Đề bài
Biết \[\left| {\overrightarrow u } \right| = 2\,;\,\left| {\overrightarrow v } \right| = 5\], góc giữa vectơ \[\overrightarrow u \]và \[\overrightarrow v \]bằng \[{{2\pi } \over 3}\]. Tìm k để vectơ \[\overrightarrow p = k\overrightarrow u + 17\overrightarrow v \]vuông góc với vectơ \[\overrightarrow q = 3\overrightarrow u - \overrightarrow v \].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng \[\overrightarrow p \bot \overrightarrow p \Leftrightarrow \overrightarrow p .\overrightarrow q = 0\] và \[\overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]\]
Lời giải chi tiết
Ta có
\[\eqalign{
& \cos \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \cos {{2\pi } \over 3} = - {1 \over 2}\cr &\Rightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v = \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|.\cos \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] \cr &= 2.5.\left[ { - \frac{1}{2}} \right] = - 5\cr &\overrightarrow p \bot \overrightarrow q \Leftrightarrow\overrightarrow p .\overrightarrow q = 0\cr & \Leftrightarrow \left[ {k\overrightarrow u + 17\overrightarrow v } \right]\left[ {3\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3k{\left| {\overrightarrow u } \right|^2} - 17{\left| {\overrightarrow v } \right|^2} + \left[ {51 - k} \right]\overrightarrow u .\overrightarrow v = 0 \cr
& \Leftrightarrow 3k.4 - 17.25 + \left[ {51 - k} \right].[-5] = 0 \cr
& \Leftrightarrow 17k - 680 = 0 \cr
& \Leftrightarrow k = 40 \cr} \]
Vậy với k = 40 thì \[\overrightarrow p \bot \overrightarrow q \]