CỰC TRỊ XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỰC ĐẠI CỦA ĐIỆN ÁP HIỆU DỤNG KHI THAY ĐỔI THÔNG SỐ CỦA MẠCH
1.Các công thức của các điện áp hiệu dụng cực đại khi thông số của mạch thay đổi:
a. Điện áp hiệu dụng UR:
+ R thay đổi : UR[max] = U Khi R →∞
+ L,hay C, hay ω thay đổi : UR[max] = U Khi \[\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}\] [ Cộng hưởng ]
b. Điện áp hiệu dụng : UL
+ R thay đổi : UL[max] = \[\frac{U}{\left | Z_{L}-Z_{C} \right |}Z_{L}\] khi R = 0
+ L thay đổi : UL[max] = IZL = \[\frac{U\sqrt{R^{2}+{Z_{C}}^{2}}}{R}\] khi ZL = \[\frac{R^{2}+{Z_{C}}^{2}}{Z_{C}}\]
+ C thay đổi : UL[max] = IZL = \[\frac{U}{R}Z_{L}\] khi C = \[\frac{1}{L\omega ^{2}}\][ Cộng hưởng ]
+ thay đổi : UL[max] = IZL khi \[\omega =\sqrt{\frac{2}{2LC-R^{2}C^{2}}}\]
c. Điện áp hiệu dụng : UC
+ R thay đổi : UC[max] = \[\frac{U}{\left | Z_{L}-Z_{C} \right |}Z_{C}\] khi R = 0
+ C thay đổi : UC[max] = IZC = \[\frac{U\sqrt{R^{2}+{Z_{L}}^{2}}}{R}\] khi ZC = \[\frac{R^{2}+{Z_{L}}^{2}}{Z_{L}}\]
+ L thay đổi : UC[max] = IZC = \[\frac{U}{R}Z_{C}\] khi L = \[\frac{1}{C\omega ^{2}}\] [ Cộng hưởng ]
+ thay đổi : UC[max] = IZC khi \[\omega =\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^{2}}{2L^{2}}}\]
2. Công thức thường gặp cần nhớ khi L,C, f thay đổi [không Cộng hưởng]:
Tìm L để ULmax:[ Mạch điện hình vẽ bên phải khi L thay đổi]
Tìm C để UCmax:[ Mạch điện hình vẽ bên phải khi C thay đổi]
Xác định giá trị cực đại ULmax, và UCmax khi tần số f thay đổi:
[với điều kiện \[2\frac{L}{C}> R^{2}\]]
3. Bài tập về xác định giá trị cực đại Umax khi thay đổi L, hoặc C, hoặc f.
+Ví dụ 1 : Cho mạch điện như hình vẽ.
Điện áp giữa hai đầu AB có biểu thức \[u=200cos100\pi t[V]\] [V]. Cuộn dây thuần cảm có L thay đổi được, điện trở R = 100Ω,
tụ điện có điện dung \[C=\frac{10^{-4}}{\pi }[F]\]. Xác định L sao cho điện áp
hiệu dụng giữa hai điểm M và B đạt giá trị cực đại, tính hệ số công suất của mạch điện khi đó.
Bài giải: Dung kháng: \[Z_{C}=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{100\pi .\frac{10^{-4}}{\pi }}=100\Omega\]
Cách 1: Phương pháp đạo hàm
Cách 2: Phương pháp dùng tam thức bậc hai
UMBmax khi ymin: Vì \[a=R^{2}+{Z_{C}}^{2}\]> 0 nên tam thức bậc hai đạt cực tiểu khi \[x=-\frac{b}{2a}\]
Hệ số công suất: \[cos\varphi =\frac{R}{\sqrt{R^{2}+[Z_{L}-Z_{C}]^{2}}}=\frac{100}{\sqrt{100^{2}+[200-100]^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\]
4.Sử dụng phương pháp cực trị của hàm số:
Về hàm số bậc 2: \[y=f[x]=ax^{2}+bx+c[a \neq 0]\]
+ Giá trị của x làm cho y cực trị là ứng với tọa độ đỉnh: \[x_{s}=x_{CT}=-\frac{b}{2a}[1]\]
+ 2 giá trị của \[x_{1};x_{2}\] cho cùng một giá trị của hàm y, theo Viet: \[x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}[2]\]
Từ [1] và [2] suy ra mối liên hệ: \[x_{CT}=\frac{1}{2}[x_{1}+x_{2}]\]
Về hàm phân thức:\[y=f[x]=ax+\frac{b}{x}\]
+ Giá trị của x làm y cực trị ứng với \[ax=\frac{b}{x}\Rightarrow x_{CT}=\sqrt{\frac{b}{a}}[3]\]
+ 2 giá trị của \[x_{1};x_{2}\] cho cùng một giá trị của hàm y, theo Viet: \[x_{1}.x_{2}=\frac{b}{a}[4]\]
Từ [3] và [4] suy ra mối liên hệ: \[x_{CT}=\sqrt{x_{1}x_{2}}\]
[Với những bài tập về cực trị của dòng điện xoay chiều, nếu ta sử dụng phương pháp này thì sẽ có ngay đáp số, việc này rất thuận lợi cho học sinh làm rất nhanh những bài tập trắc nghiệm trong các kỳ thi ĐH-CĐ].
