1. tích phân tính di n tích, th tích NG D NG TÍCH PHÂN TÍNH DI N TÍCH, TH TÍCH I. DI N TÍCH HÌNH PH NG XÁC NH B I Ư NG CONG y = f(x) 1. DI N TÍCH HÌNH PH NG GI I H N B I 1 Ư NG CONG: ( C ) : y = f ( x ) 1.1. Bài toán: Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i Ox : y = 0 x = a, x = b y f(x) > 0 y O a b x S S O a b x b f(x) < 0 1.2. Công th c t ng quát : S= ∫ a f ( x ) dx 1.3. Công th c khai tri n: b y f(x) > 0 a. S = ∫ f ( x ) dx a n u f(x) ≥ 0 a f(x) > 0 b S3 x ∫ b. S = − f ( x ) dx n u f(x) ≤ 0 a O a S1 c d b S2 c d b c. S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx f(x) < 0 a c d 2. DI N TÍCH HÌNH PH NG GI I H N B I 2 Ư NG CONG: ( C1 ) : y = f ( x ) 2.1. Bài toán: Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i ( C2 ) : y = g ( x ) x = a, x = b b 2.2. Công th c t ng quát: S= ∫ a f ( x ) − g ( x ) dx y y f(x) f(x) g(x) S x S1 S2 x O a b O a c b g(x) g(x) f(x) 217
2. hàm và tích phân − Tr n Phương 2.3. Công th c khai tri n: b a. S = ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) dx a n u f(x) ≥ g(x) ∀x∈[a, b] b b. S = ∫ ( g ( x ) − f ( x ) ) dx a n u f(x) ≤ g(x) ∀x∈[a, b] c b c. S = ∫ a ( f ( x ) − g ( x ) ) dx + ∫ ( g ( x ) − f ( x ) ) dx c 3. DI N TÍCH HÌNH PH NG GI I H N B I CÁC Ư NG CONG T C T KHÉP KÍN ( C1 ) : y = f ( x ) 3.1. Bài toán 1: Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i ( C2 ) : y = g ( x ) y x = a f(x) Bư c 1: Gi i phương trình: f ( x ) = g ( x ) ⇔ x = b S b g(x) x Bư c 2: S d ng S = ∫a f ( x ) − g ( x ) dx O a b y 3.2. Bài toán 2: Tìm di n tích hình ph ng g(x) C f(x) ( C1 ) : y = f ( x ) A h(x) S S gi i h n b i ( C2 ) : y = g ( x ) B ( C3 ) : y = h ( x ) O a c b x Bư c 1: Gi i phương trình tương giao → tìm hoành giao i m C ≡ ( C1 ) ∩ ( C2 ) gi i phương trình f(x) = g(x) C ≡ C1 ∩ C2 A ≡ C ∩ C A ≡ ( C2 ) ∩ ( C3 ) gi i phương trình g(x) = h(x) 2 3 B ≡ C ∩ C B ≡ ( C3 ) ∩ ( C1 ) gi i phương trình h(x) = f(x) 3 1 c b Bư c 2: S d ng S = ∫a ( f ( x ) − h ( x ) ) dx + ∫ ( g ( x ) − h ( x ) ) dx c 4. CHÚ Ý:C n ph i i n " vdt" vào k t qu cu i cùng trong các bài toán tính di n tích hình ph ng 218
3. tích phân tính di n tích, th tích 5. CÁC BÀI T P M U MINH H A Bài 1. Tính S: {( P ) : x 1 2 = ay ; ( P2 ) : y 2 = ax } ( a > 0) y Gi i x2 2 x4 y = y = 2 a ( P1 ) ∩ ( P2 ) : a ⇔ a (P ) 1 y2 = ax y2 = ax S x 4 = ax 4 3 x = a x x = 0, y = 0 O a x ⇔ a2 ⇔ 2 ⇔ y2 = ax y = ax x = a, y = a (P ) 2 a a x2 2 a x3 2a 2 a 3 a 2 0 ∫ S = ax − a dx = 3 x x− = 3a 3 − 3a = 3 ( vdt) 0 { Bài 2. Tính S: (C ) : y 2 − 2y + x = 0 ; ( D ) : x + y = 0 } y Gi i (C ) : y 2 − 2y + x = 0 (C ) : x = − y 2 + 2y 3 ⇔ ( D ) : x + y = 0 ( D ) : x + y = 0 2 x S y = 0; x = 0 + 1 (C ) ∩ ( D ) : − y 2 + 2y + y = 0 ⇔ y = y = 3; x = −3 0 3 3 -3 