Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD)

Bài 12. Trong không gian \[Oxyz\] cho bốn điểm \[A[3 ; -2 ; -2], B[3 ; 2 ; 0], C[0 ; 2 ; 1]\] và \[D[-1 ; 1 ; 2]\]

a] Viết phương trình mặt phẳng \[[BCD]\]. Suy ra \[ABCD\] là một tứ diện.

b] Viết phương trình mặt cầu \[[S]\] tâm \[A\] và tiếp xúc với mặt phẳng \[[BCD]\].

c] Tìm toạ độ tiếp điểm của \[[S]\] và mặt phẳng \[[BCD]\].

a] Ta có: \[\overrightarrow {BC}  = [-3; 0; 1]\], \[\overrightarrow {BD}  = [-4; -1; 2]\]

Gọi \[\overrightarrow n \] là vectơ pháp tuyến của mp \[[BCD]\] thì:

\[\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = [1;2;3]\]

Mặt phẳng \[[BCD]\] đi qua \[B\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n  = [1; 2; 3]\] có phương trình:

\[1[x – 3] + 2[y – 2] + 3[z – 0] = 0\]

\[ \Leftrightarrow x + 2y + 3z – 7 = 0\]

Thay toạ độ điểm \[A\] vào phương trình của mp \[[BCD]\], ta có:

Quảng cáo

\[3 + 2[-2] + 3[-2] – 7 = -14 ≠ 0\]

Vậy \[A ∉ [BCD]\] \[ \Rightarrow \]bốn điểm \[A, B, C, D\] không đồng phẳng.

b] Mặt cầu tâm \[A\], tiếp xúc với mp \[[BCD]\] có bán kính bằng khoảng cách từ \[A\] đến mp \[[BCD]\]:

\[r = d [A,[BCD]]\] =\[{{\left| { – 14} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \sqrt {14} \]

Phương trình mặt cầu cần tìm:

\[[S] [x – 3]^2 + [y + 2]^2 + [z + 2]^2 = 14\]

c] Phương trình đường thẳng \[[d]\] đi qua \[A\] và vuông góc với mp \[[BCD]\] là:

\[\left\{ \matrix{ x = 3 + t \hfill \cr y = – 2 + 2t \hfill \cr

z = – 2 + 3t \hfill \cr} \right.\]

Thay các biểu thực này vào phương trình của \[[BCD]\], ta có:

\[[3 + t] + 2[-2 + 2t] + 3[-2 + 3t] – 7 = 0 \]\[ \Leftrightarrow t = 1\]

Từ đây ta được toạ độ điểm \[H\], tiếp điểm của mặt cầu \[[S]\] và mp \[[BCD]\]:

\[\left\{ \matrix{ x = 3 + t \Rightarrow x = 4 \hfill \cr y = – 2 + 2 \Rightarrow y = 0 \hfill \cr

z = – 2 + 3 \Rightarrow z = 1 \hfill \cr} \right.\]

\[ \Rightarrow \] \[ H[4; 0; 1]\]

Để lập phương trình mặt cầu chúng ta cần xác định được tâm và bán kính của mặt cầu. Vậy khi bài toán yêu cầu lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng thì chúng ta cần phải xác định được yếu tố nào? Đó có phải là điều kiện tiếp xúc trong bài toán không? Chúng ta hãy cùng tìm hiểu.

Phương trình mặt cầu

a. Phương trình mặt cầu tâm $I[x_0;y_0;z_0]$, bán kính $R$ là: $[x-x_0]^2+[y-y_0]^2+[z-z_0]^2=R^2$

b. $x^2+y^2+z^2+2ax+2by+2cz+d=0$ là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi $a^2+b^2+c^2 > d$. Khi đó mặt cầu có tâm là $I[-a;-b;-c]$ và bán kính là $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$

Khi nói tới dạng toán mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng chúng ta thường nghĩ ngay tới mối liên hệ giữa bán kính mặt cầu và khoảng cách từ tâm tới mặt phẳng. Hai đại lượng này có mối liên hệ mật thiết với nhau và là yếu tố chính để làm bài tập dạng này. Ngược lại mối liên hệ giữa bán kính và khoảng cách lại là một yếu tố quan trọng để chứng minh mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng. Chúng ta cùng tìm hiểu hai bài tập sau:

Bài tâp 1:

Cho tứ diện ABCD có: $A[1;0;3], B[0;-2;-1], C[4;-1;-2], D[-1;-1;-3]$. Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng $[BCD]$.

