[ACD]$ gọi $F = AN \cap CD$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} F \in AN,AN \subset \left[ {AMN} \right]\\ F \in CD,CD \subset \left[ {BCD} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow F \in \left[ {AMN} \right] \cap \left[ {BCD} \right]$ $[2].$ Từ $[1]$ và $[2]$ suy ra: $\left[ {AMN} \right] \cap \left[ {BCD} \right] = EF.$ b] Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $[DMN]$ và $[ABC].$ Trong mặt phẳng $[ABD]$, gọi $P = DM \cap AB$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} P \in DM,DM \subset \left[ {DMN} \right]\\ P \in AB,AB \subset \left[ {ABC} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow P \in \left[ {DMN} \right] \cap \left[ {ABC} \right]$ $[3].$ Trong $[ACD]$, gọi $Q = DN \cap AC$, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} Q \in DN,DN \subset \left[ {DMN} \right]\\ Q \in AC,AC \subset \left[ {ABC} \right] \end{array} \right.$ $ \Rightarrow Q \in \left[ {DMN} \right] \cap \left[ {ABC} \right]$ $\left[ 4 \right].$

Từ $[3]$ và $[4]$ suy ra: $\left[ {DMN} \right] \cap \left[ {ABC} \right] = PQ.$

Ví dụ 8: Cho tứ diện $ABCD$. Lấy $I \in AB$, $J$ là điểm trong tam giác $BCD$, $K$ là điểm trong tam giác $ACD$. Tìm giao tuyến của mặt phẳng $[IJK]$ với các mặt của tứ diện.

Gọi: $M = DK \cap AC$ $\left[ {DK,AC \subset \left[ {ACD} \right]} \right].$ $N = DJ \cap BC$ $\left[ {DJ,BC \subset \left[ {BCD} \right]} \right].$ $H = MN \cap KJ$ $\left[ {MN,KJ \subset \left[ {DMN} \right]} \right].$ Vì $H \in MN$, $MN \subset \left[ {ABC} \right]$ $ \Rightarrow H \in \left[ {ABC} \right].$ Gọi: $P = HI \cap BC$ $\left[ {HI,BC \subset \left[ {ABC} \right]} \right].$ $Q = PJ \cap CD$ $\left[ {PJ,CD \subset \left[ {BCD} \right]} \right].$ $T = QK \cap AD$ $\left[ {QK,AD \subset \left[ {ACD} \right]} \right].$ Theo cách dựng điểm ở trên, ta có: $\left[ {IJK} \right] \cap \left[ {ABC} \right] = IP.$ $\left[ {IJK} \right] \cap \left[ {BCD} \right] = PQ.$ $\left[ {IJK} \right] \cap \left[ {ACD} \right] = QT.$

$\left[ {IJK} \right] \cap \left[ {ABD} \right] = TI.$

• Kiến thức Hình học không gian