S = ( − y 2 + 2y ) − ( − y ) dy = ∫ ∫ (−y 2 + 2y + y ) dy y +2 2 y O 1 x x=- 0 0 3 3 y3 3y 2 1 3 9 ∫ = ( − y + 3y ) dy = − + 2 = − ⋅ 27 + ⋅ 9 = ( vdt) 0 3 2 0 3 2 2 { Bài 3. Tính S: ( P ) : y 2 = 2x ; ( D ) : x − 2y + 2 = 0 ; Ox : y = 0 } y Gi i 2 y2 = 2 ( 2y − 2 ) ( P ) ∩ ( D ) ⇔ y = 2x ⇔ 2 x = 2y − 2 x = 2y − 2 1 y2 − 4y + 4 = 0 y = 2 S ⇔ ⇔ 2 x = 2y − 2 x = 2 (D) -2 O x 2 2 y2 y3 8 (P) 0 ∫ S = − ( 2y − 2 ) dy = 2 6 − y 2 + 2y = 6 ( vdt) -2 0 219
4. hàm và tích phân − Tr n Phương 1 { ( Bài 4. Tính S: ( P ) : y = − x 2 − 8x + 7 ; ( H ) : y = 3 7−x x −3 ) } Gi i y ( P ) ∩ ( H ) : − 1 ( x 2 − 8x + 7 ) = 7 − x 3 3 x −3 (P) S O x = 0 x ( x 2 − 11x + 28 ) x = 4 -1 1 3 4 7 x ⇔ =0⇔ 3 (3 − x ) 7 x = 7 3 (H) 7 1 7 − x 4 ∫ S = − ( x 2 − 8x + 7 ) − 3 x − 3 dx 7 7 x 2 8x 4 4 x3 4x 2 4 4 ∫ = − 3 + − − dx = − + 3 3 x − 3 9 3 3 − x − 4ln x − 3 = 9 + 8ln 2 ( vdt) 4 { Bài 5. Cho: ( P ) : y 2 = 2x ; ( C ) : x 2 + y 2 = 8 . } (P) chia (C) thành 2 ph n, tìm t s di n tích c a 2 ph n ó. Gi i y 2 y2 Nhìn vào 0 2∫ th ta có: S2 = 2 8 − y 2 − dy 2 2 2 2 S y3 8 O 2 2 2 ∫ ∫ 2 2 =2 8 − y dy − y dy = 2I − = 2I − 3 3 x 0 0 0 2 -2 Xét I = ∫ 0 8 − y 2 dy . t y = 2 2 sin t ⇒ dy = 2 2 cos tdt 2 π4 π4 ∫ ∫ ∫ 2 2 I= 8 − y dy = 8 − 8sin t .2 2 cos tdt = 8 1 − sin 2 t cos tdt 0 0 0 π4 π4 π4 (1 + cos 2t ) dt = 4 t + 1 sin 2t π 1 ∫ cos ∫ 2 =8 t dt = 4 = 4 + = π + 2 0 0 2 0 4 2 8 8 4 2 V y S2 = 2I − = 2π + 4 − = 2 π + ( vdt). Ta có: S1 + S2 = π ( 2 2 ) = 8π 3 3 3 6π − 4 18π − 4 9π − 2 ⇒ S1 = 8π − 2π + 3 ( 4 = 6π − 4 ( vdt) ⇒ S1 = 3 ) 3 = = S2 2π + 4 6π + 4 3π + 2 3 220
5. tích phân tính di n tích, th tích { Bài 6. Tính S: ( P ) : y = x 2 − 4x + 3 ; ( D ) : y = x + 3 } Gi i x + 3 = x 2 − 4x + 3 x 2 − 5x = 0 x = 0, y = 3 ( P) ∩ ( D) : ⇔ 2 ⇔ x = 5, y = 8 2 x + 3 = − x + 4x − 3 x − 3x + 6 y x = 1 8 ( P ) ∩ Ox : y = 0 ⇒ x 2 − 4x + 3 = 0 ⇔ x = 3 1 S = ( x + 3) − ( x 2 − 4x + 3) dx + ∫ 0 S3 3 3 + ( x + 3) + ( x 2 − 4x + 3) dx + ∫ S1 S2 1 5 + ( x + 3) − ( x 2 − 4x + 3) dx ∫ -3 O 3 1 2 3 5 x -1 1 3 5 = ∫ ( − x 2 + 5x ) dx + ∫ ( x 2 − 3x + 6 ) dx + ∫ ( − x 2 + 5x ) dx 0 1 3 1 3 5 x 3 5x 2 x 3 3x 2 x 3 5x 2 109 = − + + − + 6x + − + = ( vdt) 3 2 0 3 2 1 3 2 3 6 3x 12x π Bài 7. Tính S: ( C1 ) : y = 1 − 2 sin 2 ; ( C2 ) : y = 1 + ; ( D) : x = 2 π 2 Gi i y 7 A 3x ( C1 ) : y = 1 − 2 sin 2 = cos 3x 2 Nhìn vào th ta có: S = SANOI − 3SOIK π6 π6 7 +1 π = ∫ ⋅ − 3 cos3xdx = 2π − sin3x = 2π − 1 2 2 0 0 S Bài 8. Tìm di n tích hình ph ng S gi i h n b i 1 B M N (P): y = x2 − 2x + 2 và các ti p tuy n c a (P) C O π π π x i qua A(2; −2). 6 3 2 221