CÁC CÔNG THỨC CỰC TRỊ TRONG ĐIỆN XOAY CHIỀU
a.Thay đổi R:
Câu 1: Cho đoạn mạch RLC mắc nối tiếp, R thay đổi được, cuộn dây không thuần cảm, có điện trở r. Khi R1=20 Ω hoặc R2=110Ω thì công suất trong mạch như nhau. Khi R=50Ω thì công suất mạch cực đại. Điện trở thuần r của cuộn dây là bao nhiêu?
Giải Cách 1: làm theo kiểu tự luận cổ điển [ Các em tự giải nhé].
Cách 2: Sử dụng pp cực trị của hàm số .
Công suất mạch
Ta thấy có dạng phân thức với [R+r] nên ta sử dụng pp cực trị của hàm số .
Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:
Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Vật lý lớp 12 - Xem ngay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
- Bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều là một dạng bài toán khó đối với học sinh lớp 12 và cũng ít tài liệu hệ thống hóa một cách đầy đủ về dạng bài toán này.
- Với đề thi trắc nghiệm đại học như hiện nay, việc áp dụng trực tiếp kết quả của bài toán cực trị sẽ làm cho học sinh không có cái nhìn tổng quan về phương pháp giải các dạng toán này.
- Chính vì lý do đó, nay tôi viết đề tài “CỰC TRỊ TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU“ nhằm hệ thống hóa một số dạng toán cực trị của bài toán này phục vụ cho công tác giãng dạy của các bạn đồng nghiệp, cũng như một tài liệu để học sinh tham khảo trong quá trỉnh học.
- Đề tài gồm bốn phần: khảo sát sự biến thiên của các đại lượng như công suất, hiệu điện thế của các thiết bị… theo giá trị của biến trở R, theo giá trị của độ tự cảm L, theo giá trị của điện dung C và theo giá trị của tần số góc w.
- Vì thời gian có hạn, nên trong quá trình viết có thể có nhiều thiếu xót, mong được sự đóng góp của quý đồng nghiệp và các em học sinh.
Bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều là một dạng bài toán khó đối với học sinh lớp 12
NỘI DUNG
I. Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp
1. Có hai giá trị R1 ¹ R2 cho cùng một giá trị công suất
2. Giá trị của R làm cho công suất cực đại
a. Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại
b. Giá trị R làm cho công suất của R cực đại
c. Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại.
3. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R
II. Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm.
1. Có hai giá trị L1 ¹ L2 cho cùng giá trị công suất
2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng.
3. Giá trị ZL để hiệu điện thế ULmax
4. Có hai giá trị L1 ¹ L2 cho cùng giá trị UL,giá trị L để ULmax tính theo L1 và L2.
5. Giá trị ZL để hiệu điện thế ULRrmax
III. Sự thay đổi C trong mạch R-L-C mắc nối tiếp.
1. Có hai giá trị C1 ¹ C2 cho cùng giá trị công suất
2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng.
