Bài tập nguyên hàm lớp 12 trang 100

SGK Toán 12»Nguyên Hàm - Tích Phân & Ứng Dụng»Bài Tập Bài 1: Nguyên Hàm»Giải bài tập SGK Toán 12 Giải Tích Bài 1...

Xem thêm

Đề bài

Bài 1 (trang 100 SGK Giải tích 12)

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại?

1. và

2. và

3. và

Đáp án và lời giải

a)

Ta có

là một nguyên hàm của hàm số .

Ta lại có

cũng là một nguyên hàm của

b)

Ta có

là một nguyên hàm của hàm số .

c)

Ta có

là một nguyên hàm của hàm số .

Tác giả: Trường THCS - THPT Nguyễn Khuyến - Tổ Toán

Giải bài tập SGK Toán 12 Giải Tích Bài 2 Trang 100, 101

Xem lại kiến thức bài học

• Bài 1: Nguyên Hàm

Chuyên đề liên quan

• Bảng nguyên hàm và công thức nguyên hàm đầy đủ: Cơ bản, mở rộng, nâng cao

Câu bài tập cùng bài

• Giải bài tập SGK Toán 12 Giải Tích Bài 1 Trang 100
• Giải bài tập SGK Toán 12 Giải Tích Bài 2 Trang 100, 101
• Giải bài tập SGK Toán 12 Giải Tích Bài 3 Trang 101
• Giải Bài Tập SGK Toán 12 Giải Tích Bài 4 Trang 101

Trong những bài viết trước chúng ta đã tham khảo bài giải Toán lớp 12: Hệ tọa độ tronng không gian, phần hình học hôm nay chúng ta cùng nhau tìm hiểu chi tiết hơn về Giải Toán lớp 12 : Nguyên hàm, phần đại số cùng với những nội dung và kiến thức liên quan. Tài liệu giải Toán lớp 12: Nguyên hàm, phần Đại Số với đầy đủ những bài giải cùng với hướng dẫn chi tiết cho hệ thống bài tập.

Bài viết liên quan

• Học trực tuyến môn Toán lớp 12 ngày 9/4/2020, Số phức (Tiết 3)
• Giải Toán 12, Giải bài tập SKG Giải Tích và Hình Học lớp 12
• Học trực tuyến môn Toán lớp 12 ngày 18/4/2020, Nguyên hàm, Tích phân và ứng dụng (Tiết 2)
• Học trực tuyến môn Toán lớp 12 ngày 16/4/2020, Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
• Học trực tuyến môn Lịch sử lớp 12 ngày 16/4/2020, Bài 26

Tài liệu Giải Toán lớp 12: Nguyên hàm, phần Đại Số với đầy đủ những nội dung các bài giải toán lớp 12 có trong chương trình sgk hay sách bài tập tất cả những bài liên quan đến nguyên hàm, phần Đại số đều được cập nhật đầy đủ và chi tiết nhất. Để học tốt Toán học lớp 12 thì tài liệu giải Toán lớp 12 sẽ hỗ trợ quá trình làm bài tập ở nhà cũng như giúp các em nắm bắt được các phương pháp giải toán Nguyên hàn, phần đại số để ứng dụng chi tiết và hiệu quả nhất. Giải Toán lớp 12: Nguyên hàm, phần Đại Số từ cơ bản đến nâng cao sẽ là tài liệu cực hữu ích cho quá trình ôn luyện và trau dồi kiến thức cho các bạn học sinh 12 chuẩn bị bước vào kì thi.

Sau bài giải Toán lớp 12: Nguyên hàm, phần Đại Số sẽ là bài giải Tích phân, phần Đại Số các bạn cùng đón đọc và học tập thật tốt nhé.

Giải Tích lớp 12 Bài 2. Hàm số lũy thừa là bài học quan trọng trong Chương II. Cùng xem gợi ý Giải toán lớp 12 trang 60, 61 để nắm rõ kiến thức tốt hơn).