6. hàm và tích phân − Tr n Phương Gi i ư ng th ng qua A có d ng (d): y = k(x − 2) − 2. x 2 − 2x + 2 = k ( x − 2 ) − 2 (d) là ti p tuy n c a (P) khi ( x 2 − 2x + 2 )′ = [ k ( x − 2 ) − 2]′ 2x − 2 = k 2x − 2 = k x = 0; k = −2 ⇔ 2 ⇔ 2 ⇔ x = 4; k = 6 x − 2x + 2 = ( 2x − 2 )( x − 2 ) − 2 x − 4x = 0 V y 2 ti p tuy n c a (P) i qua A là: (d1): y = −2x + 2 ti p xúc v i (P) t i y B(0, 2) và (d2): y = 6x −14 ti p xúc v i (P) t i C(4, 10). 10 { V y S: ( P) : y = x2 − 2x + 2; ( d1 ) : y = −2x + 2 ; ( d2 ) : y = 6x −14 } 2 4 S = ( x2 − 2x + 2) − ( −2x + 2) dx + ( x2 − 2x + 2) − ( 6x − 14) dx ∫ ∫ 0 2 2 4 2 4 (P) ∫ ∫ ( x − 8x + 16) dx = ∫ x dx + ∫ ( x − 4) d ( x − 4) 2 = x 2 dx + 2 2 0 2 0 2 2 s2 2 3 4 x3 ( x − 4) 8 −8 8 8 16 = + = − 0 + 0 − = + = ( vdt) O s1 3 0 3 3 3 3 3 3 2 1 2 7 4 x 3 d1 d x2 27 2 Bài 9. Tính S: ( P1 ) : y = x2 ; ( P2 ) : y = ; ( H) : y = 2 27 x y Gi i 9 x2 ( P1 ) ∩ ( P2 ) : x2 = ⇔x =0⇒y =0 27 (P1 ) 9 (H) 27 2 s2 ( P1 ) ∩ ( H) : x2 = ⇔ x3 = 27 ⇔ x = 3 3 x s1 x2 27 (P2 ) ( P2 ) ∩ ( H) : = ⇔ x3 = 272 ⇔ x = 9 27 x O 3 6 9 x Nhìn vào th ta có: 3 9 3 9 2 x2 27 x 2 26x 3 x3 0 ∫ S = x − dx + 27 3 − x 27 ∫ dx = 81 0 + 27 ln x − 81 3 26 1 = − 0 + 27 ln 9 − 27 ln 3 − 9 + = 27 ln 3 ( vdt) 3 3 222
7. tích phân tính di n tích, th tích x2 2 8 Bài 10. Tính S: ( P1 ) : y = x 2 ; ( P2 ) : y = ; ( H1 ) : y = ; ( H 2 ) : y = 4 x x y Gi i 2 (P ) 1 ( P1 ) ∩( H1 ) : x2 = ⇔ x3 = 2 ⇔ x = 3 2 ⇒ y = 3 4 (P ) 2 x 4 8 ( P1 ) ∩( H2 ) : x2 = ⇔ x3 = 8 ⇔ x = 2 ⇒ y = 4 x 3 16 s2 (H2) 2 x 2 3 4 S1 ( P2 ) ∩( H1 ) : = ⇔ x3 = 8 ⇔ x = 2 ⇒ y = 1 4 x 1 (H1) 2 x 8 ( P2 ) ∩( H2 ) : = ⇔ x3 = 32 ⇔ x = 2 3 4 ⇒ y = 2 3 2 O 3 2 2 2 4 3 x 4 x 3 3 2 32 2 2 32 8 x2 x3 x3 3 ∫ S = x 2 − dx + x ∫ 2 − dx = − 2ln x + 8ln x − x 4 3 3 12 = 4 ln 2 ( vdt) 2 2 2 { Bài 11. Tính S: ( P ) : y 2 = 4x; ( C ) : y 2 = ( 4 − x ) 3 } Gi i Phương trình c a (P) và (C) u ch n i v i y, vì th S là mi n nh n Ox làm tr c i x ng. G i S1 là ph n n m trên tr c Ox, khi ó S = 2S1 y ( P) ∩ ( C) : 4x = ( 4 − x)3 ⇔ x3 −12x2 + 52x + 64 = 0 (P) 2 2 ⇔ ( x − 2) ( x −10x + 32) = 0 ⇔ ( x − 2) ( x − 5) + 7 = 0 2 2 (C) 1 ⇔x =2⇒y=2 2 S1 ( P ) ∩ Ox : 4x = 0 ⇔ x = 0 O 2 3 4 x -1 ( C ) ∩ Ox : ( 4 − x )3 = 0 ⇔ x = 4 2 4 2 1 4 3 -2 2 S1 = ∫ 0 4x 2 dx + ∫ 2 ∫ 0 ∫ ( 4 − x )3 dx = 2 x 2 dx − ( x − 4) 2 d ( x − 4) 2 2 4 4 3 2 5 8 2 8 2 64 2 128 2 = x2 − ( x − 4) 2 = − 0 − 0 + = . V y S = 2S′ = 3 0 5 2 3 5 15 15 ( ) 1 2 P :x = y Cách 2: S: 4 ⇒ S1 = 2 2 2 1 ∫ 4 − y 3 − y 2 dy = 4 128 2 15 ( ( vdt) ) ( C ) : x = 4 − y2 3 0 223