Hướng dẫn:

Với bài toán này các bạn đã biết tọa độ tâm của mặt cầu và chúng ta phải đi tìm bán kính. Việc tìm bán kính các bạn có thể đi theo 2 hướng làm sau:

Hướng 1: Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng [BCD] theo phương pháp tọa độ. Như vậy các bạn cần phải viết được phương trình mặt phẳng [BCD]. Để làm theo hướng 1 các bạn tham khảo 2 bài giảng sau hoặc tham khảo cách làm ở bài 2:

Hướng 2:  Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng [BCD] dựa vào thể tích khối chóp. Tức là khoảng cách từ A tới mặt phẳng [BCD] chính là đường cao của hình chóp A.BCD.

Trong bài giảng này thầy sẽ hướng dẫn các bạn làm theo hướng thứ 2. Hướng 1 các bạn làm theo hướng dẫn ở trên nhé.

Ta có:

$\vec{BC}[4;1;-1]$; $\vec{BD}[-1;1;-2]$; $\vec{BA}[1;2;4]$

$\Rightarrow [\vec{BC},\vec{BD}]=[-1;9;5]$

$\Rightarrow [\vec{BC},\vec{BD}].\vec{BA}=-1+18+20=37$

Diện tích tam giác BCD là: $S=\frac{1}{2}|[\vec{BC},\vec{BD}]|=\frac{1}{2}.\sqrt{1+81+25}=\frac{\sqrt{107}}{2}$

Thể tích của hình chóp $ABCD$ là: $V_{ABCD}=\frac{1}{6}[\vec{BC},\vec{BD}].\vec{BA}=\frac{1}{6}.37=\frac{37}{6}$

Đường cao AH của hình chóp là:

$AH=\frac{3V_{ABCD}}{S_{BCD}}=\frac{3.\frac{37}{6}}{\frac{\sqrt{107}}{2}}=\frac{37}{\sqrt{107}}$

$\Rightarrow$ bán kính của mặt cầu là: $R=\frac{37}{\sqrt{107}}$

Vậy phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng [BCD] là:

$[x-1]^2+y^2+[z-3]^2=\frac{37^2}{107}$

Bài tập 2: 

Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt cầu có tâm ở trên trục Oz và tiếp xúc với hai mặt phẳng $[P]: 2x-2y+z-5=0$ và $[Q]: 2x+3y-6z+8=0$

Phân tích:

Gọi $I[0;0;m]$ là tâm của mặt cầu thuộc trục Oz.

Tính khoảng cách $d_1$ và $d_2$ từ I tới [P] và [Q].

Cho $d_1=d_2$ ta sẽ tính được m, sau đó tính bán kính mặt cầu $R=d_1 =d_2$

Hướng dẫn:

Gọi $I[0;0;m]$ là tâm của mặt cầu thuộc trục Oz.

Khoảng cách từ điểm I tới mặt phẳng [P] là:

$d_1=\frac{|m-5|}{\sqrt{8}}$

Khoảng cách từ điểm I tới mặt phẳng [Q] là:

$d_2=\frac{|-6m+8|}{\sqrt{13}}$

Vì mặt cầu tiếp xúc với 2 mặt phẳng [P] và [Q] nên ta có:

$d_1=d_2$

$\Leftrightarrow \frac{|m-5|}{\sqrt{8}}=\frac{|-6m+8|}{\sqrt{13}}$

$\Leftrightarrow m=\frac{59}{25}$ hoặc $ m=-1$

• Với $m=\frac{59}{25}$ ta có tọa độ của điểm I là: $I[0;0;\frac{59}{25}]$ và bán kính $R=\frac{22}{25}$

