Video Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng
Viết phương trình mặt cầu có tâm tiếp xúc mặt phẳng cực hay
Viết phương trình mặt cầu có tâm tiếp xúc mặt phẳng cực hay
Bài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu – dạng bài cơ bản – Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu biết tâm I [a; b; c] và mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng [P]: Ax + By + Cz + D = 0
Liên quan: viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng
Phương pháp giải
Do mặt cầu [S] tiếp xúc với mặt phẳng [P] nên khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng [P] bằng bán kính R
R=d[I;[P]]
Khi đó, phương trình mặt cầu cần tìm là:
[S]: [x-a]2+[y-b]2+[z-c]2=R2
Ví dụ minh họa
Bài 1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I [1; -2; 0] và tiếp xúc với mặt phẳng [P]: x + 2x + 2z – 5 = 0.
Hướng dẫn:
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng [P] là:
d[I;[P]]
Do [P] tiếp xúc với mặt cầu [S] nên bán kính mặt cầu R=d[I;[P]]=8/3
Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm I [1; -2; 0] và tiếp xúc với [P] là:
[x-1]2+[y+2]2+z2=64/9
Bài 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I [3; -1; -2] và tiếp xúc với mặt phẳng [Oxy]
Hướng dẫn:
Phương trình mặt phẳng [Oxy] là: z = 0
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng Oxy là:
d[I;[Oxy]]=|-2|/√[12 ]=2
Phương trình mặt cầu có tâm I [3; -1; -2] và tiếp xúc với mặt phẳng [Oxy] là:
[x-3]2+[y+1]2+[z+2]2=4
Bài 3: Cho 4 điểm A [3; -2; -2], B [3; 2; 0], C [0; 2; 1] và D [-1; 1; 2]. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng [BCD].
Hướng dẫn:
BC→=[-3;0;1]; BD→=[-4; -1;2]
⇒ [BC→ , BD→ ]=[1;2;3]
⇒ Vecto pháp tuyến của mặt phẳng [BCD] là: n→ =[1;2;3]
Phương trình mặt phẳng [BCD] có VPPT n→=[1;2;3] và đi qua điểm B[3; 2; 0] là: x-3+2[y-2]+3z=0
⇔ x+2y+3z-7=0
Khoảng cách từ A đến mặt phẳng [BCD] là:
d[A;[BCD]]
Khi đó, phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với [BCD] là:
[x-3]2+[y+2]2+[z+2]2=14
Bài 4: Cho mặt phẳng [ P ]: 2x + 3y + z – 2 = 0. Mặt cầu [S] có tâm I thuộc trục Oz, bán kính bằng 2/√[14] và tiếp xúc mặt phẳng [P] có phương trình:
Hướng dẫn:
Tâm I thuộc trục Oz nên I [0; 0; c]
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng [P] là:
d[I;[P]]
Do mặt phẳng [P] tiếp xúc với mặt cầu nên khoảng cách từ I đến mặt phẳng [P] bằng bán kính của mặt cầu.
Khi đó, tồn tại 2 điểm I thỏa mãn là [0; 0; 2] và [0; 0; 0]
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
x2 +y2 +z2=2/7
x2 +y2 +[z-2]2=2/7
Bài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu – dạng bài nâng cao – Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại banmaynuocnong.com
- Hơn 75.000 câu trắc nghiệm Toán có đáp án
- Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Hóa có đáp án chi tiết
- Gần 40.000 câu trắc nghiệm Vật lý có đáp án
- Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Tiếng Anh có đáp án
- Kho trắc nghiệm các môn khác
Có hai đặc điểm quan trọng của bài toán về trường hợp mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
· Điều kiện tiếp xúc $d\left[ I;\left[ P \right] \right]=R$.
· Tâm I sẽ nằm trên đường thẳng D đi qua điểm tiếp xúc và vuông góc với mặt phẳng $\left[ P \right]$.
Bài tập viết phương trình mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng có đáp án chi tiết
| Bài tập 1: Lập phương trình mặt cầu $\left[ S \right]$ tiếp xúc $\left[ P \right]:3x+y+z-4=0$ tại điểm $M\left[ 1;-2;3 \right]$ và đi qua $A\left[ -1;0;1 \right]$. |
Lời giải chi tiết
Do $\left[ S \right]$ tiếp xúc với $\left[ P \right]$ tại $M\left[ 1;-2;3 \right]$ nên $IM\bot \left[ P \right]\Rightarrow IM$ qua $M\left[ 1;-2;3 \right]$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{{{n}_{\left[ P \right]}}}=\left[ 3;1;1 \right]$ suy ra $IM:\left\{ \begin{array} {} x=1+3t \\ {} y=-2+t \\ {} z=3+t \\ \end{array} \right.$
Gọi $I\left[ 1+3t;-2+t;3+t \right]$. Ta có $I{{M}^{2}}=I{{A}^{2}}\Leftrightarrow 11{{t}^{2}}={{\left[ 3t+2 \right]}^{2}}+{{\left[ t-2 \right]}^{2}}+{{\left[ t+2 \right]}^{2}}$
$\Leftrightarrow 12t+12=0\Leftrightarrow t=-1$.