8. hàm và tích phân − Tr n Phương { Bài 12. Tính S: ( P ) : y 2 = 2x; ( C ) : 27y 2 = 8 ( x − 1) 3 } Gi i y G i S′ là ph n n m phía trên tr c Ox, t tính ch t 2 2 (P) c a 2 hàm ch n suy ra tính i x ng khi ó S = 2S′. Do y ≥ 0 ⇒ (x − 1) ≥ 0 ⇒ x ≥ 1 2 3 S1 (C) ( P) ∩ ( C) : 2x = 8 ( x −1)3 O 1 4 27 x 2 ⇔ ( x − 4) ( 2x +1) = 0 ⇒ x = 4 ⇒ y = 2 2 ( P) ∩ Ox : 2x = 0 ⇔ x = 0 ; ( C) ∩ Ox: ( x −1)3 = 0 ⇔ x =1 2 2 4 ( )3 4 1 4 3 2x − 8 x − 1 dx = 2 2 x 2 dx − 4 2 ( x − 1) 2 d ( x − 1) = 68 2 S = 2S1 = 2 1 ∫ 27 1 ∫ 3 3 1 ∫ 15 x2 y2 Bài 13. Tính di n tích hình elip gi i h n b i (E): + 2 =1 a2 b Gi i 2 2 x y Phương trình 2 + 2 = 1 ch n i v i x và y nên elip nh n O là tâm i x ng. a b G i S 1 là di n tích c a ph n elip thu c góc ph n tư (I) trên m t ph ng Oxy. a { ⇒ S1 : x = 0; y = 0; y = b 2 a a − x2 } và S = 4S1 = 4 b ∫ a0 a 2 − x2 dx y b x = 0 ⇒ α = π 2 S1 t x = acosα: ; Khi ó O x = a ⇒ α = 0 a x a 0 π2 b 4b ( 2 1 − cos 2α S=4 a ∫ 0 a 2 − x 2 dx = ∫ a π2 −a sin 2 α ) dα = 4ab ∫ 0 2 dα = πab ( vdt) { Bài 14. Tính S: 0 ≤ y ≤ 1; y = ( x + 1) ; x = sin πy 2 } Gi i 2 x = sin πy ∈ [ −1,1] ⇒ x + 1 ≥ 0; mà 0 ≤ y ≤ 1 nên y = ( x + 1) ⇔ x = y − 1 1 1 1 2 3 2 1 S= ∫( 0 ) sin πy − y + 1 dy = − cos πy − y 2 + y = + π 3 0 π 3 ( vdt) 224
9. tích phân tính di n tích, th tích TH TÍCH KH I TRÒN XOAY I. VX SINH B I DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Ox: y ( C ) : y = f ( x ) (C) S: Ox : y = 0 S ∆ , ∆ : x = a, x = b 1 2 a O b x b Công th c : Vx = π ∫ f 2 ( x ) dx a II. VX SINH B I DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Ox: y (C1) ( C1 ) : y = f ( x ) S ( C ) : y = g ( x ) S: 2 (C2) 0 ≤ g ( x ) ≤ f ( x ) a ∆ , ∆ : x = a, x = b O b x 1 2 b Công th c: Vx = π ∫ f 2 ( x ) − g 2 ( x ) dx a ( C1 ) : y = f ( x ) III. VX SINH B I DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Ox: S: ( C2 ) : y = g ( x ) x = a Bư c 1: Gi i phương trình: f ( x ) = g ( x ) ⇔ x = b b Gi s 0 ≤ g(x) ≤ f(x),∀x∈[a, b]. Khi ó: Vx = π f ( x ) − g ( x ) dx ∫ 2 2 Bư c 2: a IV. VX SINH B I DI N TÍCH: Ư NG CONG B C HAI f(x, y) = 0 QUAY XUNG QUANH Ox: Bư c 1: Tách ư ng cong b c hai f(x, y) = 0 thành y ( C1 ) : y = f1 ( x ) (C1) ( C2 ) : y = f 2 ( x ) và gi s 0 ≤ f2(x) ≤ f1(x) (C2) Bư c 2: Xác nh c n x = a, x = b. O a b x b ∫ Khi ó: Vx = π f12 ( x ) − f 22 ( x ) dx a 225
10. hàm và tích phân − Tr n Phương V. Vy SINH B I DI N TÍCH S C A 1 TH QUAY XUNG QUANH Oy: y ( C ) : y = f ( x ) f(b) Oy : x = 0 S: ∆1 : y = f ( a ) S ∆ : y = f ( b ) 2 (C) −1 Bư c 1: y = f(x) ⇔ x = f (y) f(a) f (b) 2 ∫ f ( y ) −1 Bư c 2: Vy = π dy O a b x ( ) f a VI. Vy SINH B I DI N TÍCH S C A 2 TH QUAY XUNG QUANH Oy: y ( C1 ) : y = f ( x ) ( C ) : y = g ( x ) S: 2 f(b) ∆1 : y = f ( a ) = g ( m ) ∆ 2 : y = f ( b ) = g ( n ) (C2 ) S (C1) ( C1 ) : y = f ( x ) ⇔ x = f −1 ( y ) Bư c 1: −1 f(a) ( C2 ) : y = g ( x ) ⇔ x = g ( y ) O m a n b x f (b) Bư c 2: Gi s 0≤g −1 ( y ) ≤ f −1 ( y ) ⇒ Vy = π ∫( f (a ) 2 f −1 ( y ) − g −1 ( y ) dy 2 ) VII. Vy SINH B I DI N TÍCH: Ư NG CONG B C 2 f(x, y) = 0 QUAY XUNG QUANH Oy: ( C1 ) : x = f1 ( y ) Bư c 1: Tách ư ng cong b c hai f(x, y) = 0 thành ( C2 ) : x = f 2 ( y ) và gi s 0 ≤ f2(y) ≤ f1(y) b Bư c 2: Xác ∫ nh c n x = a, x = b. Khi ó: Vx = π f12 ( y ) − f 22 ( y ) dy a VIII. PHƯƠNG PHÁP BAO TR TÍNH Vy KHI DI N TÍCH S QUAY XUNG QUANH Oy: b Công th c: ∫ Vy = 2π xf ( x ) dx a CHÚ Ý:C n ph i i n " vtt" vào k t qu cu i cùng trong các bài toán tính th tích kh i tròn xoay 226