Phương trình mặt cầu cần tìm là: $x^2+y^2+[z-\frac{59}{25}]^2=[\frac{22}{25}]^2$

• Với $m=-1$ ta có tọa độ của điểm I là: $I[0;0;-1]$ và bán kính $R=4$

Phương trình mặt cầu cần tìm là: $x^2+y^2+[z+1]^2=4$

Lời kết

Qua hai ví dụ các bạn thấy khi lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng thì điều kiện tiếp xúc ở đây là yếu tố chính để chúng ta khai thác bài toán. Tuy nhiên cách vận dụng điều kiện tiếp xúc ở đây thông thường chúng ta hay áp dụng với cách làm ở bài tập 2 hoặc cách 1 trong bài tập 1. Còn việc sử dụng điều kiện tiếp xúc như cách 2 ở bài tập 1 thì ít bạn dùng tới hơn. Bạn nghĩ sao về nhận định này? hãy cho biết suy nghĩ của bạn trong phần thảo luận phía dưới nhé.

Bài tập tham khảo:

Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng $[P]: x – 2y – 2z + 2 = 0$ và hai điểm $A[-3; 1; 3], B[1; 5; -2]$. Viết phương trình mặt cầu [S] có tâm $I$ là trung điểm của AB và tiếp xúc với [P].

Bài tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm $A[0; 0; -3], B[2; 0; -1]$ và mặt phẳng $[P]: 3x-y-z+1=0$. Viết phương trình mặt cầu [S] có tâm thuộc AB, bán kính bằng $2\sqrt{11}$ và tiếp xúc với mặt phẳng [P]

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

Với Viết phương trình mặt cầu có tâm tiếp xúc mặt phẳng Toán lớp 12 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải chi tiết giúp học sinh biết Viết phương trình mặt cầu có tâm tiếp xúc mặt phẳng.

Phương pháp giải

Do mặt cầu [S] tiếp xúc với mặt phẳng [P] nên khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng [P] bằng bán kính R

R=d[I;[P]]

Khi đó, phương trình mặt cầu cần tìm là:

[S]: [x-a]2+[y-b]2+[z-c]2=R2

Ví dụ minh họa

Bài 1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I [1; -2; 0] và tiếp xúc với mặt phẳng [P]: x + 2x + 2z – 5 = 0.

Hướng dẫn:

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng [P] là:

d[I;[P]]

= 8/3

Do [P] tiếp xúc với mặt cầu [S] nên bán kính mặt cầu R=d[I;[P]]=8/3

Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm I [1; -2; 0] và tiếp xúc với [P] là:

[x-1]2+[y+2]2+z2=64/9

Bài 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I [3; -1; -2] và tiếp xúc với mặt phẳng [Oxy]

Hướng dẫn:

Phương trình mặt phẳng [Oxy] là: z = 0

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng Oxy là:

d[I;[Oxy]]=|-2|/√[12 ]=2

Phương trình mặt cầu có tâm I [3; -1; -2] và tiếp xúc với mặt phẳng [Oxy] là:

[x-3]2+[y+1]2+[z+2]2=4

Bài 3: Cho 4 điểm A [3; -2; -2], B [3; 2; 0], C [0; 2; 1] và D [-1; 1; 2]. Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng [BCD].

Hướng dẫn:

BC→=[-3;0;1]; BD→=[-4; -1;2]

⇒ [BC→ , BD→ ]=[1;2;3]

⇒ Vecto pháp tuyến của mặt phẳng [BCD] là: n→ =[1;2;3]

Phương trình mặt phẳng [BCD] có VPPT n→=[1;2;3] và đi qua điểm B[3; 2; 0] là: x-3+2[y-2]+3z=0

⇔ x+2y+3z-7=0

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng [BCD] là:

d[A;[BCD]]

= √14

Khi đó, phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với [BCD] là:

[x-3]2+[y+2]2+[z+2]2=14

  Tải tài liệu

Bài viết liên quan

« Bài kế sau Bài kế tiếp »