Suy ra $I\left[ -2;-3;2 \right];R=IA=\sqrt{11}\Rightarrow \left[ S \right]:{{\left[ x+2 \right]}^{2}}+{{\left[ y+3 \right]}^{2}}+{{\left[ z-2 \right]}^{2}}=11$.
| Bài tập 2: Lập phương trình mặt cầu $\left[ S \right]$ tiếp xúc $\left[ P \right]:x+2y+3z+10=0$ tại điểm $M\left[ 2;-3;-2 \right]$ và đi qua $A\left[ 0;1;2 \right]$. |
Lời giải chi tiết
Do $\left[ S \right]$ tiếp xúc với $\left[ P \right]$ tại $M\left[ 2;-3;-2 \right]$ nên $IM\bot \left[ P \right]\Rightarrow IM$ qua $M\left[ 2;-3;-2 \right]$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{{{n}_{\left[ P \right]}}}=\left[ 1;2;3 \right]$ suy ra $IM:\left\{ \begin{array} {} x=2+t \\ {} y=-3+2t \\ {} z=-2+3t \\ \end{array} \right.$
Gọi $I\left[ 2+t;-3+2t;-2+3t \right]$. Ta có $I{{M}^{2}}=I{{A}^{2}}\Leftrightarrow 14{{t}^{2}}={{\left[ t+2 \right]}^{2}}+{{\left[ 2t-4 \right]}^{2}}+{{\left[ 3t-4 \right]}^{2}}$
$\Leftrightarrow 36-36t=0\Leftrightarrow t=1\Rightarrow I\left[ 3;-1;1 \right];R=IA=\sqrt{14}$.
Phương trình mặt cầu $\left[ S \right]:{{\left[ x-3 \right]}^{2}}+{{\left[ y+1 \right]}^{2}}+{{\left[ z-1 \right]}^{2}}=14$.
| Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm $I\left[ -1;2;-1 \right]$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left[ P \right]:2x-y+2z-3=0$? A. ${{\left[ x-1 \right]}^{2}}+{{\left[ y+2 \right]}^{2}}+{{\left[ z-1 \right]}^{2}}=3$. B. ${{\left[ x-1 \right]}^{2}}+{{\left[ y+2 \right]}^{2}}+{{\left[ z-1 \right]}^{2}}=9$. C. ${{\left[ x+1 \right]}^{2}}+{{\left[ y-2 \right]}^{2}}+{{\left[ z+1 \right]}^{2}}=3$. D. ${{\left[ x+1 \right]}^{2}}+{{\left[ y-2 \right]}^{2}}+{{\left[ z+1 \right]}^{2}}=9$. |
Lời giải chi tiết
Bán kính mặt cầu tâm I là: $R=d\left[ I;\left[ P \right] \right]=\frac{\left| 2.\left[ -1 \right]-2-2-3 \right|}{\sqrt{4+1+4}}=3$.
Do đó phương trình mặt cầu là: ${{\left[ x+1 \right]}^{2}}+{{\left[ y-2 \right]}^{2}}+{{\left[ z+1 \right]}^{2}}=9$. Chọn D.
| Bài tập 4: Có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt phẳng $\left[ \alpha \right]:x+y+z=0$ đồng thời tiếp xúc với mặt cầu $\left[ S \right]:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-2z=0$? A. 1. B. 0. C. vô số. D. 2. |
Lời giải chi tiết
Mặt cầu có tâm $I\left[ 1;1;1 \right];\text{ }R=\sqrt{3}$.
Mặt phẳng cầm tìm có dạng $\left[ P \right]:x+y+z+m=0\text{ }\left[ \text{Do }\left[ P \right]//\left[ \alpha \right]\Rightarrow m\ne 0 \right]$.
Điều kiện tiếp xúc: $d\left[ I;\left[ P \right] \right]=R\Leftrightarrow \frac{\left| m+3 \right|}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} m=0\text{ }\left[ loai \right] \\ {} m=-6 \\ \end{array} \right.$. Chọn A.
| Bài tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array} {} x=t \\ {} y=-1 \\ {} z=-t \\ \end{array} \right.$ và hai mặt phẳng $\left[ P \right]:x+2y+2z+3=0$ và $\left[ Q \right]:x+2y+2z+7=0$. Phương trình mặt cầu $\left[ S \right]$ có $I\in d$ và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng $\left[ P \right]$ và $\left[ Q \right]$ có phương trình là: A. ${{\left[ x-3 \right]}^{2}}+{{\left[ y+1 \right]}^{2}}+{{\left[ z+3 \right]}^{2}}=\frac{9}{4}$. B. ${{\left[ x-3 \right]}^{2}}+{{\left[ y+1 \right]}^{2}}+{{\left[ z+3 \right]}^{2}}=\frac{4}{9}$. C. ${{\left[ x+3 \right]}^{2}}+{{\left[ y-1 \right]}^{2}}+{{\left[ z-3 \right]}^{2}}=\frac{9}{4}$. D. ${{\left[ x+3 \right]}^{2}}+{{\left[ y-1 \right]}^{2}}+{{\left[ z-3 \right]}^{2}}=\frac{4}{9}$. |
Lời giải chi tiết
Gọi $I\left[ t;-1;-t \right]\in d$, do $\left[ S \right]$ tiếp xúc với cả 2 mặt phẳng $\left[ P \right]$ và $\left[ Q \right]$ nên:
$d\left[ I;\left[ P \right] \right]=d\left[ I;\left[ Q \right] \right]=R\Leftrightarrow \frac{\left| 1-t \right|}{3}=\frac{\left| 5-t \right|}{3}\Leftrightarrow t=3\Rightarrow R=\frac{2}{3}$.
Phương trình mặt cầu cần tìm là: ${{\left[ x-3 \right]}^{2}}+{{\left[ y+1 \right]}^{2}}+{{\left[ z+3 \right]}^{2}}=\frac{4}{9}$. Chọn B.
| Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{1}$ và mặt phẳng $\left[ P \right]:2x+y-2z+2=0$. Phương trình mặt cầu $\left[ S \right]$ có tâm thuộc đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất, tiếp xúc với $\left[ P \right]$ và đi qua điểm $A\left[ 1;-1;1 \right]$ là: A. ${{\left[ x-1 \right]}^{2}}+{{\left[ y+1 \right]}^{2}}+{{z}^{2}}=1$. B. ${{\left[ x-1 \right]}^{2}}+{{\left[ y+1 \right]}^{2}}+{{z}^{2}}=4$. C. ${{\left[ x+1 \right]}^{2}}+{{\left[ y-1 \right]}^{2}}+{{z}^{2}}=1$. D. ${{\left[ x+1 \right]}^{2}}+{{\left[ y-1 \right]}^{2}}+{{z}^{2}}=4$. |
Lời giải chi tiết
Do $I\in d$ ta gọi $I\left[ 1+3t;-1+t;t \right]$ khi đó $IA=d\left[ I;\left[ P \right] \right]=R$
$\Leftrightarrow \sqrt{11{{t}^{2}}-2t+1}=\frac{\left| 5t+3 \right|}{3}=R\Leftrightarrow 9\left[ 11{{t}^{2}}-2t+t \right]={{\left[ 5t+3 \right]}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {} t=0\Rightarrow R=1 \\ {} t=\frac{24}{37}\Rightarrow R=\frac{77}{37} \\ \end{array} \right.$
Do $\left[ S \right]$ có bán kính nhỏ nhất nên ta chọn $t=0;R=1\Rightarrow I\left[ 1;-1;1 \right]\Rightarrow \left[ S \right]:{{\left[ x-1 \right]}^{2}}+{{\left[ y+1 \right]}^{2}}+{{z}^{2}}=1$.
Chọn A.
| Bài tập 7: [Đề thi chuyên ĐH Vinh 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left[ S \right]$ đi qua điểm $A\left[ 2;-2;5 \right]$ và tiếp xúc với các mặt phẳng $\left[ \alpha \right]:x=1;\text{ }\left[ \beta \right]:y=-1;\text{ }\left[ \gamma \right]:z=1$. Bán kính của mặt cầu $\left[ S \right]$ bằng: A. $\sqrt{33}$. B. 1. C. $3\sqrt{2}$. D. 3. |
Lời giải chi tiết
Gọi $I\left[ a;b;c \right]$ ta có: $d\left[ I;\left[ \alpha \right] \right]=d\left[ I;\left[ \beta \right] \right]=d\left[ I;\left[ \gamma \right] \right]$ suy ra $R=\left| a-1 \right|=\left| b+1 \right|=\left| c-1 \right|$.
Do điểm $A\left[ 2;-2;5 \right]$ thuộc miền $x>1;\text{ }y1$ nên $I\left[ a;b;c \right]$ cũng thuộc miền $x>1;\text{ }y1$.
Khi đó $I\left[ R+1;-1-R;R+1 \right]$. Mặt khác $IA=R\Rightarrow \left[ {{R}^{2}}-1 \right]+{{\left[ R-1 \right]}^{2}}+{{\left[ R-4 \right]}^{2}}={{R}^{2}}\Leftrightarrow R=3$. Chọn D.