11. tích phân tính di n tích, th tích IX. CÁC BÀI T P M U MINH H A Bài 1. Tìm Vx sinh b i S: {( C ) : y = ln x ; Ox : y = 0; ( ∆ ) : x = 2} quay quanh Ox Gi i 2 2 2 Xét ( C ) ∩ Ox : ln x = 0 ⇔ x = 1 ⇒ Vx = π ∫ ( ln x ) dx = π x ( ln x ) 1 − π ∫ x d ( ln x ) 2 2 2 1 1 2 2 = 2π ( ln 2 ) − 2π ∫ ln x dx = 2π ( ln 2 ) − 2π x ln x 1 + 2π ∫ x d ( ln x ) 2 2 2 1 1 2 = 2π ( ln 2 ) − 4π ln 2 + 2π ∫ dx = 2π ( ln 2 ) − 4π ln 2 + 2π = 2π ( ln 2 − 1) 2 2 2 ( ®vtt ) 1 { } Bài 2. Tính Vx khi S: ( L ) : y = x ln (1 + x 3 ) ; y = 0 ; x = 1 quay quanh Ox. Gi i 1 + x > 0 3 x > −1 ln (1 + x ) ⇒ 3 ⇒ ⇒y≥0 (1 + x 3 ) ≥ 0 1 + x 3 ≥ 1 y=x ⇔ x≥0 ln 1 1 ( L) ∩ Ox : x ln (1 + x3 ) = 0 ⇔ x = 0 ⇒ Vx = π x2 ln (1 + x3 ) dx = π ln (1 + x3 ) d ( x3 + 1) ∫ 0 3∫ 0 1 1 1 π( 3 ) ( π 2π ln 2 π 3 π ( 2 ln 2 − 1) x + 1 ln 1 + x ) − ∫ ( x + 1) d ln (1 + x ) = 3 3 3 = − x = 3 0 3 0 3 3 0 3 { } Bài 3. Cho S: ( C) : y = 1 2 ; ( D) :x =1;y = 0, x = 0 . Tính Vy khi S quay quanh Oy 1+ x y Gi i 1 1 1 y= 2 > 0 ⇒ (C) : x2 = −1 (C) (D) 1+ x y 1/2 ( C ) ∩ Oy : x = 0 ⇒ y = 1 ( C ) ∩ ( D ) : x = 1 ⇒ y = 1 2 O 1 x 12 1 π 1 1 ⇒ Vy = π dy + π 1 − 1 dy = πy 0 + π ( ln y − y ) 1 2 1 ∫ ∫ 12 y = + π − ln − = π ln 2 0 1 2 2 2 2 227
12. hàm và tích phân − Tr n Phương 2 Bài 4. Cho S: x 2 + ( y − b ) ≤ a 2 ; 0 < a ≤ b y B a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox I b b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy A C Gi i D 2 2 2 2 2 2 a. Ta có: x + ( y − b ) ≤ a ⇔ ( y − b ) = a − x -a O a x ⇒ A1 B 2 A2 : y = b + a 2 − x 2 ; A1 B1 A2 : y = b − a 2 − x 2 a 2 2 ∫ ( ) − (b − ) 2 2 2 2 Vx = π b + a − x a −x dx −a a a x 0 a ∫ ∫ 2 2 2 2 = 4πb a − x dx = 8πb a − x dx . t x = asint ⇒ t 0 π/2 −a 0 dx a cost dt π2 π2 ∫ a (1 − sin t ) a cos t dt = 4πa b ∫ 2 cos 2 2 2 2 Vx = 8πb t dt 0 0 π2 π2 ∫ (1 + 2 cos 2t ) dt = 4πa 2 2 2 2 = 4πa b b ( t + sin 2t ) = 2π a b ( ®vtt ) 0 0 2 2 b. Ta có: x 2 + ( y − b ) ≤ a 2 ⇔ x 2 = a 2 − ( y − b ) 2 2 ⇔ B1 A 2 B2 : x = a 2 − ( y − b ) ; B1 A1 B2 : x = − a 2 − ( y − b ) Do các cung B1 A 2 B2 , B1 A1 B2 i x ng nhau qua Oy nên b +a b+a 3 2a3 4πa 3 a 2 − ( y − b )2 dy = π a 2 y − 1 ( y − b )3 Vy = π b −a ∫ 3 b −a = π 2a − = 3 3 ( vtt) ( x − 4 )2 y 2 Bài 5. Cho S là di n tích c a (E): + =1 4 16 a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy Gi i 228