Cùng với những nội dung đã học, các em ôn tiếp phần Giải Toán 12 trang 43, 44 của Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số để nắm rõ cách giải cũng như đạt kết quả học tập môn Toán lớp 12 tốt hơn.

Hơn nữa, Giải bài tập trang 84, 85 SGK Giải Tích 12 là một bài học quan trọng trong chương trình Giải tích 12 mà các em cần phải đặc biệt lưu tâm.

\(({e^{ - x}})'= {e^{ - x}}\left( { - 1} \right)= - {e^{ - x}}\) và \(( - {e^{ - x}})' = \left( { - 1} \right)( - {e^{ - x}}) = {e^{ - x}}\)

2. \(sin^2x\) là nguyên hàm của \(sin2x\), vì:

\(\left( {si{n^2}x} \right)'{\rm{ }} = {\rm{ }}2sinx.\left( {sinx} \right)' = 2sinxcosx = sin2x\)

3. \((1-\frac{4}{x})e^{x}\) là một nguyên hàm của \((1-\frac{2}{x})^{2}e{x}\) vì:

\(({(1-\frac{4}{x})e^{x})}'\) = \(\frac{4}{x^{2}}e^{x}+(1-\frac{4}{x})e^{x}\) = \(\left (1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^{2}} \right )e^{x}\) \= \((1-\frac{2}{x})^{2}e{x}\)

Bài 2 trang 100-101-SGK Giải tích 12

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?

1. \(f(x) = \frac{x+\sqrt{x}+1}{^{{\sqrt[3]{x}}}\) ; b) \( f(x)=\frac{2}{x}-1}{e^{x}}\)

3. \(f(x) = \frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}\); d) \(f(x) = sin5x.cos3x\)

5. \(f(x) = tan^2x\) g) \(f(x) = e^{3-2x}\)

8. \(f(x) =\frac{1}{(1+x)(1-2x)}\) ;

Giải

1. Điều kiện \(x>0\). Thực hiện chia tử cho mẫu ta được:

\(f(x) = \frac{x+x^{\frac{1}{2}}+1}{x^{\frac{1}{3}}}\) = \(x^{1-\frac{1}{3}}+ x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}+ x^{-\frac{1}{3}}\) = \(x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}}\)

\(∫f(x)dx = ∫(x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}})dx\) = \(\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+ \frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}}+\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}\) +C

2. Ta có \(f(x) = \frac{2^{x}-1}{e^{x}}\) = \((\frac{2}{e})^{x}\)\(-e{-x}\)

; do đó nguyên hàm của \(f(x)\) là:

\(F(x)= \frac{(\frac{2}{e})^{{x}}{ln\frac{2}{e}} + e}{-x}+C\) =\(\frac{2^{x}}{e^{x}(ln2 -1)}+\frac{1}{e^{x}}+C\)= \(\frac{2^{x}+ln2-1}{e^{x}(ln2-1)} + C\)

3. Ta có \(f(x) = \frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}=\frac{4}{sin^{2}2x}\)

hoặc \(f(x) =\frac{1}{cos^{2}x.sin^{2}x}=\frac{1}{cos^{2}x}+\frac{1}{sin^{2}x}\)

Do đó nguyên hàm của \(f(x)\) là \(F(x)= -2cot2x + C\)

4. Áp dụng công thức biến tích thành tổng:

\(f(x) =sin5xcos3x = \frac{1}{2}(sin8x +sin2x)\).

Vậy nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) là

\(F(x)\) = \(-\frac{1}{4}\)(\(\frac{1}{4}cos8x + cos2x) +C\)

5. Ta có \(tan^{2}x = \frac{1}{cos^{2}x}-1\)

vậy nguyên hàm của hàm số f(x) là \(F(x) = tanx - x + C\)

7. Ta có \(\int {{e^{3 - 2x}}} dx = - {1 \over 2}\int {{e^{3 - 2x}}} d(3 - 2x) = - {1 \over 2}{e^{3 - 2x}} + C\)

8. Ta có :\(\int \frac{dx}{(1+x)(1-2x))}=\frac{1}{3}\int (\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1-2x})dx\)

\= \(\frac{1}{3}(ln\left | 1+x \right |)-ln\left | 1-2x \right |)+C\)

\= \(\frac{1}{3}ln\left | \frac{1+x}{1-2x} \right | +C\).

