- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
LG a
\[f\left[ x \right] = {{9{x^2}} \over {\sqrt {1 - {x^3}} }}\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[\sqrt {1 - {x^3}} = u\] \[ \Rightarrow {u^2} = 1 - {x^3}\] \[ \Rightarrow 2udu = - 3{x^2}dx\]
\[ \Rightarrow \int {f\left[ x \right]dx} \]\[ = \int {\dfrac{{ - 3.\left[ { - 3{x^2}} \right]dx}}{{\sqrt {1 - {x^3}} }}} \] \[ = \int {\dfrac{{ - 3.2udu}}{u}} \] \[ = - 6\int {du} = - 6u + C\] \[ = - 6\sqrt {1 - {x^3}} + C\]
Cách khác:
Đặt \[1 - {x^3} = u \Rightarrow du = - 3{x^2}dx\]
\[ \Rightarrow \int {f\left[ x \right]dx} \]\[ = \int {\dfrac{{ - 3.\left[ { - 3{x^2}dx} \right]}}{{\sqrt {1 - {x^3}} }}} = \int {\dfrac{{ - 3du}}{{\sqrt u }}} \] \[ = \int { - 3{u^{ - \dfrac{1}{2}}}du} = - 3.\dfrac{{{u^{ - \dfrac{1}{2} + 1}}}}{{ - \dfrac{1}{2} + 1}} + C\] \[ = - 3.\dfrac{{{u^{\dfrac{1}{2}}}}}{{\dfrac{1}{2}}} + C = -6{u^{\dfrac{1}{2}}} + C\] \[ = - 6\sqrt u + C = - 6\sqrt {1 - {x^3}} + C\]
LG b
\[f\left[ x \right] = {1 \over {\sqrt {5x + 4} }}\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[u = \sqrt {5x + 4} \Rightarrow {u^2} = 5x + 4\] \[ \Rightarrow 2udu = 5dx \Rightarrow dx = {{2u.du} \over 5}\]
\[ \Rightarrow \int {f\left[ x \right]dx} = \int {\dfrac{1}{u}.\dfrac{{2udu}}{5}} = \int {\dfrac{2}{5}du} \] \[ = \dfrac{2}{5}u + C = \dfrac{2}{5}\sqrt {5x + 4} + C\]
Cách 2:
\[\int {\dfrac{1}{{\sqrt {5x + 4} }}dx} = \int {\dfrac{1}{5}.\dfrac{{d\left[ {5x + 4} \right]}}{{{{\left[ {5x + 4} \right]}^{\dfrac{1}{2}}}}}} \]\[ = \int {\dfrac{1}{5}.{{\left[ {5x + 4} \right]}^{ - \dfrac{1}{2}}}d\left[ {5x + 4} \right]} \] \[ = \dfrac{1}{5}.\dfrac{{{{\left[ {5x + 4} \right]}^{ - \dfrac{1}{2} + 1}}}}{{ - \dfrac{1}{2} + 1}} + C\] \[ = \dfrac{1}{5}.\dfrac{{{{\left[ {5x + 4} \right]}^{\dfrac{1}{2}}}}}{{\dfrac{1}{2}}} + C\] \[ = \dfrac{2}{5}{\left[ {5x + 4} \right]^{\dfrac{1}{2}}} + C\] \[ = \dfrac{2}{5}\sqrt {5x + 4} + C\]
Cách 3
Đặt \[5x + 4 = u\] \[ \Rightarrow 5dx = du \Rightarrow dx = \dfrac{{du}}{5}\]
\[ \Rightarrow \int {f\left[ x \right]dx} = \int {\dfrac{1}{{\sqrt u }}.\dfrac{{du}}{5}} \] \[= \dfrac{2}{5}\int {\dfrac{1}{{2\sqrt u }}du} \] \[ = \dfrac{2}{5}\sqrt u + C = \dfrac{2}{5}\sqrt {5x + 4} + C\]
LG c
\[f\left[ x \right] = x\root 4 \of {1 - {x^2}} \]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[u = \root 4 \of {1 - {x^2}} \] \[\Rightarrow {u^4} = 1 - {x^2}\] \[ \Rightarrow 4{u^3}du = - 2xdx\] \[ \Rightarrow xdx = - 2{u^3}du\]
\[ \Rightarrow \int {f\left[ x \right]dx} \]\[ = \int { - 2{u^3}.udu} = - 2\int {{u^4}du} \] \[ = - 2.\dfrac{{{u^5}}}{5} + C = - \dfrac{{2{u^5}}}{5} + C\] \[ = - \dfrac{{2{{\left[ {\sqrt[4]{{1 - {x^2}}}} \right]}^5}}}{5} + C\] \[ = - \dfrac{{2\left[ {1 - {x^2}} \right]\sqrt[4]{{1 - {x^2}}}}}{5} + C\]
Cách khác:
Đặt \[1 - {x^2} = u\] \[ \Rightarrow - 2xdx = du \Rightarrow xdx = - \dfrac{{du}}{2}\]
\[ \Rightarrow \int {f\left[ x \right]dx} \] \[ = \int {\sqrt[4]{u}.\left[ { - \dfrac{{du}}{2}} \right]} \] \[ = - \dfrac{1}{2}\int {{u^{\dfrac{1}{4}}}du} \] \[ = - \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{u^{\dfrac{1}{4} + 1}}}}{{\dfrac{1}{4} + 1}} + C\]\[ = - \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{u^{\dfrac{5}{4}}}}}{{\dfrac{5}{4}}} + C = - \dfrac{2}{5}{u^{\dfrac{5}{4}}} + C\] \[ = - \dfrac{2}{5}\sqrt[4]{{{{\left[ {1 - {x^2}} \right]}^5}}} + C\] \[ = - \dfrac{2}{5}\left[ {1 - {x^2}} \right]\sqrt[4]{{1 - {x^2}}} + C\]
LG d
\[f\left[ x \right] = {1 \over {\sqrt x {{\left[ {1 + \sqrt x } \right]}^2}}}\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[\displaystyle u = 1 + \sqrt x \] \[\displaystyle \Rightarrow du = {{du} \over {2\sqrt x }} \] \[\displaystyle \Rightarrow {{dx} \over {\sqrt x }} = 2du\]
\[\displaystyle \Rightarrow \int {{{dx} \over {\sqrt x {{\left[ {1 + \sqrt x } \right]}^2}}}} \] \[\displaystyle = \int {{{2u} \over {{u^2}}}} = - {2 \over u} + C \] \[\displaystyle = - {2 \over {1 + \sqrt x }} + C.\]