13. tích phân tính di n tích, th tích ( x − 4 )2 y 2 y 2 ( x − 4 )2 ⇔ y = 4 4 − ( x − 4) 2 2 a. (E): + =1⇔ =1− 4 16 16 4 ( E ) ∩ Ox : 4 − ( x − 4 )2 = 0 ⇔ x = 2; x = 6 2 2 ⇔ ABC : y = 2 4 − ( x − 4 ) ; ADC : y = −2 4 − ( x − 4 ) Do các cung ABC, ADC i x ng nhau qua Ox nên 6 2 6 ∫ (2 ) dx = 4π 4 − ( x − 4 ) d ( x − 4 ) ∫ 2 2 Vx = π 4 − ( x − 4) 2 2 6 ( x − 4 )3 8 8 128π = 4π 4 ( x − 4 ) − = 4π 8 − + 8 − = ( ®vtt ) 3 2 3 3 3 ( x − 4 )2 y 2 ( x − 4 )2 y 2 y b. (E): + =1⇔ =1− 4 16 4 16 B 4 1 ⇔ ( x − 4) = 2 (16 − y2 ) 4 A C 1 2 O 2 4 6 x ⇔ BAD : x = 4 − 16 − y 2 1 2 BCD : x = 4 + 16 − y -4 2 D 4 1 2 2 1 2 2 4 ∫ ∫ 2 Vy = π 4 + 16 − y − 4 − 16 − y dy = 8π 16 − y dy −4 2 2 −4 π2 y −4 4 t y = 4sint ⇒ t ⇒ Vy = 8π ∫ 16 (1 − sin 2 t ) 4 cos t dt −π/2 π/2 −π 2 dy 4 cost dt π2 π2 π2 = 64π ∫ −π 2 2 cos 2 t dt = 64π −π 2 ∫ (1 + 2 cos 2t ) dt = 6 4π ( t + sin 2t ) −π 2 = 64π2 ( ®vtt ) 2 a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox ( P ) : y = 2x − x Bài 6. Cho S: Ox : y = 0 b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy 229
14. hàm và tích phân − Tr n Phương Gi i y a. ( P ) ∩ Ox : 2x − x 2 = 0 ⇔ x = 0; x = 2 1 2 2 2 2 ∫ ( 2x − x ) dx = π∫ ( 4x − 4x + x ) dx 2 3 4 ⇒ Vx = π 0 0 2 4 1 16 O 2 x = π x 3 − x 4 + x 5 = π ( ®vtt ) 3 5 0 15 2 b. ( P ) : y = 2x − x 2 ⇔ ( x − 1) = 1 − y ⇒ OA : x = 1 − 1 − y ; AB : x = 1 + 1 − y y 1 A ⇒ Vy = π 1 + 1 − y dy 2 2 ∫( 0 ) − (1 − 1− y ) 1 1 1 ∫ ∫ 12 = 4π 1 − y dy = −4π (1 − y ) d (1 − y ) 0 0 B 1 8π 8π O 2 x =− (1 − y )3 2 = ( ®vtt ) 3 0 3 { Bài 7. Tìm Vx khi quay S: y = cos6 x + sin 6 x ; y = 0; x = 0; x = π 2}quanh Ox. Gi i π2 2 π2 ∫( ) ∫ ( cos x + sin x ) dx 6 6 6 6 Vx = π cos x + sin x dx = π 0 0 π2 π2 3 = π ∫ ( cos2 x + sin 2 x ) ( cos2 x + sin 2 x ) − 3sin 2 x cos2 x dx = π ∫ 1 − sin 2 2x dx 2 0 0 4 π2 π2 2 3( ) 5 3 5π =π ∫ 0 1 − 8 1 − cos 4x dx = π 8 x + 32 sin 4x = 16 0 ( ®vtt ) ( P ) : y = x 2 ( x > 0 ) a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox Bài 8. Cho S: ( D1 ) : y = −3x + 10 ( D ) : y = 1 b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy 2 230
15. tích phân tính di n tích, th tích y Gi i a. ( D1 ) ∩ ( D 2 ) : −3x + 10 = 1 ⇔ x = 3 4 ( P ) ∩ ( D2 ) : x 2 = 1 ⇒ x = 1 > 0 (P) D1 ( P ) ∩ ( D1 ) : x 2 = −3x + 10 ⇒ x = 2 > 0 ; y = 4 S 1 D2 2 3 = π ∫ ( x − 1) dx + π ∫ ( −3x + 10 ) − 1 dx 4 2 Vx 1 2 3 x O 1 2 2 3 x5 1 ( −3x + 10 )3 31π 61π = π − x + π ⋅ − x = + 6π = ( ®vtt ) 5 1 −3 3 2 5 5 10 − y b. ( P ) : y = x 2 ( x > 0 ) ⇔ x = y ; ( D1 ) : y = −3x + 10 ⇔ x = 3 4 (10 − y )2 2 π 4 4 Vy = π ∫ 9 − ( ) y dy = 9 ∫ 2 ∫ ( y − 10 ) d ( y − 10 ) − π ydy 1 1 1 4 π ( y − 10 ) π 3 152π 15π 101π = ⋅ − y2 = − = 9 3 2 1 27 2 54 2 2 y Bài 9. Cho S là di n tích c a (E): x 2 + 2 = 1 (0 < b < a) a b a. Tìm Vx khi S quay quanh Ox b. Tìm Vy khi S quay quanh Oy Gi i y B 2 2 2 2 2 y y b a. (E): x2 + 2 = 1 ⇔ 2 = 1 − x2 ⇔ y2 = 2 ( a 2 − x 2 ) a b b a a A O x ⇔ BA : y = b a 2 − x 2 ; CA : y = −b a 2 − x 2 a a C Do các cung BA, AC i x ng nhau qua Ox nên a πb2 x3 a a 2 πb2 4πab2 Vx = π ∫(a −a b a −x 2 2 ) dx = 2 ( a − x ) dx = 2 a 2 x − = a −a ∫ 2 a 2 3 −a 3 ( vtt) 231