3. Giá trị ZC để hiệu điện thế UCmax
4. Có hai giá trị C1 ¹ C2 cho cùng giá trị UL và giá trị ZC để UCmax tính theo C1 và C2.
5. Giá trị ZC để hiệu điện thế UCRrmax
IV. Sự thay đổi w trong mạch R-L-C mắc nối tiếp
1. Giá trị w làm cho Pmax
2. Khảo sát sự biến thiên công suất theo w.
3. Có hai giá trị w1 ¹ w2 cho cùng công suất và giá trị w làm cho Pmax tính theo w1 và w2
4. Giá trị w làm cho hiệu điện thế ULmax
5. Giá trị w làm cho hiệu điện thế Ucmax
I. Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp:
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định :
Gọi Rtd = R + R0
1. Có hai giá trị R1 ¹ R2 cho cùng một giá trị công suất
- Công suất tiêu thụ trên mạch là :
- Vì P1 = P2 = P nên ta có thể xem như công suất trong phương trình trên là một số không đổi ứng với hai giá trị R1 và R2 . Khai triển biểu thức trên ta có:
- Nếu có 2 giá trị của điện trở cho cùng một giá trị công suất thì phương trình bậc 2 trên có hai nghiệm phân biệt R1 và R2. Theo định lý Viète [Vi-et]:
- Từ đó ta thấy rằng có 2 giá trị R1 và R2 khác nhau cho cùng giá trị công suất
2. Giá trị của R làm cho công suất cực đại
a. Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại
- Ta có:
- Đặt
- Ta thấy rằng Pmax khi Amin => “ =” xảy ra. Vậy:
- Khi đó giá trị cực đại của công suất là:
Với R1td và R2td là hai giá trị của R cho cùng giá trị công suất.
Lưu ý: Khi
b. Giá trị R làm cho công suất của R cực đại
- Công suất của biến trở R là
- Đặt mẩu thức của biểu thức trên là :
- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho A ta được:
- Ta thấy rằng PRmax khi Amin nghĩa là dấu “ =” phải xảy ra, khi đó:
- Công suất cực đại của biến trở R là:
c. Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại, cường độ dòng điệncực đại, hiệu điện thế cuộn dây cực đại, hiệu điện thế tụ điện cực đại.
- Ta có :
- Vì R0; ZL; ZC và U là các đại lượng không đổi nên muốn đạt giá trị cực đại thì chỉ cần cường độ dòng điện qua mạch cực đại. Từ biểu thức của dòng điện ta thấy rằng Imax khi giá trị của biến trở R = 0.
3. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R
- Để thấy rõ hơn sự phụ thuộc của công suất toàn mạch vào giá trị của biến trở R người ta thường dùng phương pháp khảo sát hàm số:
- Ta có công suất toàn mạch theo biến thiên theo biến trở R cho bởi hàm số:
- Đạo hàm P theo biến số Rtd ta có:
Khi
Bảng biến thiên :
Đồ thị của P theo Rtd :
Nhận xét đồ thị :
· Từ đổ thị ta thấy rằng có hai giá trị R1 và R2 cho cùng một giá trị của công suất.
· Công suất đạt giá trị cực đại khi
· Trong trường hợp
· Nếu R0 = 0 thì đồ thị xuất phát từ gốc tọa độ và ta luôn có giá trị R làm cho công suất của toàn mạch cực đại là
Kết luận:
· Với phương pháp khảo sát hàm số để thu được các kết quả ở phần 1 và 2 sẽ không hiệu quả bằng phương pháp dùng tính chất của hàm bậc 2 và bất đẳng thức Cauchy.
· Tuy nhiên từ việc khảo sát này ta có thể biết được sự biến thiên của P theo biến trở R nhằm định tính được giá trị của công suất sẽ tăng hay giảm khi thay đổi điện trở.
II. Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm.
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định :
R và C không đổi.
1. Có hai giá trị L1 ¹ L2 cho cùng giá trị công suất
- Vì có hai giá trị của cảm kháng cho cùng giá trị công suất nên:
- Khai triển biểu thức trên ta thu được :
- Suy ra :
2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng ZL
- Ta có công suất toàn mạch là:
- Đạo hàm của P theo biến số ZL ta có:
-Bảng biến thiên
- Đồ thị của công suất theo ZL :
- Nhận xét đồ thị:
· Có hai giá trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất
· Công suất của mạch cực đại khi
Kết luận: Từ việc khảo sát sự biến thiên sự thay đổi công suất vào giá trị của ZL sẽ cho phép định tính được sự tăng hay giảm của P theoZL. Từ đó ta có thể tiên đoán được sự thay đổi của công suất theo giá trị của ZLtrong một số bài toán.
3. Giá trị ZL để hiệu điện thế ULmax
-
Ta có hiệu điện thế trên cuộn dây là :
- Theo giản đồ vectơ và định lý hàm số sin trong tam giác ta có :
- Vì
- Do cosb và U là các giá trị không đổi nên hiệu điện thế ULmax khi
- Theo hệ thức của tam giác vuông ta có:
- Tóm lại:
· Khi
· Khi ULmax thì hiệu điện thế tức thời ở hai đầu mạch luôn nhanh pha hơn uRC một góc 900.
