- LG a
- LG b
- LG c
Giải các bát phương trình sau:
LG a
\[\eqalign{
{{1 - {{\log }_4}x} \over {1 + {{\log }_2}x}} \le {1 \over 2}\,; \cr} \]
Lời giải chi tiết:
ĐK: x > 0
Ta có \[{\log _4}x = {1 \over 2}{\log _2}x\]. Đặt \[t = {\log _2}x\]
Ta có bất phương trình:
\[\eqalign{
& {{1 - {1 \over 2}t} \over {1 + t}} - {1 \over 2} \le 0\cr& \Leftrightarrow {{2 - t - 1 - t} \over {2\left[ {1 + t} \right]}} \le 0 \Leftrightarrow {{1 - 2t} \over {1 + t}} \le 0 \cr
& \Leftrightarrow t < - 1\,\,\text{ hoặc }\,\,t \ge {1 \over 2}\cr& \Leftrightarrow {\log _2}x < - 1\,\,\text{ hoặc }\,\,{\log _2}x \ge {1 \over 2} \cr
& \Leftrightarrow 0 < x < {1 \over 2}\,\,\text{ hoặc }\,\,x \ge \sqrt 2 \cr} \]
Vậy \[S = \left[ {0;{1 \over 2}} \right] \cup \left[ {\sqrt 2 ; + \infty } \right]\]
Chú ý:
Các em cũng có thể đặt \[{\log _4}x = t \] \[\Rightarrow {\log _2}x = 2{\log _4}x = 2t\] và được bất phương trình:
\[\begin{array}{l}
\frac{{1 - t}}{{1 + 2t}} \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{1 - t}}{{1 + 2t}} - \frac{1}{2} \le 0\\
\Leftrightarrow \frac{{2 - 2t - 1 - 2t}}{{2\left[ {1 + 2t} \right]}} \le 0\\
\Leftrightarrow \frac{{1 - 4t}}{{2\left[ {1 + 2t} \right]}} \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t \ge \frac{1}{4}\\
t < - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\log _4}x \ge \frac{1}{4}\\
{\log _4}x < - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge {4^{\frac{1}{4}}} = {2^{\frac{1}{2}}} = \sqrt 2 \\
x < {4^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{{4^{\frac{1}{2}}}}} = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge \sqrt 2 \\
x < \frac{1}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\]
LG b
\[{\log _{{1 \over {\sqrt 5 }}}}\left[ {{6^{x + 1}} - {{36}^x}} \right] \ge - 2;\]
Lời giải chi tiết:
Ta có \[{\log _{{1 \over {\sqrt 5 }}}}\left[ {{6^{x + 1}} - {{36}^x}} \right] \ge - 2\]
\[ \Leftrightarrow 0 < {6^{x + 1}} - {36^x} \le {\left[ {{1 \over {\sqrt 5 }}} \right]^{ - 2}} = 5 \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{6.6^x} - {36^x} > 0 \hfill \cr
{6.6^x} - {36^x} \le 5 \hfill \cr} \right.\]
Đặt \[t = {6^x}\,\,\left[ {t > 0} \right]\]. Ta có hệ:
\[\left\{ \matrix{
6t - {t^2} > 0 \hfill \cr
{t^2} - 6t + 5 \ge 0 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
0 < t < 6 \hfill \cr
t \le 1\,\,\text{ hoặc }\,\,t \ge 5 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
0 < t \le 1 \hfill \cr
5 \le t < 6 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{6^x} \le 1 \hfill \cr
5 \le {6^x} < 6 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le 0 \hfill \cr
{\log _6}5 \le x < 1 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[S = \left[ { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {{{\log }_6}5;1} \right]\]
Cách trình bày khác:
ĐK: \[{6^{x + 1}} - {36^x} > 0\] \[ \Leftrightarrow {6.6^x} - {6^{2x}} > 0 \] \[\Leftrightarrow 6 - {6^x} > 0 \] \[ \Leftrightarrow {6^x} < 6 \Leftrightarrow x < 1\]
Khi đó, hệ bpt
\[\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {6^{x + 1}} - {36^x} \le {\left[ {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right]^{ - 2}} = 5\\
\Leftrightarrow {6.6^x} - {\left[ {{6^x}} \right]^2} \le 5\\
\Leftrightarrow {\left[ {{6^x}} \right]^2} - {6.6^x} + 5 \ge 0\\
\end{array}\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{6^x} \ge 5\\
{6^x} \le 1
\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge {\log _6}5\\
x \le 0
\end{array} \right.\]
Kết hợp ĐK ta được
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le 0 \hfill \cr
{\log _6}5 \le x < 1 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[S = \left[ { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {{{\log }_6}5;1} \right]\]
LG c
\[{\log _{{1 \over 5}}}\left[ {{x^2} - 6x + 18} \right] \] \[+ 2{\log _5}\left[ {x - 4} \right] < 0.\]
Lời giải chi tiết:
Điều kiện:
\[\left\{ \matrix{
{x^2} - 6x + 18 > 0 \hfill \cr
x - 4 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x > 4\]
\[\eqalign{
& {\log _{{1 \over 5}}}\left[ {{x^2} - 6x + 18} \right] + 2{\log _5}\left[ {x - 4} \right] < 0\cr&\Leftrightarrow - {\log _5}\left[ {{x^2} - 6x + 18} \right] + {\log _5}{\left[ {x - 4} \right]^2} < 0\cr&\Leftrightarrow {\log _5}{\left[ {x - 4} \right]^2} < {\log _5}\left[ {{x^2} - 6x + 18} \right] \cr
& \Leftrightarrow {\left[ {x - 4} \right]^2} < {x^2} - 6x + 18\cr&\Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 < {x^2} - 6x + 18\cr& \Leftrightarrow - 2x < 2\cr&\Leftrightarrow x >- 1 \cr} \]
Kết hợp điều kiện ta có \[x > 4\]
Vậy \[S = \left[ {4; + \infty } \right]\]