16. hàm và tích phân − Tr n Phương 2 2 2 2 2 y y a b. (E): x 2 + 2 = 1 ⇔ x 2 = 1 − 2 ⇔ x 2 = 2 ( b 2 − y 2 ) a b a b b y B ⇔ AB : x = a b 2 − y2 b BC : x = −a b 2 − y 2 C A b O x Do các cung AB, BC i x ng nhau qua Oy nên b 2πa 2 2 y3 b b 2 2πa 2 4πa 2 b ∫( ) dy = a b2 − y2 ( b − y ) dy = 2 b y − = ∫ 2 2 Vy = 2π ( vtt) 0 b b2 0 b 3 0 3 { } Bài 10. Cho S: ( P1 ) : y = 4 − x 2 ; ( P2 ) : y = x 2 + 2 . Tính Vx khi S quay quanh Ox y Gi i 4 (P2 ) ( P1 ) ∩ ( P2 ) : 4 − x 2 = x 2 + 2 ⇔ x 2 = 1 ⇔ x = ±1 1 3 ⇒ V = 2π ( 4 − x ) − ( x + 2) dx 2 2 2 ∫ 2 0 2 1 (P1 ) 1 x 3 = 24π ∫ (1 − x ) dx = 24π x − 2 = 16π ( ®vtt ) 0 3 0 O 2 1 1 2 x Bài 11. Tính th tích kh i tròn xoay t o nên khi cho hình tròn tâm I(2, 0) bán kính R = 1 quay quanh tr c Oy. Gi i y C Phương trình (I, R): (x − 2)2 + y2 = 1 2 ⇔ ( x − 2 ) = 1 − y2 ⇔ x = 2 ± 1 − y2 A I B O 1 2 3 x ⇒ CA : x = 2 − 1 − y 2 ; BC : x = 2 + 1 − y 2 1 1 ) dy = 16π∫ 2 2 ∫( ⇒ Vy = 2π 2 + 1 − y 2 ) − (2 − 2 2 1− y 1 − y dy 0 0 π2 π2 ∫ ∫ cos 2 2 t y = sint ⇒ dy = costdt ⇒ Vy = 16π 1 − sin t cos t dt = 16π t dt 0 0 π2 π2 1 = 8π ∫ (1 + cos 2t ) dt = 8π t + sin 2t 2 = 4π ( ®vtt ) 0 2 0 232
17. tích phân tính di n tích, th tích Bài 12. Cho S: {( P ) : y = 2x ; ( D ) : y = 2x + 4} . 2 y Tính Vx khi S quay quanh Ox 8 Gi i ( C ) ∩ ( D ) : 2x 2 = 2x + 4 ⇔ x 2 − x + 2 = 0 ⇒ x = −1 ∨ x = 2 4 2 ⇒ Vx = π ( 2x + 4 ) − 4x dx ∫ 2 4 2 −1 2 x 3π ( 2x + 4 )3 4πx 5 288 -1 O 2 = − = ( ®vtt ) 2 5 −1 5 x2 27 Bài 13. Cho S: ( P1 ) : y = x2 ; ( P2 ) : y = ; ( H) : y = 27 x Gi i y 2 9 x ( P1 ) ∩ ( P2 ) : x2 = ⇔x =0⇒y =0 27 27 ( P1 ) ∩ ( H) : x2 = ⇔ x3 = 27 ⇔ x = 3 x (P1 ) 2 9 (H) x 27 2 ( P2 ) ∩ ( H) : = ⇔ x3 = 272 ⇔ x = 9 s2 27 x 3 Nhìn vào th ta có: s1 (P2 ) 3 9 9 27 2 x4 ∫ Vx = x 4 dx + 0 ∫ 3 x2 dx − 0 27 2∫dx O 3 6 9 x 5 3 9 9 x 27 2 x5 243 81 1 583 ( = − − 2 = − ( 81 − 243) − − = ®vtt ) 5 0 x 3 27 .5 3 5 5 15 3 27 b. ( P1 ) : x = y ; ( P2 ) : x = 27y ; ( H) : x = (x, y ≥ 0) y 3 9 3 9 2 2 27 2 27 ⇒ Vy = ∫( 0 27y ) ( ) − y ∫ dy + y − 3 ( ) y ∫ ∫ dy = 26ydy + y − y dy 0 3 9 2 3 1 2 81 9 = 13y + 27 ln y − y = 117 + 27 ln 9 − 27 ln 3 − + = 81 + 27 ln 3 ( ®vtt ) 0 2 3 2 2 233
18. hàm và tích phân − Tr n Phương Bài 14. Cho S: {( C) : y = x, ( D) : y = 2 − x, y = 0} . Tính Vy khi S quay quanh Oy Gi i y ( C) : x = y2 ( y ≥ 0) ; ( D ) : x = 2 − y 2 ⇒ ( C) ∩ ( D ) : y2 = 2 − y ⇔ y2 + y − 2 = 0 (C) ⇔ (x − 1)(y + 2) = 0 ⇔ y = 1 ≥ 0 1 1 Vy = π ( 2 − y ) − y 4 dy ∫ 2 0 O 2 x 1 (D) 1 3 y 5 32π = π ( y − 2) − = ( ®vtt ) 3 5 0 15 2 2 Bài 15. Cho ( H ) : x − y = 1 và (D) là ti p tuy n c a (H) i qua A(2, −1) v i 16 4 h s góc dương. Tính th tích kh i tròn xoay t o b i mi n ph ng gi i h n b i (H), (D) và tr c Ox khi quay quanh tr c Oy. Gi i y (D) (D) i qua A(2, −1) nên 1,5 (H) (D): y = k(x − 2) − 1 O 2 ⇔ (D): kx − y − ( 2k + 1) = 0 4 16 4 5 x -1 A 5 Ta có: (D) ti p xúc (H) 8 2 2 2 3 ⇔ 16k − 4 = ( 2k + 1) ⇔ 12k − 4k − 5 = 0 5 1 5 8 6 16 ⇔ k= ∨ k = − (lo i) ⇒ (D): y = x − ⇔ x = y + 6 2 6 3 5 5 2 ( D ) ∩ ( H ) : 4y 2 + 16 = 6 y + 16 ⇔ 4y 2 − 12y + 9 = 0 ⇔ y = 3 ; x = 5 5 5 2 32 232 6y + 16 2 4y3 3 2 ⇒ Vy = π ( 4y + 16) − 0 ∫ 5 dy = π 3 + 16y − 0 36π 25 0 y+ 8 d y+ 8 3 3 ∫( ) ( ) 3 32 9 36π = π + 24 − 2 75 y+8 3 ( ) 0 = 72π 25 ( ®vtt ) 234
19. tích phân tính di n tích, th tích {2 Bài 16. Cho S: ( C ) : y = ( x − 2 ) , ( D ) : y = 4 . } a. Tính Vx khi S quay quanh Ox b. Tính Vy khi S quay quanh Oy Gi i y (P) 2 a. ( P ) ∩ ( D ) : ( x − 2 ) = 4 ⇔ x = 0, x = 4 (D) 4 ⇒ Vx = π 16 − ( x − 2 ) dx ∫ 4 0 S 4 ( x − 2 )5 256π = π 16x − = ( ®vtt ) 5 0 5 O 2 4 x b. ( P ) : x − 2 = ± y ⇒ AI : x = 2 − y ; IB: x = 2 + y 4 ⇒ Vy = π 2 + y dy 2 2 ∫( 0 ) − (2 − y ) 4 4 16π 3 2 128π = 8π ∫ 0 ydy = 3 y 0 = 3 ( ®vtt ) y 2 y 2 Bài 17. Cho S: ( P1 ) : x = ( y ≤ 0 ) ; ( P2 ) : x = − + 3y ( y ≤ 2 ) ; ( D ) : x = 4 4 2 a. Tính S b. Tính Vx khi S quay quanh Ox y Gi i (P2 ) 6 2 2 (D) y y 2 y = 0 a. =− + 3y ⇔ y − 4y ⇒ 4 2 y = 4 4 2 y ( P1 ) ∩ ( D ) : = 4 ⇒ y = −4 < 0 2 4 2 O −y y = 2 ( P2 ) ∩ ( D ) : + 3y = 4 ⇒ 4 x 2 y = 4 > 2 S Nhìn vào th suy ra: (P1 ) 0 y2 2 y2 -4 −4 ∫ S = 4 − 4 dy + 4 + 0 2 − 3y dy ∫ 0 2 y 3 y 3 3y 2 16 4 = 4y − + 4y + − = 16 − + 8 + − 6 = 14 ( ®vdt ) 12 −4 6 2 0 3 3 235
20. hàm và tích phân − Tr n Phương 2 y b. ( P1 ) : x = ( y ≤ 0 ) ⇔ y = −2 x 4 4 4 2 2 4 ⇒ Vx = π ∫ ( −2 0 x ) dx = 4π x dx = 2πx ∫ 0 0 = 32π ( ®vtt ) y x 2 3 9 Bài 18. Cho S: ( C ) : y = ; ( P) : y = x . 3 Tính Vx khi S quay quanh Ox. Gi i 3 (P) (C) ∩ ( P ) : x = x 2 ⇔ x = 0 x = 3 3 O 2 2 3 3 4 x6 2 3 3 x (C) Vx = π ( x ) − x dx = π x − ∫ dx ∫ 0 3 0 9 3 x5 x7 486 = π − = π ( ®vtt ) 5 63 0 35 { 3 Bài 19. Cho S: ( C ) : y 2 = ( 4 − x ) ; ( P ) : y 2 = 4x . } Tính Vx, Vy khi S quay quanh Ox, Oy y Gi i 2 2 (P) A ( C ) ∩ ( P ) : ( 4 − x )3 = 4x (C) ⇔ x 3 − 12x 2 + 52x − 64 = 0 S N ⇔ ( x − 2 ) ( x − 5 ) + 7 = 0 2 O 2 4 x ⇔ x = 2 ⇒ y = ±2 2 ( C ) ∩ Ox : ( 4 − x )3 = 0 ⇔ x = 4 B -2 2 ( P ) ∩ Ox : 4x = 0 ⇔ x = 0 3 3 OA : y = 4x ; AN : y = ( 4 − x ) ; OB : y = − 4x ; BN : y = − ( 4 − x ) Do (C), (P) nh n Ox làm tr c i x ng nên: 2 4 2 4 dx + π∫ ( ) 2 2 2 π ∫( 4x ) ( 4 − x )3 4 Vx = π dx = 2πx − (4 − x) = 12π ( ®vtt ) 0 2 0 4 2 2 2 2 y4 2 2 y4 ∫ ( ) 1024 2 3 2 ∫ π ( ®vtt ) 43 23 Vy = 2π 4− y − dy = 2π 16 + y − 8y − dy = 0 16 0 16 35 236