4. Có hai giá trị L1 ¹ L2 cho cùng giá trị UL , giá trị L để ULmax tính theo L1 và L2.
- Khi có hai giá trị của L cho cùng một giá trị hiệu điện thế:
- Bình phương và khai triển biểu thức trên ta thu được:
- Theo kết quả phần trên khi hiệu điện thế giữa hai đầu cuộn dây cực đại thì với giá trị ZL là giá trị làm cho ULmax . Thay vào biểu thức trên:
- Tiếp tục khai triển biểu thức trên ta thu được:
- Vì L1 ¹ L2 nên đơn giàn biểu thức trên ta thu được:
5. Giá trị ZL để hiệu điện thế ULRrmax
- Khi R và L mắc nối tiếp nhau thì :
- Đặt
- Cho MT’[ZL] = 0 ta có :
- Từ bảng biến thiên ta thấy rằng MT đạt giá trị nhỏ nhất nên ULR đạt giá trị lớn nhất. Ta thu được kết quả sau:
Khi
III.Sự thay đổi C trong mạch R-L-C mắc nối tiếp.
R là điện trở L là một cuộn dây thuần cảm không đổi
và C có giá trị thay đổi .
Nhận xét: Vì trong công thức tổng trở
1. Có hai giá trị C1 ¹ C2 cho cùng giá trị công suất
Với hai giá trị C1 và C2 cho cùng giá trị công suất ta có
Với giá trị C0 là giá trị làm cho công suất mạch cực đại
2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng
- Bảng biến thiên:
- Đồ thị của công suất theo giá trị ZC :
3. Giá trị ZC để hiệu điện thế UCmax
- Khi
·
· uRL vuông pha với hiệu điện thế hai đầu mạch
4. Có hai giá trị C1 ¹ C2 cho cùng giá trị UC ,giá trị ZC để UCmax tính theo C1 và C2
- Khi có hai giá trị C = C1 hoặc C = C2 cho cùng giá trị UC thì giá trị của C làm cho UCmax khi
5. Giá trị ZC để hiệu điện thế URCmax
- Khi
IV. Sự thay đổi w trong mạch R-L-C mắc nối tiếp
1. Giá trị w làm cho Pmax
- Ta có
- Khi đó Zmin = R và hiệu điện thế giửa hai đầu mạch và cường độ dòng điện qua mạch đồng pha nhau.
2. Có hai giá trị w1 ¹ w2 cho cùng công suất và giá trị w làm cho Pmax tính theo w1 và w2:
- Nếu có hai giá trị tần số khác nhau cho một giá trị công suất thì:
- Biến đổi biểu thức trên ta thu được :
- Vì w1 ¹ w2 nên nghiệm [1] bị loại
- Khai triển nghiệm [2] ta thu được :
- Theo kết quả ta có :
3. Khảo sát sự biến thiên công suất theo w.
- Ta có
- Việc khảo sát hàm số P theo biến số w bằng việc lấy đạo hàm và lập bảng biến thiên rất khó khăn vì hàm số này tương đối phức tạp. Tuy nhiên, ta có thể thu được kết quả đó từ những nhận xét sau:
· Khi w = 0 thì
· Khi
· Khi
- Từ những nhận xét đó ta dễ dàng thu được sự biến thiên và đồ thị :
-Nhận xét đồ thị:
· Từ đồ thị ta thấy rằng sẽ có hai giá trị w1 ≠ w2 cho cùng một giá trị công suất, điều này phù hợp với những biến đổi ở phần trên.
4. Giá trị w làm cho hiệu điện thế ULmax
- Ta có :
- Biến đổi biểu thức A ta thu được :
- Ta tiếp tục đặt
- Lấy đạo hàm của A theo biến số x ta thu được:
- Cho A’[x] = 0 ta thu được
- Vì
- Thay giá trị x vào biểu thức đã đặt ta thu được hiệu điện thế cực đại của cuộn dây là:
Nhận xét : Khi
5. Giá trị w làm cho hiệu điện thế Ucmax
- Tương tự như cách làm trên ta cũng thu được kết quả tương tự khi thay đổi giá trị w làm cho UCmax là:
- Khi
Lê Tấn Hậu - Thuvienvatly.com
Vui lòng ghi rõ "Nguồn Thuvienvatly.com" khi đăng lại bài từ CTV của chúng tôi.
Tags: