Video hướng dẫn giải
- LG a
- LG b
Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn \[[O;r]\] và \[[O';r]\]. Khoảng cách giữa hai đáy là \[OO' = r.\sqrt3\]. Một hình nón có đỉnh là \[O'\] và có đáy là hình tròn \[[O;r]\].
LG a
a] Gọi \[S_1\]là diện tích xung quanh của hình trụ và \[S_2\]là diện tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỷ số \[{{{S_1}} \over {{S_2}}}\].
Phương pháp giải:
+] Diện tích xung quanh của hình trụ:\[{S_{xq}} = 2\pi Rh\] với \[R;h\] lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.
+] Diện tích xung quanh của hình nón:\[{S_{xq}} = \pi rl\] với\[r;l\] lần lượt là bán kính đáy và độ dài đường sinh của hình nón.
Lời giải chi tiết:
Hình trụ có chiều cao \[l = h = r\sqrt3\] và bán kính đáy \[r\] nên diện tích xung quanh hình trụ là:
\[S_1= 2πr.h = 2πr.r\sqrt3 = 2\sqrt3 πr^2\]
Với \[M\] là một điểm bất kì thuộc đường tròn \[[O]\] thì \[O'M\] là một đường sinh của hình nón ta có:
\[l' = O'M = \sqrt {OO{'^2} + O{M^2}} = \sqrt {3{r^2} + {r^2}} = 2r\]
Hình nón có bán kính đáy \[r\] và độ dài đường sinh \[l=2r\] nên diện tích xung quanh hình nón là:
\[S_2= πrl'= π.r.2r = 2πr^2\]
Vậy: \[{{{S_1}} \over {{S_2}}} = {{2\sqrt 3 \pi {r^2}} \over {2\pi {r^2}}} = \sqrt 3 \]
LG b
b] Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỷ số thể tích hai phần đó.
Phương pháp giải:
Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần: Phần dưới là khối nón và phần còn lại.
+] Tính thế tích của khối nón:\[{V_1} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\] và thể tích của hình trụ:\[V = \pi {r^2}h\]
+] Suy ra thể tích phần còn lại:\[{V_2} = V - {V_1}\].
+] Tính tỉ số:\[\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\]
Lời giải chi tiết:
Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần: Phần dưới là khối nón và phần còn lại.
Gọi V là thể tích khối trụ ta có:\[V = \pi {r^2}h\]
Gọi \[V_1\] là thể tích khối nón ta có:\[{V_1} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\]
Gọi \[V_2\] là thế tích phần còn lại ta có:\[{V_2} = V - {V_1} = \pi {r^2}h - \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{2}{3}\pi {r^2}h\]
Vậy tỉ số\[\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}\pi {r^2}h}}{{\dfrac{2}{3}\pi {r^2}h}} = \dfrac{1}{2}\].
Cách khác:
Tính trực tiếp như sau:
Thể tích khối trụ là:
\[{V_{\text{trụ}}} = \pi {r^2}h = \pi {r^2}.r\sqrt 3 = \pi {r^3}\sqrt 3 \]
Thể tích khối nón là:
\[{V_{\text{nón}}} = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {r^2}.r\sqrt 3 = \frac{{\pi {r^3}\sqrt 3 }}{3}\]
Thể tích của khối trụ nằm ngoài khối nón là:
\[V = {V_{\text{trụ}}} - {V_{\text{nón}}} = \pi {r^3}\sqrt 3 - \frac{{\pi {r^3}\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\pi {r^3}\]
Mặt xung quanh của hình nón chia khối tru thành hai phần, tỉ số thể tích hai phần đó là:
\[\frac{V}{{{V_{\text {nón}}}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\pi {r^3}:\frac{{\pi {r^3}\sqrt 3 }}{3} = 2\]