Bài 3 Trang 101- SGK Giải tích 12

Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:

1. \(∫{(1-x)}^9dx\) (đặt \(u =1-x\) ) ;

2. \(∫x{(1 + {x^2})^{{3 \over 2}}}dx\) (đặt \(u = 1 + x^2\) )

3. \(∫cos^3xsinxdx\) (đặt \(t = cosx\))

4. \(\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}\) (đặt \(u= e^x+1\))

Giải

1. Cách 1: Đặt \(u = 1 - x \Rightarrow du= -dx\). Khi đó ta được \(-\int u^{9}du = -\frac{1}{10}u^{10}+C\)

Suy ra \(\int(1-x)^{{9}dx=-\frac{(1-x)}{10}}{10}+C\)

Cách 2: \(\smallint {\left( {1 - x} \right)^{9}dx = - \smallint {\left( {1 - x} \right)}{9}}d\left( {1 - x} \right)=\) \(-\frac{(1-x)^{10}}{10} +C\)

2. Cách 1 : Tương tự cách 1 phần a.

Cách 2: \(\int x(1+x^{2})^{{\frac{3}{2}}dx\) = \(\frac{1}{2}\int (1+x}{2})^{\frac{3}{2}}d(1+x^2{})\)

\= \(\frac{1}{2}.\frac{2}{5}(1+x^{2})^{{\frac{5}{2}}+C\) = \(\frac{1}{5}.(1+x}{2})^{\frac{5}{2}}+C\)

c)\(∫cos^3xsinxdx = -∫cos^3xd(cosx)\)

\(= -\frac{1}{4}.cos^{4}x + C\)

4. \(\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}\) = \(\int \frac{e^{x}}{e^{2x}+2e^{x}+1}dx\)= \(\int \frac{d(e^{x}+1)}{(e^{x}+1)^{2}}dx\)

\=\(\frac{-1}{e^{x}+1} + C\).

Bài 4 trang 101- SGK Toán Giải tích 12

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

1. \(∫xln(1+x)dx\); b) \(\int {({x^2} + 2x + 1){e^x}dx}\)

3. \(∫xsin(2x+1)dx\); d) \(\int (1-x)cosxdx\)

Giải

1. Áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần:

Đặt \(u= ln(1+x)\)

\(dv= xdx\)

\(\Rightarrow du=\frac{1}{1+x}dx\) , \(v=\frac{x^{2}-1}{2}\)

Ta có: \(∫xln(1+x)dx = \frac{1}{2}.(x^{2}-1)ln(1+x)\)\(-\frac{1}{2}\int (x-1)dx)\)

\(=\frac{1}{2}.(x^{2}-1)ln(1+x)-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{x}{2}+C\)

2. Tìm nguyên hàm t4ừng phần hai lần:

Đặt \(u = ({x^2} + 2x - 1)\) và \(dv=e^xdx\)

Suy ra \(du = (2x+2)dx\), \(v=e^x\)

. Khi đó:

\(\int {({x^2} + 2x{\rm{ }} - {\rm{ }}1){e^x}dx} \) = \(({x^2} + 2x{\rm{ }} - {\rm{ }}1){e^x}\) - \(\int {(2x + 2){e^x}dx} \)

Đặt : \(u=2x+2\); \(dv={e^x}dx\)

\(\Rightarrow du = 2dx ;v={e^x}\)

Khi đó: \(\int {(2x + 2){e^x}dx} \)\(= {(2x + 2){e^x}}\)\(- 2\int {{e^x}dx} \)\(= {\rm{ }}{e^x}\left( {2x + 2} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}2{e^x} + C\)