VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Số nghiệm của phương trình trên một khoảng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Số nghiệm của phương trình trên một khoảng: Số nghiệm của phương trình trên một khoảng. Phương pháp. Chứng minh phương trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm. Tìm hai số a và b sao cho f[a].f[b] < 0. Hàm số f[x] liên tục trên đoạn [a; b]. Phương trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm x [a; b]. Chứng minh phương trình f[x] = 0 có ít nhất k nghiệm. Tìm k cặp số a, b sao cho các khoảng [a; b] rời nhau và f[a] f[b] < 0, i = 1. Phương trình f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm x [a, b]. Khi phương trình chứa tham số thì cần chọn a, b sao cho: f[a], f[b] không còn chứa tham số hoặc chứa tham số những dấu không đổi. Hoặc f[a], f[b] còn chứa tham số nhưng tích f[a].f[b] luôn âm. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng. Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m[x – 1][x + 2] + 2x + 1 = 0. Hướng dẫn giải. Đặt f[x] = m[x – 1][x + 2] + 2x + 1. Tập xác định: D = IR nên hàm số liên tục trên IR. Ta có: f[1] = 3; f[-2] = -3 = f[1].f[-2] < 0. Vậy phương trình đã cho có nghiệm với mọi m. Ví dụ 2: Cho hàm số f[x]. Phương trình f[x] = 7 có bao nhiêu nghiệm? Xét phương trình: x + 4 = 7 trên [0; 2]. Ta có: x + 4 = x = 3 [nhận]. Vậy phương trình f[x] = 7 có đúng hai nghiệm. Bài tập trắc nghiệm. Câu 1: Cho hàm số f[x] = -4x + 4x − 1. A. Mệnh đề nào sau đây là sai? Hàm số đã cho liên tục trên IR. B. Phương trình f[x] = 0 không có nghiệm trên khoảng [-x; 1]. C. Phương trình f[x] = 0 có nghiệm trên khoảng [-2; 0]. D. Phương trình f[x] = 0 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng. Hàm f[x] là hàm đa thức nên liên tục trên R A đúng. f[x] = 0 có nghiệm x, trên [-2; 1]. Ta có f[x] = 0 có nghiệm x, thuộc 0,5. Kết hợp với [1] suy ra f[x] = 0 có các nghiệm x, y thỏa. Câu 2: Cho phương trình 2x – 5×2 + x + 1 = 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Phương trình không có nghiệm trong khoảng [-1; 1]. B. Phương trình không có nghiệm trong khoảng [-2; 0]. C. Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng [-2; 1]. D. Phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng [0; 2]. Hàm số f[x] = 2x – 5×2 + x + 1 là hàm đa thức có tập xác định là R nên liên tục trên R. [x]= 0 có ít nhất một nghiệm x thuộc [-1; 0]. f[-1] = -3 có ít nhất một nghiệm x, thuộc [0; 1]. f[x] = 0 có ít nhất một nghiệm x, thuộc [1; 2]. Vậy phương trình f[x] = 0 đã cho có các nghiệm x, y, thỏa. Câu 3: Cho hàm số f[x] = x – 3x – 1. Số nghiệm của phương trình f[x] = 0 trên IR là: Hàm số f[x] = x – 3x – 1 là hàm đa thức có tập xác định là R nên liên tục trên R. Do đó hàm số liên tục trên mỗi khoảng [-2; -1], [-1; 0], [0; 2]. Có ít nhất một nghiệm thuộc [0; 2]. Như vậy phương trình [1] có ít nhất ba thuộc khoảng [-2; 2]. Tuy nhiên phương trình f[x] = 0 là phương trình bậc ba có nhiều nhất ba nghiệm. Vậy phương trình f[x] = 0 có đúng nghiệm trên IR. Bên cột X ta cần chọn hai giá trị a và b [a< b] sao cho tương ứng bên cột F[X] nhận các giá trị trái dấu, khi đó phương trình có nghiệm [a; b]. Có bao nhiêu cặp số a, b như thế sao cho khác khoảng [a; b] rời nhau thì phương trình f[x] = 0 có bấy nhiêu nghiệm.
Câu 4: Cho hàm số f[x] liên tục trên đoạn [-1; 4] sao cho f[-1] = 2, f[4] = 7. Có thể nói gì về số nghiệm của phương trình f[x] = 5 trên đoạn [-1; 4]. Vậy phương trình g[x] = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng [1; 4] hay phương trình f[x] = 5 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng [1; 4]. Câu 5: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc khoảng để phương trình x – 3x + [2m – 2]x + m = 3 có ba nghiệm phân biệt x, x, y, thỏa mãn x. Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt x. Từ [1] và [2], suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng [-1; -1]. Từ [2] và [3], suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng [-1; 0]; Từ [3] và [4], suy ra phương trình có nghiệm thuộc khoảng [0; x]. Vậy khi m < -5 thỏa mãn.
11:00:1408/06/2020
Vậy làm sao để giải phương trình có chứa tham số m [hay tìm m để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện nào đó] một cách đầy đủ và chính xác. Chúng ta cùng ôn lại một số nội dung lý thuyết và vận dụng giải các bài toán minh họa phương trình bậc 2 có chứa tham số để rèn kỹ năng giải dạng toán này.
° Cách giải phương trình bậc 2 có chứa tham số m
¤ Nếu a = 0 thì tìm nghiệm của phương trình bậc nhất
¤ Nếu a ≠ 0 thì thực hiện các bước sau:
- Tính biệt số Δ
- Xét các trường hợp của Δ [nếu Δ có chứa tham số]
- Tìm nghiệm của phương trình theo tham số
* Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: 3x2 - 2[m + 1]x + 3m - 5 = 0 [*]
° Lời giải:
- Bài toán có hệ số b chẵn nên thay vì tính Δ ta tính Δ'. Ta có:
Δ'= [-[m + 1]]2 – 3.[3m – 5]
= [m + 1]2 – 9m +15 > 0
= m2 + 2m + 1 – 9m + 15
= m2 – 7m + 16 > 0
= [m – 7/2]2 + 15/4 > 0
- Như vậy, Δ' > 0, ∀m ∈ R nên phương trình [*] luôn có 2 nghiệm phân biệt:
* Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: mx2 - 2[m - 2]x + m - 3 = 0 [*]
° Lời giải:
• TH1: Nếu m = 0 thay vào [*] ta được:
• TH2: m ≠ 0 ta tính biệt số Δ' như sau:
- Nếu
- Nếu
- Nếu
¤ Kết luận:
m > 4: Phương trình [*] vô nghiệm
m = 0: Phương trình [*] có nghiệm đơn x = 3/4.
m = 4: Phương trình [*] có nghiệm kép x = 1/2.
m < 4 và m ≠ 0: Phương trình [*] có 2 nghiệm phân biệt
* Nhận xét: Như vậy các em cần lưu ý khi tham số nằm ở phần hệ số của ẩn bậc 2 thì ta phải xét thêm trường hợp hệ số ẩn bậc 2 bằng 0 trước khi tính biệt số Δ [Δ'].
- Thông thường, phương trình bậc 2 có chứa tham số thường đi kèm với nhiều bài toán phụ như: Tìm m để phương trình bậc 2 [ax2 + bx + c = 0] có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó.
* Với
- Có nghiệm [có hai nghiệm] ⇔ Δ ≥ 0
- Vô nghiệm ⇔ Δ < 0
- Nghiệm duy nhất [nghiệm kép] ⇔ Δ = 0
- Có 2 nghiệm phân biệt ⇔ Δ > 0
- Có 2 nghiệm cùng dấu
- Có 2 nghiệm trái dấu
- Có 2 nghiệm dương [x1, x2>0]
- Có 2 nghiệm âm [x1, x2 0
⇔ [-[m + 1]]2 – 3.[3m – 5] > 0
⇔ [m + 1]2 – 9m +15 > 0
⇔ m2 + 2m + 1 – 9m + 15 > 0
⇔ m2 – 7m + 16 > 0
⇔ [m – 7/2]2 + 15/4 > 0 [∀m ∈ R].
⇒ Phương trình [1] luôn có hai nghiệm phân biệt. Gọi hai nghiệm đó là x1; x2 khi đó theo định lý Vi–et ta có:
- Theo bài toán yêu cầu PT có một nghiệm gấp ba nghiệm kia, giả sử x2 = 3.x1, khi đó thay vào [1] ta có:
Thay x1, x2 vào [2] ta được:
* TH1: Với m = 3, PT[1] trở thành 3x2 – 8x + 4 = 0 có hai nghiệm x1 = 2/3 và x2 = 2 thỏa mãn điều kiện.
* TH2: Với m = 7, PT[1] trở thành 3x2 – 16x + 16 = 0 có hai nghiệm x1 = 4/3 và x2 = 4 thỏa mãn điều kiện.
⇒ Kết luận: m = 3 thì pt có hai nghiệm là 2/3 và 2; m = 7 thì pt có hai nghiệm 4/3 và 4.
• Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện |x1 - x2| = k [với k ∈ R]. Các bước làm như sau:
Bước 1: Bình phương 2 vế phương trình: [x1 - x2]2 = k2 ⇔ [x1 + x2]2 - 4x1x2 = k2
Bước 2: Áp dụng Vi-ét tính x1 + x2 và x1.x2 thay vào biểu thức trên được kết quả.
* Ví dụ: cho phương trình x2 - [2m - 1]x + m2 - 1 = 0 [m là tham số].
a] Tìm điều kiện m để pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt
b] Xác định giá trị của m để hai nghiệm của pt đã cho thỏa [x1 - x2]2 = x1 - 3x2.
° Lời giải:
a] Ta có:
- Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi chỉ khi:
b] Phương trình có 2 nghiệm khi chỉ khi m α]
Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m
+] Với bài toán: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm nhỏ hơn α [x1 < x2